Ley de Galileo. Consideremos un cuerpo de masa 1. La ley de Galileo nos asegura que en ca´ıda libre su aceleraci´on x00(t) es constante e igual a g.
Es una ecuaci´on diferencial de segundo orden en la recta, la cual define una ecuaci´on diferencial en el fibrado tangente de la recta, que en coordenadas (x, z) se plantea de la forma
x0(t) = z(t) z0(t) = g ) ⇒ z(t) = gt + z(0) x(t) = 1 2gt 2+ x0(0)t + x(0) y cuyo campo asociado es
D = z ∂ ∂x + g
∂ ∂z.
Leyes de Newton. La Ley de la atracci´on Universal de New- ton asegura que dados dos cuerpos con masas M y m a distancia R, se produce una fuerza de atracci´on F de m hacia M —y otra (−F ) de M hacia m—, de m´odulo
|F | = mGM R2 ,
Si consideramos un sistema de coordenadas centrado en5M y denotamos σ(t) = (x(t), y(t), z(t)) la posici´on en el instante t de m, tendremos que su velocidad es ˙σ y su aceleraci´on ¨σ y por la Segunda Ley de Newton, la aceleraci´on de m vale, para el vector unitario u = σ/|σ| = σ/R
m¨σ = F = −GM m R2 u,
donde G = 60673 · 10−11(N m2/kg2) es una “constante Universal”. Ahora bien esto nos dice por una parte, que si M es la Tierra, en las proximidades de su superficie, la masa m sufre una aceleraci´on constante
|¨σ| = g = GM R2 = 9
08(N ),
independiente del valor de su masa, donde R es el radio de la tierra. Con lo cual obtenemos la Ley de Galileo. Adem´as ¨σ = −gu y u (que apunta al centro de la tierra) localmente es casi constante (0, 0, 1), por lo tanto ¨
x = ¨y = 0 y ¨z = −g, de donde
x(t) = ut + a, y(t) = vt + b, z(t) = −gt 2
2 + wt + c,
5Suponemos que la masa M es mucho m´as grande que la de m y que est´a quieto,
aunque no lo est´a, ambos giran en torno al centro de masa de los dos, que s´ı podemos considerar quieto (ver la p´ag400). En el caso de la tierra y el sol tal centro de masas est´a en el interior del sol.
1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales 47
para σ(0) = (a, b, c) y ˙σ(0) = (u, v, w), y la trayectoria es una par´abola.
(x(t),y(t),z(t))
(u,v,w)
(a,b,c)
Figura 1.13.
Por ejemplo, para σ(0) = 0 y ˙σ(0) = (1, 0, 0), la soluci´on es
x(t) = t, y(t) = 0, z(t) = −gt 2
2 ⇒ z = −
gx2 2 .
Nota 1.34 Por otra parte tambi´en tenemos una explicaci´on de esa cons- tante G. Acabamos de decir que un cuerpo con masa M acelera a todos los cuerpos que est´en a distancia R con la misma aceleraci´on y que esta aceleraci´on determina la masa M . Esto nos permite definir a partir de unidades de longitud y tiempo (como metro y segundo) una unidad de masa can´onica.
Llamemos kg Natural a la masa de un cuerpo que a 1 metro acelera a cualquier cuerpo 1 m/seg2.
Naturalmente como el kg es una unidad cuyo origen hist´orico es in- dependiente del metro y del segundo, (es la masa de 1 cubo de agua de 1 dec´ımetro de lado —es decir de 1 litro—), pues no coincide con el kg Natural y la proporci´on entre ambos es esta constante Universal G. Es decir que la naturaleza m´agica de ese misterioso n´umero universal est´a en la elecci´on arbitraria del kg que, tambi´en es cierto, puede ser mas operativo que el del kg Natural.
Por otra parte en La Teor´ıa de la Relatividad la constancia de la velocidad de la luz nos permite relacionar las unidades de tiempo y de longitud y hablar de a˜nos-luz como unidad de longitud.
Es decir que las unidades de longitud y tiempo se determinan mutua- mente y con ellas se determina una unidad de masa. Pero ¿habr´a alguna unidad de longitud can´onica?. Es posible que sea as´ı puesto que en el Universo hay protones. Y es posible que alguna de las constantes univer- sales de la f´ısica (de Planck, etc.), sea la confirmaci´on de esto (en cuyo
caso el n´umero que define esa constante en unas unidades ser´ıa conse- cuencia, una vez mas, de la elecci´on arbitraria de dichas unidades. Pero esto es hablar por no callar...
