Chapter 7: Saudi Electricity Company Sukuk
7.5 Sharia Perspective Analysis
7.5.1 Critical Analysis of the Content
Una vez que las señales originales han sido filtradas y se ha calculado el espectro de potencia de las señales resultantes, este se almacena en vectores de 125 medicio- nes para cada canal. Esto tiene el objetivo de contar con una representación de las variaciones que tuvo la magnitud de las señales filtradas durante segmentos cortos de tiempo.
La idea de almacenar pequeños segmentos de las señales resultantes del proceso anterior, tiene como objetivo conocer la forma en que evolucionan las mediciones para cada uno de los 16 canales a lo largo del tiempo. De igual manera, se pretende calcular
una serie de valores que puedan arrojar información adicional del comportamiento de los grupos de mediciones en cada segmento de tiempo.
4.2.3. Parámetros estadísticos
Con el objetivo de conocer el comportamiento de los grupos de datos almacenados correspondientes a diversos segmentos de tiempo, es necesario calcular algunos de sus momentos estadísticos.
Según el tipo de información que se requiera, se pueden seleccionar parámetros de localización, dispersión o forma de acuerdo con la Sección 3.2.
El modelo computacional propuesto, toma en consideración dos parámetros de lo- calización: la media y la mediana, y un parámetro de dispersión: la desviación típica, por lo que es necesario calcular tales valores para cada uno de los 16 vectores resul- tantes del proceso anterior, lo cual resulta en un total de 48 valores numéricos, de los cuales 16 corresponden a la media, 16 a la mediana, y 16 a la desviación típica.
4.3. Formación de pseudo-imágenes
Una vez calculados los parámetros de interés que contienen información relacio- nada con las variaciones de la potencia en las señales originales, estos son utilizados para comenzar a formar una serie de pseudo-imágenes. El objetivo de este proceso es contar con una representación visual de la evolución de las señales cerebrales a lo largo del tiempo. A continuación se describe el proceso de formación de pseudo- imágenes.
4.3.1. Proyección
Los 48 valores calculados mediante el proceso descrito anteriormente son coloca- dos en 3 matrices de 256x256 pixeles, 16 en cada matriz. Los valores correspondientes a la media se posicionan en la primera, los de la mediana en la segunda, y finalmente los de la desviación típica en la tercera. La colocación de tales valores en las matrices conserva la relación espacial con las posiciones del sistema 10-20 donde fueron colo-
cados los electrodos de registro físicamente. Estas matrices serán las plantillas sobre las cuales se construirá cada una de las pseudo-imágenes.
Para seleccionar los pixeles donde los valores calculados serán colocados, primera- mente es necesario conocer las coordenadas tridimensionales de los electrodos. Estas se obtienen haciendo mediciones directas sobreMark IV, la estructura de plástico que
sostiene los electrodos y los fija en las posiciones seleccionadas. Para establecer las coordenadas(, y, z)de cada punto, se considera como origen el centro del óvalo des-
crito por la base de Mark IV y las mediciones son expresadas en milímetros como se
puede apreciar en la Figura 30.
−100 −50 0 50 100 −100 −50 0 50 100 0 20 40 60 80
Figura 30.Posiciones tridimensionales originales de los 16 electrodos.
Posteriormente es necesario llevar a cabo una proyección de las posiciones tri- dimensionales originales de los electrodos, hacia un plano que represente la matriz sobre la cual las pseudo-imágenes serán construidas. Para efectos de esta proyección, las posiciones tridimensionales de los electrodos son idealizadas como puntos perte- necientes a la superficie de una esfera y las matrices sobre las que se construirán las pseudo-imágenes se consideran como planos tangentes a la parte más alta de la superficie de tal esfera.
Con la finalidad de llevar a cabo tal proyección es posible trasladar los puntos de sus posiciones tridimensionales originales a través de vectores normales al plano hasta que tales puntos lo intersecten, eliminando la coordenadazy conservando las posicio-
nes en y y, sin embargo, el problema de este método es que además de introducir
una distorsión considerable en el mapa resultante, la distancia relativa entre las posi- ciones de cada uno de los electrodos se pierde como se aprecia en la Figura 31a.
