2. METHODOLOGY
4.3. Critical Review
Kundu et al.(2008) ´´Definen la vorticidad forzada dependiendo de el comportamiento de una part´ıcula de fluido en rotaci´on respecto al origen, si la velocidad tangencial aumenta proporcional- mente al radio de las l´ıneas de corriente, esto es:
vθ =ωr
Se puede asegurar entonces que la velocidad angularωen un v´ortice forzado es una constante”(p. 68), adem´as que tambi´en es la pendiente de la grafica entre la velocidad tangencial y el radio.
De lo mencionado, y observando en las gr´aficas de las figuras 7-5 y 7-6 que son los resultados analizados por tracker se puede concluir que tanto la part´ıcula verde y roja detallan un compor- tamiento en el agua que dista mucho de parecer un fluido que rota como un solido r´ıgido y que independientemente de la distancia del radio de giro al n´ucleo de cada part´ıcula, la velocidad an- gular deber´ıa ser la misma, por el contrario se detalla una relaci´on inversamente proporcional esto es:
ω ∝r:ω = k
r2
Ecuaci´on gr´afica part´ıcula verde:ω= 9.41r−2+ 8.27 = 9.41
r2 + 8.27rad/s
Ecuaci´on gr´afica part´ıcula roja:ω = 1.17r−2+ 5.72 = 1.17
CAP´ıTULO 7. MEDICI ´ON Y AN ´ALISIS DE DATOS CON TRACKER 32
Seg´un el ajuste del programa tracker con coeficientes de correlaci´on de0.593 y0.819 respectiva- mente, este fluido evidencia un comportamiento irrotacional, debido a que seg´un Arriagada (2014) “la velocidad angular disminuye a medida que el radio crece, es decir, en las cercan´ıas del centro de rotaci´on la velocidad angular es m´axima, y cerca del borde del contenedor es m´ınima” (p. 18). Este hecho para un v´ortice libre queda demostrado en el experimento por las part´ıculas de prueba verde y roja donde la velocidad angular de cada una de ellas crece a medida que el radio decrece y se acerca al n´ucleo.
Para saber las unidades de la constante k en las ecuaciones se procede a hacer un an´alisis dimensional esto es:
[ω] =k[r−2]; T−1=kL−2; k= T
−1 L−2 =
L2 T
La constante k, por tanto tiene dimensiones de metros al cuadrado por segundo para cada ecuaci´on, y seria diferente a las unidades de velocidad tangencial.
De los gr´aficos de las figuras 7-1 a la 7-4 se observa una dependencia lineal de la velocidad angular con respecto al tiempo con una pendiente determinada.
Part´ıcula roja:ω = 5.187t+ 2.731 Part´ıcula verde:ω= 5.073t+ 2.202 Part´ıcula azul: ω= 6.206t−1.14
Part´ıcula amarilla: ω= 5.545t−2.54
Haciendo un an´alisis dimensional a las unidades que tiene la constante que acompa˜na la variable t llegamos a: [ω] =k[t]; T−1 =kT1; k= T −1 T1 = 1 T2
Luego la constante tiene unidades de aceleraci´on angular: k=α= [T−2].
La aceleraci´on angular del v´ortice en el plano en aproximaci´on, ser´a la suma de cada una de las part´ıculas de prueba que est´an contenidas en el sistema.
αtotal= n=N X n=1 αi N
Para el caso de este experimento se utilizo solo cuatro part´ıculas de prueba por tanto:
αtotal = n=4 X n=1 αi N = α1+α2+α3+α4 4 = 5.187 + 5.073 + 6.206 + 5.545 4 = 5.503rad/seg 2
Si al aumentar el numero de part´ıculas esto es si :N → ∞, la aproximaci´on de esta aceleraci´on seria mayor.
CAP´ıTULO 7. MEDICI ´ON Y AN ´ALISIS DE DATOS CON TRACKER 33
Gr´aficas de trayectoria para la part´ıcula verde
Figura 7-7: Trayectoria part´ıcula verde en el plano xy.
En los cap´ıtulos anteriores de este texto se hab´ıa creado un modelo de funci´on vectorial ecuaci´on 4.1, que pod´ıa predecir el posible comportamiento de la trayectoria de una part´ıcula de prueba introducida en un v´ortice; de este modo, si el movimiento se analiza en tres dimensiones se observar´ıa una trayectoria helicoidal figura 4-1, pero si en vez de eso “el movimiento se estudia en un plano la trayectoria observada seria la de una espiral” (Bombinoet al., 2005).
Efectivamente haciendo uso del software se logro evidenciar una trayectoria en el plano xy de este tipo seg´un la figura 7-7; adem´as de encontrar una relaci´on funcional entre las coordenadas cartesianas y el par´ametroθ figuras 7-8 y 7-9.
CAP´ıTULO 7. MEDICI ´ON Y AN ´ALISIS DE DATOS CON TRACKER 34
Figura 7-8: Ajuste de curva para funci´on vectorial en eje vertical y(metros) Vsθ(radianes)
Figura 7-9: Ajuste de curva para funci´on vectorial en eje horizontal x(metros) Vsθ(radianes) El programa realiza un ajuste para las graficas de x(θ) yy(θ), con un coeficiente de correlaci´on de 0.066 y0.025, respectivamente; por tanto la funci´on de trayectoria que mayor se ajusta a los puntos de las graficas(l´ınea negra), es la funci´on vectorial resultante; es decir la combinaci´on lineal de las funciones x(θ) y y(θ), esto es:
~r=x(θ)ˆi+y(θ)ˆj
Reemplazando los par´ametros A,B,C y d ,hallados por el programa se llega a:
CAP´ıTULO 7. MEDICI ´ON Y AN ´ALISIS DE DATOS CON TRACKER 35
Esta ecuaci´on, define la trayectoria seguida por la part´ıcula verde en un marco de referencia de Lagrange o m´ovil. A continuaci´on aplicando el m´etodo de las ecuaciones (4.2) y (4.5) para hallar la velocidad en un instante de tiempot se obtiene la siguiente relaci´on:
d~r
dθ =−6.31e
1.34θ[sin(θ−1.10)+1.34 cos(θ−1.10)]ˆi−6.56e−1.25θ[cos(−9.98θ+3.10)+1.25 sin(−9.98θ+3.10)]ˆj
~v= d~r dθ dθ dt = d~r dθ ˙ θ= d~r dθω(t)
Donde ˙θes la velocidad angular en funci´on del tiempoω(t).Por tanto se puede hallar la velocidad de la part´ıcula de prueba en alg´un punto del sistema conociendo simult´aneamente los par´ametros
θ y tiempo t con los datos que suministra el programa y contrastar con el modelo planteado inicialmente.
Cap´ıtulo 8
CONCLUSIONES
La utilizaci´on del programa Tracker para este experimento resulto ser de gran ayuda para rastrear el movimiento aproximado del fluido con algunas esferas de tama˜no reducido y lograr acumular datos tanto de velocidad angular ω, como tambi´en de la posici´on ~r y de el tiempo t
dentro del sistema formado por un tornado de agua.
Se demostr´o adem´as que el instrumento construido para este trabajo de grado cumpli´o con el objetivo, el cual era generar un tornado de agua donde se pudiera observar el efecto en v´ortice, que es un fen´omeno de la din´amica de fluidos y poder estudiar su cin´etica con el programa.