El p´endulo. Consideremos un p´endulo de masa m suspendido, en el origen de coordenadas de R2, por una barra r´ıgida de masa despreciable y de longitud L.
Su posici´on, en cada instante t (ver figura (1.14), viene determinada por el ´angulo θ(t) que forma la barra en el instante t con el semieje negativo de las ordenadas, medido en sentido contrario al del movimiento de las agujas del reloj. Tal posici´on es
σ(t) = L(sen θ(t), − cos θ(t)) = Le1(t), y como
e01= θ0(t)(cos θ(t), sen θ(t)) = θ0(t)e2(t), e02= θ0(− sen θ, cos θ) = −θ0e1,
tendremos que la velocidad del p´endulo en cada instante t vendr´a dada por
v(t) = σ0(t) = Lθ0(t)e2(t), y la aceleraci´on por
a(t) = σ00(t) = Lθ00(t)e2(t) − Lθ0(t)2e1(t)
Figura 1.14. P´endulo
Por otra parte sobre la masa act´uan dos fuerzas por unidad de masa, la de la gravedad que es (0, −g) y otra con la direcci´on de la barra F e1(t), que impide que la masa deje la circunferencia y que unas veces
1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales 49
apuntar´a en la direcci´on del centro de la circunferencia (F < 0) y otras en direcci´on contraria (F > 0). La de la gravedad se descompone en t´erminos de la base e1, e2 de la forma
(0, −g) = ((0, −g) · e1)e1+ ((0, −g) · e2)e2= mg cos θe1− mg sen θe2, y por la segunda Ley de Newton ma(t) = (0, −mg) + mF e1, es decir
Lθ00(t)e2− Lθ0(t)2e1= g cos θe1− g sen θe2+ F e1, lo cual equivale al par de ecuaciones
Lθ00(t) = −g sen θ, −Lθ0(t)2= g cos θ + F, y el movimiento del p´endulo queda descrito por la ecuaci´on
(1.8) θ00(t) = −g
Lsen θ(t).
Puesta en coordenadas es una ecuaci´on diferencial de segundo orden en la recta real. Aunque realmente es una ecuaci´on diferencial de segundo orden en la circunferencia y corresponde a un campo tangente en el fibrado tangente a la circunferencia, que es el cilindro.
Para resolver esta ecuaci´on introducimos una nueva variable z (la velocidad de la masa, que es k v k), y consideramos el sistema
θ0(t) = z(t) L , z0(t) = −g sen θ(t), que corresponde al campo tangente
D = z L ∂ ∂θ − g sen θ ∂ ∂z. Observemos que ωD = 0 para la 1–forma exacta
ω = Lg sen θdθ + zdz = d[z 2
2 − gL cos θ], por lo que la funci´on
h = z 2
2 − gL cos θ,
que verifica h ≥ −gL, es una integral primera de D y por tanto es constante en las curvas integrales de D (ver dibujo (1.15). Esto demuestra
la Ley de conservaci´on de la energ´ıa en el p´endulo, pues la suma de la energ´ıa cin´etica y la energ´ıa potencial de m es
Ec+ Ep= m z2(t) 2 − mgL cos θ(t) = mh. 3p p -p 0 2p
Figura 1.15. Curvas integrales
Nota 1.35 Observemos (ver figura (1.15)), que hay cuatro tipos de cur- vas integrales y que est´an sobre las curvas {h = cte}: Las constantes, que corresponden a los puntos en los que D = 0, que son (0, 0) y (π, 0) —en la franja [0, 2π) × R—. El primero est´a sobre la curva {h = h(0, 0) = −gL}, que s´olo contiene al punto (0, 0), pues z2 = 2gL(cos θ − 1) ≤ 0, mien- tras que el segundo est´a sobre la curva especial {h = h(π, 0) = gL} = C ∪ {(π, 0)}, que est´a formada por dos curvas integrales: la constan- te (π, 0) y el resto C que representa el movimiento del p´endulo que se aproxima, cuando t → ∞, al punto m´as alto de la circunferencia, con velocidad tendiendo a cero, sin alcanzarlo nunca salvo en el l´ımite. Esta curva integral es la ´unica no peri´odica. La curva integral de D, τp(t) = (θ(t), z(t)), con las condiciones iniciales p = (π, z0), con z0 6= 0, esta sobre la curva
h(θ, z) = h(π, z0) > gL,
y se demuestra que esta curva es la trayectoria de τp y que esta es peri´odica de per´ıodo 2π. Por ´ultimo la curva integral de D, τp(t) = (θ(t), z(t)), con las condiciones iniciales p = (θ0, 0), con π 6= θ0 6= 0, satisface la ecuaci´on
h(θ, z) = h(θ0, 0) < gL
que son los ´ovalos en la figura1.15. Se sigue de (2.28), p´ag.98, que τp es completa es decir definida en todo R y como el campo no se anula en esta curva, se sigue de (5.37), p´ag.318, que la trayectoria de τpes el ´ovalo y que τp es una curva peri´odica, es decir existe el m´ınimo valor T > 0 —al que llamamos per´ıodo de la curva—, tal que τp(0) = τp(T ) = p. Y
1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales 51
para θ0> 0 tenemos que
z(t) = (
−p2gL(cos θ(t) − cos θ0), si t ∈ [0, T /2]; p2gL(cos θ(t) − cos θ0), si t ∈ [T /2, T ].