De manera alternativa, se utiliza el método de proyección azimutal equidistante descrito en la Sección 3.3.1, ya que a pesar de introducir cierto grado de distorsión al mapa resultante, conserva la distancia relativa entre las posiciones originales de los electrodos como se muestra en la Figura 31b.
−100 −50 0 50 100 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 a) −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 b)
Figura 31. Comparación entre métodos de proyección: a) proyección burda y b) proyección azimutal equidistante.
El hecho de conservar las distancias relativas entre los electrodos resulta conve- niente, ya que provee una estimación más precisa de la influencia real del valor de potencia de cada electrodo durante la construcción de las pseudo-imágenes finales.
Como se puede observar en la Figura 31, la escala en el mapa resultante ha sido reducida de forma considerable, sin embargo, esto no resulta un problema, ya que lo importante en esta proyección es conservar las distancias relativas entre electro- dos, por lo que es suficiente llevar a cabo un ajuste de escala para tales posiciones resultantes a la escala con la que se pretende trabajar.
Debido a que se ha propuesto el tamaño de 256x256 pixeles para las pseudo- imágenes, entonces se lleva a cabo el ajuste de escala a un tamaño cercano pero
menor, con el objetivo de evitar que los valores sean ubicados en la periferia de las matrices, pero a su vez aprovechando la resolución disponible.
En la Tabla 1 se muestra la correspondencia entre la asignación de los electrodos con su respectiva posición de acuerdo al sistema 10-20. Además de un concentra- do de las coordenadas resultantes de los pasos en el proceso de proyección. En las columnas “Electrodo” y “Posición 10-20” se muestra la correspondencia entre las po- siciones seleccionadas del sistema 10-20 y el número de elecrodo. Las columnas “”,
“y” y “z” muestran las coordenadas originales de los electrodos, posteriormente, en
las columnas “AEP” y “yAEP” se tienen las coordenadas de los electrodos proyectadas
al plano mediante la aplicación del método de proyección azimutal equidistante. Final- mente en las columnas “s” y “ys” se muestran las coordenadas finales de los puntos
proyectados a la escala real de las pseudo-imágenes. Nótese que el ajuste de escala fue llevado a cabo considerando una proyección de salida de 244x244 pixeles, para lo cual fue necesario primeramente redondear los valores a enteros y posteriormente correr las coordenadas 6 pixeles en la dirección positiva de cada eje con la finalidad de centrar la proyección y evitar ubicar valores en la periferia de las matrices.
Tabla 1.Correspondencia entre electrodos y posición de acuerdo al sistema 10-20
Electrodo Posición 10-20 y z AEP yAEP s ys
1 Fp1 -30 95 0 -0.4730 1.4978 91 250 2 Fp2 30 95 0 0.4730 1.4978 165 250 3 C3 -60 0 72 -0.6947 -8.5080 74 128 4 C4 60 0 72 0.6947 0 182 128 5 T5 -72 -55 0 -1.2482 -0.9535 31 50 6 T6 72 -55 0 1.2482 -0.9535 225 50 7 O1 -30 -95 0 -0.4730 -1.4978 91 6 8 O2 30 -95 0 0.4730 -1.4978 165 6 9 F7 -72 55 0 -1.2482 0.9535 31 206 10 F8 72 55 0 1.2482 0.9535 224 206 11 F3 -47 57 60 -0.5653 0.6856 84 184 12 F4 47 57 60 0.5653 0.6856 172 184 13 T3 -82 0 0 -1.5707 -1.9236 6 128 14 T4 82 0 0 1.5707 0 250 128 15 P3 -47 -57 65 -0.5402 -0.6552 86 75 16 P4 47 -57 65 0.5402 -0.6552 170 75
Ref A1 N/A N/A N/A N/A N/A N/A N/A
Como primer paso para la construcción de las pseudo-imágenes, los valores de los parámetros estadísticos calculados en la Sección 4.2.3 son colocados en las ubicacio- nes mostradas en la Figura 32, las coordenadas de tales puntos se encuentran en las columnas “s” y “ys” de la Tabla 1.
