The Constructive Nature of Preferences

Teorías matemáticas e ideas filosóficas  en diversos fibrados canónicamente asociados a ella. (De hecho, la propia métrica lorentziana es una aplicación de este género: su codominio es el fibrado de los tensores simétricos covariantes de orden 2). Este marco conceptual hace posible un enfoque totalmente nuevo de uno de los más antiguos y arduos problemas de la cosmología, el pro- blema de la extensión espacial y el comienzo temporal del universo.

Cuando Immanuel Kant, no obstante su bellísimo aporte juvenil al desarrollo de la cosmovisión newtoniana (Kant 1755), declaró que la cosmología era una seudociencia, producto de una ilusión fatal de la razón humana, nombró este problema en primer lugar entre los cuatro que le impusieron esa conclusión (Kant 1781, pp. 424ss., 517ss., etc.). Kant sostuvo que la sucesión temporal de los fenóme- nos físicos tenía necesariamente un comienzo, porque de otro modo cualquier suceso actual sería el último de una serie eterna, lo que juzgaba absurdo. Sostuvo además, con menos plausibilidad, que el universo tiene que ser finito en extensión, porque una totalidad infinita de cosas sólo puede estar dada entera a la vez si se ha completado una síntesis infinita, lo que también le parecía absurdo. Por otra parte, un universo de extensión finita y que evoluciona desde un instante bien determinado conjura los fantasmas de un es- pacio vacío que se extiende más allá de sus límites y de un tiempo vacío que trascurre antes de su comienzo. Como Kant estimaba que un espacio y un tiempo vacíos fuera del mundo no eran menos absurdos que una infinitud comple- tada o una eternidad que termina, pronunció imposible a la cosmología y juzgó que el universo era una mera idea, útil para regular la investigación científica pero fuente de inextricables contradicciones en cuanto se pretende conside- rarlo como un objeto físico genuino, tema propio una cien- cia.

Al concebir el universo como una variedad diferenciable, la cosmología relativista puede afrontar a la vez ambos

 CAPÍTULO SEXTO

cuernos del dilema kantiano. No hay ninguna dificultad en concebir un espacio-tiempo infinito en el cual los campos materiales toman valores distintos de 0 en todas partes, hasta el infinito. (Esto es, si uno no tiene dificultades con la concepción clásica cantoriana del continuo). Por otra parte, si uno se siente motivado por la experiencia a recha- zar la infinitud del universo, puede todavía aceptar el otro cuerno del dilema, pues es posible concebir un espacio- tiempo de extensión finita y duración acotada sin conjurar un vacío fuera de él.

La concepción riemanniana de un universo finito pero ilimitado se ha vuelto bastante familiar después que Einstein la revivió en sus “Consideraciones cosmológicas relativas a la Teoría General de la Relatividad” (1917), dando comien- zo con ello a la cosmología del siglo XX. Un espacio- tiempo es espacialmente finito si cada uno de sus puntos está situado en una hipersuperficie espacialoide compacta que corta el espacio-tiempo en dos componentes. (Esta caracterización debe refinarse si se admiten curvas tempora- loides cerradas). En la teoría de las variedades diferencia- bles, un espacio-tiempo así no es más difícil de concebir que, digamos, una superficie cilíndrica cada uno de cuyos puntos está situado en un círculo que corta la superficie en dos. En cambio, el concepto de un universo de duración acotada no está exento de dificultades y merece que le dediquemos más atención.

Recordemos, primero, que un espacio-tiempo puede te- ner cualquier forma global, con tal que cada uno de sus puntos tenga un entorno homeomórfico a Â4_{. Así, un es-}

pacio-tiempo M puede cumplir la condición siguiente: C Para cada punto P Œ M y cada curva temporaloide g

dirigida al futuro y parametrizada por el tiempo propio (t) que pase por P, el dominio de g tiene una cota inferior.

Teorías matemáticas e ideas filosóficas  interacción física a lo largo de curvas nulas (dt = 0),13 _es

claro que, para quien vive en un espacio-tiempo como M, ningún proceso que termine en un suceso actual habrá tardado un tiempo infinito en consumarse. Por lo tanto, el espacio-tiempo M es inmune a las objeciones de Kant con- tra una eternidad pasada. Sin embargo, M no está precedido por un tiempo vacío. Para ver esto más claramente, digamos que un punto P Œ M es un punto inicial de la curva temporaloide dirigida al futuro g: I Æ M si para cada en- torno U de P hay un número real tU Œ I tal que, si t Œ I y t £ t_U, entonces g(t) ŒU. Si ningún P Œ M es un punto inicial de la curva g: I Æ M, diremos que g es inextendible

hacia el pasado. Ahora bien, la condición C impuesta a M no

implica que todas las curvas temporaloides dirigidas al fu- turo y parametrizadas por el tiempo propio que puedan definirse en M posean un punto inicial. En cambio, C implica por cierto que si g:I Æ M es una curva de esa clase

