Los qu´ımicos suelen afirmar como verdad experimental que una sus- tancia radioactiva se desintegra con una velocidad proporcional a la can- tidad de materia que se desintegra, la raz´on que subyace es que si en cada instante la materia que hay es x(t), despu´es de un tiempo ∆t, habr´a me- nos, x(t + ∆t) y la diferencia ser´a peque˜na si hab´ıa poca materia ´o el tiempo transcurrido ∆t era peque˜no y grande en caso de ser grande la materia ´o el tiempo, en definitiva la diferencia parece proporcional al
producto de esas dos cantidades, la cantidad de materia y el tiempo transcurrido,
x(t) − x(t + ∆t) = k∆t · x(t).
En tal caso la cantidad de materia en cada instante viene dada por la ecuaci´on diferencial
x0(t) = −kx(t), donde k > 0, por tanto
(1.7) x 0(t)
x(t) = −k ⇔ log x(t) = −kt + cte ⇔ x(t) = x(0) e −kt.
Observemos que el campo tangente asociado est´a en R y en la coordenada x se escribe
D = −kx ∂ ∂x.
Ejercicio 1.9.6 Si el 20 % de una sustancia radioactiva se desintegra en 10 d´ıas, en cu´anto tiempo desaparecer´a el 50 %?.
1 1/2 5730 años e-kt t x(t)/x(0)
Figura 1.12. Desintegraci´on del C14.
Nota 1.33 Sobre el Carbono 14. Existen en la naturaleza tres is´otopos del carbono cuyos n´ucleos contienen diferente n´umero de neutrones (6, 7 y 8) pero el mismo de protones (6): el C12(el 98 % del CO
2del aire es de este), el C13(el 1 % del CO
1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales 43
el anterior en el CO2, pero tambi´en existente). Este ´ultimo es inestable y radioactivo, por tanto el que queda despu´es de un tiempo t es por (1.7)
x(t) = x(0) e−kt, k = log 2 5730 a˜nos
(ver la figura (1.12)), donde la constante k es la que corresponde a este material radioactivo (y equivale a decir que la masa de C14 se reduce a la mitad despu´es de 5730 a˜nos).
Es admitido com´unmente que C12y C14, est´an presentes en toda la materia org´anica viviente en proporci´on constante. La raz´on que para ello se da es que aunque el is´otopo C14 es inestable y lentamente, por la f´ormula anterior, se transforma en nitr´ogeno2 y otras part´ıculas, es-
ta p´erdida queda compensada por la constante actividad de neutrones c´osmicos, que atravesando nuestro Sistema Solar, llegan a la atm´osfera terrestre, donde chocan, a unos 15 km de la superficie terrestre, con el N , cre´andose C14e hidr´ogeno.
Parte de los ´atomos de C14 y de C12 en la atm´osfera se oxidan, es decir forman con el ´oxigeno mol´eculas de CO2. Todos estos procesos son mas o menos constantes y como consecuencia lo es la proporci´on en el aire del CO2 con C12 y con C14. Las plantas vivas adquieren el carbono del CO2del ambiente produciendo glucosa (C6H12O6) durante la fotos´ıntesis. De este modo plantas y animales vivos (que se alimentan de plantas) tienen una proporci´on constante de ambos carbonos en sus tejidos, que no es otro que el del ambiente.
Sin embargo cuando un ser vivo muere el C12no se altera y podemos analizar cuanto tiene ahora (un tiempo t despu´es de su muerte) que, al ser constante, es el que ten´ıa cuando muri´o. Por lo que podemos saber la cantidad x(0) de C14 que ten´ıa entonces (admitiendo que la proporci´on de ambos en el ambiente de entonces y de ahora es la misma). Ahora bien como este es radioactivo se desintegra (tras la muerte no hay aporte nuevo de este is´otopo) y como conocemos la constante k en la f´ormula de su desintegraci´on, podemos aplicarla para saber la fecha de su muerte, para lo cual basta analizar la cantidad, x(t), de C14 que hay en la actualidad y despejar t en la f´ormula.
Este m´etodo de dataci´on por el carbono es usado habitualmente por paleont´ologos, egipt´ologos, arque´ologos, bi´ologos, ge´ologos, qu´ımi- cos ´o f´ısicos, quienes est´an interesados en determinar la edad de huesos, pinturas ´o cualquier tipo de resto org´anico. Y como lo habitual es con- siderarlo un buen m´etodo, es preciso recordar sus limitaciones, es decir
todas las hip´otesis que hay detr´as de la conclusi´on. Entre ellas, una aproximaci´on matem´atica continua y sencilla de una realidad discreta y compleja; constancia de bombardeo c´osmico; constancia de ´atomos y mol´eculas en la atm´osfera y en la superficie de la tierra, durante miles de a˜nos, etc. El m´etodo no tiene en cuenta cat´astrofes a nivel mundial: explosiones de supernovas que hayan afectado a la Tierra, emisiones so- lares extra˜nas, meteoritos, volcanes o grandes tormentas. Siendo casi cotidianos algunos de estos fen´omenos.
Debemos recordar pues, que todas estas hip´otesis, son tan s´olo hip´ote- sis, es decir algo simple de lo que partir, pero no demostrado en el ´ambito cient´ıfico.
No obstante s´ı es verdad que pueden hacerse dataciones por otros m´etodos y cotejarlas permitiendo una verosimilitud mayor en la data- ci´on.
Ejercicio 1.9.7 Si es cierto3 que en una econom´ıa la velocidad de disminuci´on del n´umero de personas y(x), con un salario de por lo menos x euros, es directamente proporcional al n´umero de personas e inversamente proporcional a su salario m´ınimo, obt´engase la expresi´on de y en t´erminos de x llamada ley de Pareto.
Ejercicio 1.9.8 La ley experimental de Lambert4 establece que las l´aminas
delgadas de un material transparente absorben la luz que incide en ellas de forma proporcional a la intensidad de la luz incidente y al ancho de la l´amina que atraviesa. Expr´esese esta ley dando la f´ormula que da la intensidad de luz que sale de un medio de ancho L.