0 50 100 150 200 250 0 50 100 150 200 250
Figura 32.Proyección final de las posiciones tridimensionales de los electrodos a la matriz que servirá como plantilla para la construcción de pseudo-imágenes.
4.3.2. Interpolación
El proceso descrito hasta este punto coloca una serie de valores asociados a las variaciones temporales de la potencia de cada uno de los electrodos en 3 matrices de 256x256 pixeles. Cada una de estas matrices está relacionada con un parámetro estadístico: la primera con la media, la segunda con la mediana y la tercera con la desviación típica. Tales matrices se encuentran en su mayoría vacías, ya que solo 16 de sus 65,536 pixeles tienen asignado un valor.
Con la finalidad de asignar un valor al resto de los pixeles se lleva a cabo una inter- polación de acuerdo a la descripción de esta operación en la Sección 3.4. El método de interpolación aplicado es “Spline biarmónica”, un algoritmo de interpolación bidi-
mensional que toma una serie de valores conocidos y sus coordenadas como entrada, y entrega un conjunto de valores a la salida para cada una de las coordenadas no incluidas en la entrada.
Entonces, el algoritmo de “Spline biarmónica” es alimentado con los valores de
los parámetros estadísticos calculados en la Sección 4.2.3. Además, como parte de la entrada se incluyen las coordenadas finales obtenidas mediante el proceso de pro- yección descrito en la Sección 4.3.1, mismas que se encuentran en las columnas “s”
y “ys” de la Tabla 1. Como resultado se obtienen estimaciones de los valores de los
pixeles cuya información no fue incluida como parte de los datos de entrada, es decir, los pixeles faltantes.
Figura 33.Proceso de interpolación mediante el algoritmo de “Splinebiarmónica”.
La Figura 33 ejemplifica el proceso de interpolación mediante la aplicación del al- goritmo de “Splinebiarmónica”. En la imágen de la derecha, la serie de valores obte-
nidos son colocados en las coordenadas correspondientes, mismas que previamente se encontraban vacías en la imágen de la izquierda. De esta manera, las matrices se completan con información estimada a partir de los valores conocidos, generando una primer versión de las pseudo-imágenes en cuestión.
4.3.3. Normalización
Una vez que se tiene una primera versión de las pseudo-imágenes, estas requieren ajustes radiométricos con la finalidad de mostrar la información contenida en ellas con la mayor claridad posible. Como se puede apreciar en la imágen del lado derecho en la Figura 33, la mayor parte de los pixeles contiene valores de radiometría baja (tonos obscuros). Esto se debe a que los valores calculados a partir de los parámetros estadísticos y por lo tanto también los valores estimados mediante la interpolación son bajos comparados con el espectro disponible. La uniformidad en la tonalidad de los pixeles en la imágen dificulta la apreciación de los detalles, lo cual podría causar problemas durante la etapa de clasificación.
Las pseudo-imágenes se generan a una resolución radiométrica de 8 bits, es decir, cada pixel puede contener un valor entre 0 y 255, por lo que para enfatizar las dife- rencias de nivel entre pixeles se lleva a cabo un ajuste radiométrico a partir del cual se busca aprovechar el espectro disponible de la manera más eficiente posible.
En el procesamiento digital de imágenes, la normalización de histograma es una herramienta comúnmente utilizada con el fin de utilizar de manera eficiente el espec- tro radiométrico disponible. Sin embargo, para llevar a cabo este ajuste, es necesario conocer el máximo valor contenido en la imagen original. Debido a que las pseudo- imágenes están siendo generadas a partir de un conjunto de señales que evoluciona a lo largo del tiempo, y cada una de ellas representa un segmento de tal evolución, el valor máximo en cada pseudo-imágen es distinto. Si se aplica la normalización de histograma, cada pseudo-imagen se normalizaría de forma independiente, lo que cau- saría una variación en la escala radiométrica de las imágenes, misma que originaría confusiones durante la clasificación.