inextendible hacia el pasado, el intervalo I que es el dominio

de g tiene una cota inferior. Que hay en M tales curvas

inextendibles hacia el pasado puede comprobarse conside- rando un campo V de vectores temporaloides unitarios definido sobre M. (Tal campo existe si, como es razonable suponer, M admite una orientación temporal). Sea g la máxima curva integral de V que pasa por un cierto punto P Œ M. En virtud de la condición C, el dominio de g tiene una cota inferior. Sin pérdida de generalidad podemos su- poner que la cota inferior máxima de g es 0. Si g estuviese definida en 0, g(0) sería evidentemente un punto inicial de g. Si tal punto existiera tendría un entorno abierto U à M, V estaría definido sobre U y la máxima curva integral de V que pasa por g(0) tendría valores en la intersección de U 13. Estos casos se pueden tratar utilizando lo que se llama un parámetro afín generalizado, pero tales refinamientos estarían aquí fuera de lugar. Véase B. G. Schmidt 1971; cf. Hawking y Ellis 1973, p. 259.

 CAPÍTULO SEXTO

con el pasado de g(0). Esto contradiría nuestra suposición de que g es una curva integral máxima de V. Por lo tanto, g no puede estar definida en 0. Además, como g es una curva integral máxima, no puede extendérsela a una curva g₁, definida en 0 y que coincida con g en el dominio de ésta. Por lo tanto, no hay ningún punto de M que sea un punto inicial de g.

La condición C vale en los modelos de universo con Gran Cataplum (“Big Bang”) favorecidos por la cosmología ac- tual. Sea W un espacio-tiempo con Gran Cataplum y sea g: I Æ W una geodésica temporaloide dirigida al futuro e inextendible hacia el pasado, parametrizada por el tiempo propio. Supongamos que g es una geodésica completa, esto es, que su dominio I = Â. Entonces hay un número real t tal que g(t) es el Gran Cataplum, esto es, un punto que contiene toda la energía del universo. En ese punto, la curvatura del espacio-tiempo, el tensor de tensión y energía, etc. no serían diferenciables. Como, por definición, esto es imposible, no puede haber un punto así en W. Por consi- guiente, g no es una geodésica completa y t es una cota inferior —en efecto, la cota inferior máxima— de su domi- nio. El Gran Cataplum suele describirse como el comienzo del mundo. Comprobamos en el acto que esta descripción es errónea. Los universos con Gran Cataplum tienen una duración pretérita acotada, pero no tienen propiamente un comienzo. No hay en ellos un primer instante antes del cual no haya ocurrido suceso alguno. Dado un instante cualquie- ra P sobre una geodésica temporaloide, siempre hubo otro instante P¢, anterior a P, en el cual ya estaba pasando algo en el mundo. Por otra parte, cada suceso anterior a un suceso dado está separado de éste por un intervalo temporal

finito. Por eso mismo, en un universo del Gran Cataplum la

contingencia radical de la naturaleza se puede tocar, como quien dice, con la punta de los dedos (si logramos estirarlos hacia atrás unos quince mil millones de años). Pero un mundo eterno no sería menos contingente, como Leibniz

Teorías matemáticas e ideas filosóficas  observó en su escrito “Sobre el origen radical de todas las cosas”.14

Es instructivo comparar el Gran Cataplum con la singu- laridad que se halla en el interior de un hoyo negro. Con- sideraremos la situación más simple en que puede surgir un hoyo negro —un campo de Schwarzschild— y la forma más simple de universo con Gran Cataplum: un universo de Friedmann.

Un campo de Schwarzschild es una solución simétrica y estática de los ecuaciones de Einstein en un espacio-tiempo vacío.15 _{La solución de Schwarzschild envuelve una constan-}

te de integración m que habitualmente se interpreta, de modo muy natural, como igual a la masa de la fuente material del campo.16 _{Si toda la materia de la fuente está}

situada espacialmente dentro de una esfera de radio inferior a 2Gm/c2 _{—donde G es la constante de gravitación y c es}

la velocidad de la luz en el vacío— esa materia tiene que acabar comprimida en el centro espacial de simetría del campo. En ese punto, los campos materiales, la curvatura, la métrica, etc., no pueden ser diferenciables, lo que nos fuerza a concluir, una vez más, que en nuestro espacio- tiempo no puede existir ningún punto así. Por lo tanto, un campo de Schwarzschild es un espacio-tiempo al que le falta la línea temporaloide que, de estar presente, constituiría su eje de simetría. La ausencia de esa línea constituye la sin- gularidad del hoyo negro característico del campo en cues- tión. La mayoría de los físicos no querrá admitir que la fuente material de un campo gravitatorio pueda así desapa- recer del universo y determinar, sin embargo, la estructura

14. Leibniz, GP, VII, 302-308. Traducción castellana de T. Zwanck en Leibniz, EF, pp. 472-480.

15. Véase en el Capítulo 5, la nota 21 y el pasaje del texto que