LIST OF TABLES Table 1 1: Financial commitments under PPP
RESEARCH METHODOLOGY 2.0 Introduction
2.6 Research Method
2.7.2 Data Collection
12.1
Combinatoria
Estudia lacombinatoriatanto las distintas ordenaciones que pueden recibir los elementos de un conjunto
finito como los distintos grupos que pueden formarse con esos elementos, así como las relaciones entre unos y otros grupos. En este estudio se hace abstracción de la naturaleza de los elementos que forman el conjunto finito dado, hasta tal punto que no hay inconveniente alguno en suponer que los elementos del
conjunto en cuestión son los números naturales1,2, ...,m, simel cardinal del conjunto. En lo que
sigue vamos a considerar lo que llamaremosvariaciones, permutaciones y combinaciones.
Llamaremosvariacionesde ordenndemelementos distintos, siendon⩽m, y tambiénvariaciones de
m elementos tomados de n en n, a los distintos conjuntos ordenados denelementos elegidos entrem elementos dados.
Dos variaciones serán, pues, distintas cuando difieran en algún elemento o en el orden de colo- cación de los mismos.
El número de variaciones demelementos tomados denennse suele representar porVm,n , y a veces
también porVnm.
Ejemplo 1.Consideremos el conjuntoA= {1,2,3,4}. Las variaciones de orden2, de los cuatro elementos deA son:
(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3) En lo sucesivo informalizaremos un tanto la manera de expresar estos conjuntos y escribiremos simplemente:
12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43 Así
V4,2=12
Ejemplo 2.Consideremos el conjuntoA= {1,2,3,4}. La variaciones de orden3de los cuatro elementos deA son: 123 213 312 412 124 214 314 413 132 231 321 421 134 234 324 423 142 241 341 431 143 243 342 432
Observemos que leídos por columnas, los números, que representan las sucesivas variaciones forman una sucesión creciente.
Así
V4,3=24
Las variaciones demelementos tomados denennse obtienen de la siguiente manera:
Las variaciones de orden1son:
1,2,3, ...,m
Las variaciones de orden2resultan de escribir, a continuación de cada uno de estos números, cada uno
de losm−1restantes 12 21 31 ... m1 13 23 32 ... m2 14 24 34 ... m3 ... 1m 2m 3m ...m,m−1
y su número será, por tanto:m⋅ (m−1).
Las variaciones de orden3serán el resultado de escribir, a continuación de cada uno de estos números,
cada uno de losm−2restantes, y su número será por tanto:m⋅ (m−1) ⋅ (m−2).
El proceso continua en esa forma.
En general, supuestas formadas todas las variaciones de ordenn−1, se escribe a continuación de cada
una de ellas cada uno de los elementos restantes. Las variaciones que se obtienen son distintas puesto que las que proceden de la misma variación difieren en el último término, y las que proceden de distinta
variación difieren en al menos uno de losn−1primeros números; por otra parte, procediendo como o
hemos hecho se han obtenido todas las variaciones de ordenn, ya que dada una cualquiera, al prescindir
del último número resulta una variación de ordenn−1, que se supone dada, y como a cada una de éstas
se le han añadido todos los elementos restantes se habrá formado en particular la variación considerada. Se verificará entonces la relación:
Vm,n=Vm,n−1⋅ (m−n+1).
Según hemos visto antesVm,1=m, luego aplicando reiteradamente la fórmula anterior se tiene
Vm,2=Vm,1⋅ (m−2+1) =m⋅ (m−1)
Vm,3=Vm,2⋅ (m−3+1) =m⋅ (m−1) ⋅ (m−2) y así sucesivamente, resultando finalmente
Ejemplo 3.El número de variaciones de7elementos tomados de4en4es V7,4=7⋅6⋅5⋅4=840.
¡¡Atención!! Resulta muy útil darse cuenta de que las variaciones demelementos tomados denennes el producto denfactores, el primero de ellos el númerom, y que los restantes van decreciendo de unidad en unidad.