Con la finalidad de establecer una escala radiométrica fija para la normalización de todas las pseudo-imágenes, los valores de cada uno de los pixeles son multiplicados por un factor establecido. Para el caso de las pseudo-imágenes generadas a partir de la media y mediana, el factor de ajuste fue establecido con el valor de 12.75, mientras que se estableció un factor de ajuste de 63.75 para la desviación típica. Los valores de ambos factores fueron seleccionados llevando a cabo una serie de corridas de prueba y ajuste de acuerdo a las observaciones. La diferencia entre el factor de la desviación típica con respecto a los otros parámetros se debe a que la media y mediana presentan siempre valores similares que en promedio son aproximadamente 5 veces mayores que los de la desviación típica.
En la Figura 34 se aprecia la utilidad de la aplicación del proceso de normalización descrito anteriormente. En la pseudo-imagen del lado izquierdo es dificil apreciar las diferencias de tonalidad en los pixeles, mientras que en la pseudo-imagen del lado derecho, tales diferencias han sido enfatizadas mediante el proceso de normalización. Las diferencias de tonalidad contienen información de la naturaleza de las señales originales a partir de las cuales fueron generadas las pseudo-imágenes.
Figura 34.Aplicación del factor de normalización en una pseudo-imagen.
4.3.4. Mezcla de bandas
Hasta este punto se han construido 3 pseudo-imágenes monocromáticas con una resolución espacial de 256x256 pixeles y una resolución radiométrica de 8-bits para cada segmento de tiempo. Con la finalidad de construir una pseudo-imagen única que represente las variaciones de las señales originales para cada segmento de tiempo, se lleva a cabo una mezcla de las 3 pseudo-imágenes monocromáticas en una sola pseudo-imágen RGB, en la que la pseudo-imagen relacionada con la media constituya la banda roja, la relacionada con la mediana se asocie a la banda verde y la relacionada con la desviación típica represente la banda azul.
La pseudo-imágen RGB conserva la resolución espacial de 256x256 pixeles de las pseudo-imágenes originales. Sin embargo, debido a que la resolución radiométrica de las pseudo-imágenes con las que fue construida es de 8 bits, entonces su resolución radiométrica será de 24 bits, donde los 8 bits más significativos representan el valor radiométrico de la banda roja, los 8 bits centrales representan el de la banda verde y los 8 bits menos significativos representan el de la banda azul para cada pixel.
La Figura 35 muestra las pseudo-imágenes construidas a partir de cada uno de los parámetros estadísticos para un tiempo determinado. Además la pseudo-imagen de las esquina inferior derecha muestra la mezcla de las bandas en una pseudo-imagen única que contiene información de las tres pseudo-imágenes originales. Como se pue-
Media Mediana
Desviación Típica Mezcla de Bandas
Figura 35.Formación de una pseudo-imágen única a partir de la mezcla de bandas.
de observar las tonalidades que predominan son azul y amarillo, esto se debe a que la pseudo-imagen de la desviación típica, que constituye la banda azul, tiene un valor completamente distinto al de las otras dos pseudo-imágenes, lo cual significa que la correlación entre las bandas azul y roja o azul y verde es baja. Por otro lado la tona- lidad amarilla se genera por la mezcla de las pseudo-imágenes de la media, que se asocia con la banda roja, y la mediana, que se encuentra en la banda verde, mismas que tienen valores muy similares, es decir, la correlación entre las bandas verde y roja es alta.
4.3.5. Aplicación de máscara
La información que se muestra en las pseudo-imágenes RGB que fueron generadas hasta ahora tiene un sentido espacial. Esto significa que la distribución espacial de los pixeles que las conforman tiene una estrecha relación con la configuración física del sistema de adquisición utilizado para extraer las señales que dieron origen a tales pseudo-imágenes.
El algoritmo empleado para llevar a cabo la interpolación estima valores para todos aquellos pixeles que se encuentran dentro del área delimitada por los pixeles periféri- cos, cuyas posiciones fueron determinadas mediante el proceso de proyección descrito en la Sección 4.3.1. Este algoritmo también lleva a cabo una extrapolación, misma que genera datos para los pixeles que se encuentran fuera del área mencionada.