Si se quiere encontrar θ(t) es necesario resolver una integral el´ıptica de primera especie, pues integrando entre 0 y t
dt = Lθ 0(t) z(t)dt, t = Z t 0 Lθ 0(t) z(t)dt = − s L 2g Z θ(t) θ(0) dθ √ cos θ − cos θ0 , y por tanto T 2 = s L 2g Z θ0 −θ0 dθ √ cos θ − cos θ0 , T = 4 s L 2g Z θ0 0 dθ √ cos θ − cos θ0 , y utilizando la igualdad cos θ = 1 − 2 sen2θ 2, se tiene que T = 2 s L g Z θ0 0 dθ q sen2 θ0 2 − sen 2 θ 2 ,
y con el cambio de variable
senθ 2 = sen θ0 2 sen ϕ = a sen ϕ, tendremos T = 4 s L g Z π/2 0 dϕ p 1 − a2sen2ϕ, y como para |x| < 1 se tiene
1 √ 1 − x = 1 + 1 2x + 1 · 3 2 · 4x 2+1 · 3 · 5 2 · 4 · 6x 3+ · · ·
se demuestra (para x = a2sen2ϕ) que T = 2π s L g " 1 + 1 2 2 a2+ 1 · 3 2 · 4 2 a4+ 1 · 3 · 5 2 · 4 · 6 2 a6+ · · · # ,
y se tiene que si θ0→ 0 entonces a → 0 y el per´ıodo converge a
(1.9) T = 2π
s L g.
Ejercicio 1.9.10 Una masa se desplaza infinitesimalmente del punto mas alto de una esfera lisa de radio L y empieza a resbalar sin rozamiento ni rotaci´on. ¿En que punto y con que velocidad se separa de la esfera?
A menudo (1.8) se transforma por
θ00(t) = −g Lθ(t),
que es una buena aproximaci´on para peque˜nas oscilaciones del p´endulo, pues para θ peque˜no θ ≈ sen θ, y tiene la ventaja de ser mas sencilla de resolver.
Sin embargo la raz´on de esta aproximaci´on la veremos en la lecci´on
5.2, p´ag.274, donde probaremos que una ecuaci´on diferencial en un punto singular tiene asociada, can´onicamente, otra ecuaci´on diferencial en su espacio tangente, a la que llamamos su linealizaci´on.
En el tema de los sistemas lineales veremos que x00= −k2x,
—con k > 0—, tiene soluci´on peri´odica
x(t) = A · cos(kt) + B · sen(kt) = C · cos(kt + α),
para α ∈ [0, 2π) y
C =pA2+ B2 , cos α = A
C , sen α = − B C, y que para k =pg/L) el per´ıodo es
(1.10) T = 2π k = 2π s L g = R2π r L M G,
1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales 53
que es el valor l´ımite (1.9), donde recordemos que R es la distancia de la masa al centro de la Tierra.
Con esto tenemos una justificaci´on de por qu´e un reloj de p´endulo atrasa si lo llevamos del polo al ecuador, en el que la distancia al centro de la tierra es mayor.
Ejercicio 1.9.11 Justif´ıquese por qu´e un reloj de p´endulo atrasa si lo llevamos del polo al ecuador y est´ımese la proporci´on de abultamiento de la Tierra en esos puntos, si el mismo tiempo (medido en ambos puntos con otro reloj) en uno de los puntos el reloj de p´endulo lo mide de 1h, 100 y 5200y en el otro de 1h, 100 y 3800.