Otra expresión de Vm,n, muy utilizada también, se obtiene al multiplicar y dividir la anterior por
(m−n)!. Así resulta Vm,n=m⋅ (m−1) ⋅...⋅ (m−n+1) = m⋅ (m−1) ⋅...⋅ (m−n+1) ⋅ (m−n)! (m−n)! = = m⋅ (m−1) ⋅ ...⋅ (m−n+1) ⋅ (m−n) ⋅ (m−n−1) ⋅...⋅1 (m−n)! = m! (m−n)! es decir Vm,n= m! (m−n)! . Veamos algunos ejemplos más sobre variaciones:
Ejemplo 4.Determinar cuantas veces aparece la cifra 2 en las variaciones que se pueden formar con las 9 cifras significativas tomadas de 4 en 4.
El número total de variaciones es
V9,4=9⋅8⋅7⋅6=2024
El número de variaciones en las que no figura la cifra2es
V8,4=8⋅7⋅6⋅5=1680
Así, el número de variaciones en las que aparece la cifra2es 2024−1680=344.
Ejemplo 5.Determinar cuanto números de seis cifras se pueden formar de manera que las cuatro primeras sean cifras impares y las dos últimas sean pares, sin que se repita ninguna cifra.
Como las cifras impares son las1,3,5,7,9, con ellas se podrían formar un total de V5,4=5⋅4⋅3⋅2=120
números de cuatro cifras, sin que se repita ninguna cifra.
Como las cifras pares son las0,2,4,6,8, se podrán formar un total de V5,2=5⋅4=20
números de dos cifras, sin que se repita ninguna de ellas. El número pedido será, por tanto,
Ejemplo 6.Determinar cuantos números hay, mayores de 400 y menores que 700, que estén formados por cifras distintas.
Que empiecen por4habrá
V9,2=9⋅8=72,
e igual número habrá que empiecen por5y6; luego el total de los números pedidos es 3⋅V9,2=3⋅72=216.
En el establecimiento de las variaciones hemos supuesto que los elementos que aparecían en cada va- riación eran distintos. Constituyen en alguna manera una generalización de este concepto el aceptar que los elementos pueden aparecer repetidos un número arbitrario de veces, lo que nos conduce a una nueva definición.
Llamaremosvariaciones con repeticiónde ordenn dem elementos distintos, y tambiénvariaciones
con repetición de m elementos tomados de n en n, a los distintos conjuntos ordenados denelementos,
iguales o distintos, elegidos entre losmelementos dados.
Dos variaciones con repetición serán, pues, distintas cuando difieran en algún elemento o en el orden de colocación de los mismo.
El número de variaciones con repetición demelementos tomados denenn se suele representar por
RVm,n, y a veces también porRVnm.
Ejemplo 7.Consideremos el conjuntoA= {1,2,3,4}. La variaciones con repetición de orden2de los cuatro elementos deAson:
11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44 Así
RV4,2=16.
¡¡Atención!! Al contrario de lo que pasaba con las variaciones, aquínno está limitado porm.
La forma de establecer la variaciones con repetición es en todo análoga a la forma en que se establecieron
las variaciones (sin repetición). Así, supuestas establecidas la variaciones con repetición demelemen-
tos tomados den−1enn−1, bastará añadir a cada una de ellas, cada uno de losm elementos dados,
obteniéndose de esta manera todas las variaciones con repetición de ordenn. La relación que se verifica
ahora es:
RVm,n=RVm,n−1⋅m
ComoRVm,1=m, la aplicación reiterada de la igualdad anterior conduce a la fórmula general RVm,n=mn.
Ejemplo 8.El número de variaciones con repetición de3elementos tomados de2en2es RV3,2=32=9.
Ejemplo 9.El número de variaciones con repetición de2elementos tomados de3en3es RV2,3=23=8.
Si los elementos son los del conjuntoA= {1,2}, las variaciones con repetición son las siguientes: 11,12,21,22 ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ RV2,2=4 Ô⇒ 111,112,121,122,211,212,221,222 ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ RV2,3=8
Llamaremospermutacionesdem elementos distintos a los distintos conjuntos ordenados cuyos ele-
mentos son losmdados.
