Constructing the NavMesh

antecedente con la Tarea 5 en la que los estudiantes y la profesora Johanna discutieron sobre cuál era el primero y segundo términos de esa secuencia (secuencia puramente numérica). Esta experiencia ganada fue puesta en marcha al abordar esta tarea (cuyo término general es 2𝑛 + 1, con 𝑛 = 1,2,3, …) por lo que no se presentaron dificultades en relación con establecer cuál era la primera figura, cuál la segunda, cuál sería la tercera y cuál la cuarta figura. Una vez establecieron el apoyo tabular, el trabajo se concentró en discutir los otros ítems.

Figura 63. Secuencia propuesta en la Tarea 6

En términos generales, las producciones de los estudiantes en relación con los ítems de esta tarea tienen similares características que las producciones logradas en las tareas 1 (Secuencia figural apoyada por representación tabular (1)), 2 (secuencia figural apoyada por representación tabular (2)) y 4 (Problema del Mensaje). Nuevamente podemos señalar

167 que la forma de pensamiento Contextual aparece aquí como posibilidad que los estudiantes instancian a través de la movilización de medios semióticos de objetivación.

El Particular de Hegel, estructurado por el diseño de las preguntas y exigencias que hacemos y la actividad propiamente como se desarrolla (evento), hace aparecer el pensamiento algebraico Contextual como una evolución del pensamiento algebraico Factual. Consideramos este hecho como un resultado importante de nuestra investigación, lo cual pone de manifiesto la idea de saber como movimiento en una especie de continuidad entre estos tipos o formas de pensamiento algebraico.

Figura 64. Secuencia de gestos (deslizamientos del lápiz) movilizados por Laura Sofía, ítem 1 Tarea 6. Reconstrucción del video

Presentamos como caso representativo el siguiente diálogo en donde intervienen el profesor Rodolfo, Laura Sofía y Jenny, discutiendo sobre la construcción de la secuencia. La Figura 64 muestra una serie de gestos (deslizamientos del lápiz) los cuales son puestos en funcionamiento por parte de Laura Sofía cuando comunica la forma como se generan las figuras.

L1. Laura Sofía: Por ejemplo en la figura 4, pones 4 abajo y 4 arriba [señala la hilera

inferior de rectángulos y después la de arriba] más 1 [señala el último rectángulo de la hilera superior].

L2. Profesor Rodolfo: ¿Y por ejemplo, como sería la figura 5?

L3. Laura Sofía: 5 abajo y 5 arriba [mientras señala las hileras] más 1. L4. Profesor Rodolfo: ¿Y la figura 6?

168 L6. Profesor Rodolfo: ¿Cómo será, por ejemplo, Jenny, en la figura 15?

L7. Jenny: 15 abajo y 15 arriba [sube la mano ligeramente] y le sumamos 1, serían 15 abajo y 16 arriba.

En relación con el ítem 5 de esta tarea, la producción de Jenny evidencia un sentido de la indeterminancia tratada analíticamente.

L8. Profesor Rodolfo: Ahora, el quinto punto ¿cómo lo resolviste tú Laura Sofía? Ábrelo para que lo vean.

L9. Laura Sofía: [Laura lee de su guía] profe Estella, coges el número que está en la tarjeta y lo sumas por el mismo más 1.

En este caso, la indeterminancia está determinada en la frase “el   número   que está en la

tarjeta”. El carácter operatorio de esta indeterminancia o analiticidad viene dado por la

frase: “coges   el   número   que   está   en   la   tarjeta   y   lo   sumas   por   el   mismo   más   1”. La producción de Jenny, por su parte, evidencia también la movilización de gestos indexicales los cuales comunican la forma como se genera, para ella, la secuencia.

Figura 65. Secuencia de gestos indexicales por parte de Jenny al explicar la manera como se generan las figuras en la secuencia de la Tarea 6. Reconstrucción del video

169 L10. Jenny: La figura 1 [la señala con el lápiz] uno le coloca un cuadrado acá arriba [señala el cuadrado inferior] y como es el siguiente del 1, es el 2, entonces lo ponemos acá arriba [señala la hilera superior de la figura]. El 2 [señala estos últimos dos cuadrados], estos dos cuadrados los ponemos acá abajo [señala la hilera inferior de la figura 2] y el siguiente del 2 es 3 [señala la hilera superior de la figura 2] y cogemos así sucesivamente hasta los otros.