Considerando los principios físicos de la adquisición de las señales que dieron orí- gen a las pseudo-imágenes, no es conveniente extrapolar la información radiométrica a los pixeles que se encuentran fuera del área delimitada por los pixeles periféricos. Por esta razón es pertinente aplicar una máscara que cancele los valores radiométricos de los pixeles que se encuentran fuera del área de interés.
Figura 36.Aplicación de máscara para obtener la versión final de las pseudo-imágenes.
La Figura 36 muestra la versión final de las pseudo-imágenes después de aplicar la máscara correspondiente. Como se puede observar, esta máscara cancela los valores radiométricos de los pixeles que se encuentran fuera de la circunferencia delimitada por los pixeles periféricos anteriormente mencionados.
Las pseudo-imágenes resultantes son posteriormente utilizadas para el entrena- miento, validación y prueba del sistema de clasificación basado en el paradigma de “Programación Cerebral”.
4.4. Clasificación
Las pseudo-imágenes resultantes del proceso anteriormente descrito contienen in- formación que conserva las características espaciales, de potencia y frecuencia de las señales biológicas originales.
Tales pseudo-imágenes son utilizadas para llevar a cabo el entrenamiento del mo- delo computacional descrito en la Sección 3.6. Este modelo computacional consiste en una estructura jerárquica que imita la forma en que la información visual es procesada e interpretada por el cerebro humano; i.e.,corteza visual artificial. Una vez entrenada esta estructura jerárquica mediante “Programación Cerebral”, se generan programas que resuelven el problema de clasificación de las pseudo-imágenes en cuestión.
La Figura 37 muestra un diagrama que representa el sistema electrónico-computacional descrito anteriormente, mismo que tiene tiene como objetivo detectar la presencia de ondas alfa, llevando a cabo la clasificación de pseudo-imágenes generadas a partir de un conjunto de señales cerebrales extraidas mediante la interfaz cerebro-computadora
OpenBCI. 1 OpenBCI 𝝁 𝝈 𝝈𝟐 BP Señales EEG (16 Canales) Espectro de Potencia y Filtrado Almacenamiento Parámetros Estadísticos Proyección (3 matrices)
Interpolación Normalización Mezcla de Bandas Aplicación de Máscara Clasificación (Modelo CVA) Adquisición Pre-Procesamiento Formación de Pseudo-Imágenes Clasificación
Figura 37.Diagrama del sistema electrónico-computacional para la detección de ondas alfa mediante la clasificación de pseudo-imágenes generadas a partir de señales EEG.
Capítulo 5.
Experimentación
El presente capítulo, está dedicado a describir los experimentos ejecutados duran- te la investigación. Se contemplan tanto los experimentos ejecutados para llevar a cabo la adquisición de señales electroencefalográficas, como también los que ponen a prueba el sistema electrónico computacional descrito en el Capítulo 4, mismo que convierte las señales electroencefalográficas en pseudo-imágenes y lleva a cabo su clasificación con el objetivo de detectar la presencia de actividad en la banda alfa.
Primeramente se detallan las condiciones del ambiente, equipo, y sujetos de estu- dio durante el registro de señales electroencefalográficas. Posteriormente, se describe el procedimiento para llevar a cabo la adquisición de tales señales. Además, se des- cribe de manera breve la implementación del modelo computacional explicado en el capítulo anterior para llevar a cabo la conversión de señales electroencefalográficas en pseudo-imágenes y el proceso de etiquetado de las mismas. Finalmente se deta- llan los experimentos ejecutados para clasificar tales pseudo-imágenes mediante el modelo computacional de la corteza visual artificial.
5.1. Condiciones de experimentación
Para llevar a cabo el registro de las señales electroencefalográficas, resulta críti- co controlar diversos parámetros, entre los que se incluyen condiciones ambientales, configuración de equipo y características de los sujetos de estudio.
Esta sección define la selección de parámetros para llevar a cabo el registro de las señales de interés. En ella se describen las condiciones presentes el ambiente, la configuración del equipo de adquisición de datos y las condiciones de los sujetos de