Se observa que la movilización de gestos indexicales (espaciales y temporales), palabras, actividad perceptual y movimiento parece ser más intenso cuando los estudiantes enfrentan secuencias que ofrecen índices geométrico-espaciales en contraste con las secuencias numéricas (con o sin apoyo tabular). Es más, cuando los estudiantes abordaron la secuencia puramente figural, en la cual luego establecieron rápidamente el recurso tabular a partir de su experiencia ganada en la tarea anterior, al menos se observa en ellos una disposición favorable para trabajar con este tipo de secuencias. En efecto, ellos pueden decir frases como: ”como es el siguiente del 1”, “uno  le  coloca  un  cuadrado  acá  arriba”, “estos  dos  

cuadrados  los  ponemos  acá  abajo”, “cogemos  así  sucesivamente  hasta  los  otros”; frases

que ponen de manifiesto indexicales espaciales (por ejemplo, el siguiente de 1, acá arriba,

acá abajo) y un indexical temporal (así sucesivamente).

En relación con este último aspecto, observamos, en el caso de Jenny: “…y  el  siguiente  del  

2 es 3 y cogemos así sucesivamente hasta los otros", cómo el lenguaje natural le sirve de

apoyo para poder expresar a través de su fórmula corpórea cuestiones relacionadas con el tiempo (así sucesivamente), o quizás, más adelante, indagar cómo el lenguaje simbólico (podría ser una fórmula algebraica) incorpora la dimensión lingüística.

En el siguiente diálogo entre la profesora Johanna, Héctor Fabio, Adriana, el profesor Rodolfo y Yaneth, parece reafirmarse en los estudiantes la facilidad para abordar este tipo de secuencias:

L11. Profesora Johanna: ¿Tú la vez más fácil que la de los números?

L12. Héctor Fabio: ¡Claro! estamos mirándole observaciones [se refiere a los índices

170 L13. Profesora Johanna: ¿Sí?, ¿le estás mirando observaciones, características, está más fácil?, con los números, ¿ya no puedo mirar características?

L14. Héctor Fabio: Pues eso es un poquito más difícil.

L15. Profesora Johanna: ¿Por qué te parece más fácil? [dirigiéndose a Adriana]. L16. Adriana: (…) [Evidencia timidez].

L17. Profesor Rodolfo: A Yaneth, ¿cómo le parece?, ¿más fácil o más difícil que el anterior?

L18. Yaneth: Me parece más fácil. L19. Profesor Rodolfo: ¿Por qué?

L20. Yaneth: Porque en el anterior tocaba (…) adivinar el número, en vez de (…) [se pone

el lápiz en la boca, piensa en lo que va a decir], no sé [sonríe].

L21. Profesor Rodolfo: Y con ésta [refiriéndose a la secuencia puramente figural] ¿qué es lo que sucede?

L22. Yaneth:  (…)  No  sé  (…)  Es  que  todavía  no  la  he  (…).

L23. Adriana: Toca mirar cuál es la primera, la segunda [señala con su dedo índice derecho

las figuras 1 y 2], la tercera y la cuarta.

Resaltamos en la declaración L20 de Yaneth la dificultad que ella manifiesta “porque  en  el  

anterior   tocaba   (…)   adivinar   el   número…”, trabajo que efectivamente se desplegó en la

actividad con la secuencia puramente numérica. Los estudiantes tenían que establecer relaciones entre los números pues no contaban con los elementos espaciales y geométricos. Observemos cómo Adriana, quien al principio mostró cierta timidez (L16), luego responde dirigiéndose a las figuras y señalando (L23).

En el análisis que adelantamos de las producciones de los estudiantes con respecto a la Tarea 5 (Secuencia puramente numérica), habíamos aventurado la afirmación según la cual la mirada y lectura que hacen los estudiantes de las secuencias pagaban su tributo a una forma cultural de lectura (de izquierda a derecha). Esta situación fue objeto de más análisis. En la siguiente entrevista focalizada queríamos explorar las razones que conminaban a nuestros estudiantes a significar el primer término de las secuencias numéricas y figurales en ausencia del recurso tabular. Las evidencias que presentamos en el caso de la secuencia

171 puramente numérica mostraban que algunos estudiantes (Luis Felipe y Santiago, por ejemplo) proponían otra secuencia; por ejemplo para Luis Felipe la secuencia tenía como primer término al 3, mientras que para Santiago el primero era el 1.

Es interesante mostrar aquí que para los estudiantes en general el primer término de estas secuencias y de las anteriores siempre es el número menor y no necesariamente el primero que se ubica a la izquierda. En el cuaderno de notas del investigador, propusimos las secuencias que se muestran e indagamos con algunos estudiantes cuál consideraban era el primer término.

Figura 66. Secuencias propuestas por el investigador en una entrevista focalizada para indagar por el significado del primer término

En relación con la primera secuencia que se muestra, los estudiantes al unísono afirmaron que el primer término era el que se encuentra a la izquierda. En el caso de la secuencia puramente numérica 4 9 14, todos los estudiantes afirmaron que el primer término era el 4, mientras que para el caso de la secuencia puramente numérica 35 33 31, los estudiantes afirmaron que el primer término era el 31. Los estudiantes están considerando secuencias crecientes y tal vez ello sucede puesto que las tareas propuestas consideraron, todas, este tipo de secuencias.

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