Dos permutaciones serán, pues, distintas cuando difieran en el orden de colocación de sus ele- mentos.
Las permutaciones son un caso particular de las variaciones demelementos denenn, aquél en el que
m=n. Así, siPmdesigna al número de permutaciones demelementos, se tiene que Pm=Vm,m=m⋅ (m−1) ⋅... ⋅ (m−m+1) =m!
Ejemplo 10.Consideremos el conjuntoA= {1,2,3}. Las permutaciones de esos tres elementos son 123,132,213,231,312,321
Así
P3=3!=3⋅2⋅1=6.
Con independencia de que puedan ser tratadas como variaciones, existe una manera sencilla de escribir
directamente las permutaciones demelementos de manera ordenada: Si se designan éstos, como venimos
haciendo, con las cifras1, 2, 3, ...,m, se obtendrán todas las permutaciones escribiendo en sucesión
creciente todos los números que pueden formarse con tales cifras.
Ejemplo 11.Consideremos el conjuntoA= {1,2,3,4}.
LasP4=4!=4⋅3⋅2⋅1=24permutaciones de esos cuatro elementos son: 1234 2134 3124 4123 1243 2143 3142 4132 1324 2314 3214 4213 1342 2341 3241 4231 1423 2413 3412 4312 1432 2431 3421 4321
Veamos algunos ejemplos más sobre permutaciones.
Ejemplo 12.Determinar cuantos números se pueden formar con las cinco primeras cifras significativas, sin que se repita ninguna de ellas, y que sean menores de 54000.
El total de números de cinco cifras formadas con las cinco primeras cifras significativas es, P5=5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120,
de las cuales empiezan por54,
P3=3!=3⋅2⋅1=6
luego, el total de los números pedidos es
P5−P3=120−6=114.
Ejemplo 13.Determinar de cuantas maneras se pueden alinear los n primeros números pares y los n prime- ros números impares, de formas que no haya dos números pares seguidos y que los impares estén en orden decreciente.
Dentro de cada alineación los números impares estarán siempre en orden decreciente, luego conservarán siempre el mismo orden.
Con los números pares se pueden formann! permutaciones, cada una de las cuales dará lugar a dos alineaciones distintas, según que empiece por número par o impar; luego el número total de alineaciones será:
2⋅n!.
En muchas ocasiones interesa considerar permutaciones con repetición, es decir, entre elementos no todos distintos, así como calcular su número. Aunque las permutaciones son un caso particular de las variaciones, las permutaciones con repetición son un concepto completamente distinto de las variaciones con repetición.
Llamaremospermutaciones con repeticióndemelementos, entre los cuales hayαααi iguales entre sí,
siendoααα1+ααα2+ ...+αααp=m, a los distintos conjuntos ordenados cuyos elementos son losmdados. Se considerarán distintas dos permutaciones con repetición, si al menos hay un par de elementos situados en el mismo lugar, en una y otra, que son distintos.
El número de permutaciones con repetición que acabamos de definir se suele representar por
Pααα1,ααα2, ... ,αααp
m
Ejemplo 14.Las permutaciones con repetición de los números1,1,2son: 112 , 121 , 211.
Así
P23=3.
Veamos como se establece el número de permutaciones con repetición: Supuesto que se han formado las
permutaciones con repetición demelementos entre los cuales hayααα1iguales entre sí, siendo todos los
demás distintos, si en vez de losαααi elementos iguales se colocanαααi elementos distintos y se permutan
éstos de todas las maneras posibles, de cada una de las permutaciones anteriores resultaránαααi! permuta-
ciones distintas, que estarán formadas pormelementos distintos y cuyo número sabemos que esm!. Se
tiene así la relación
m!=Pαααm1⋅ααα! es decir Pααα1 m = m! ααα! .
Cuando además hay otrosααα2elementos iguales, repitiendo el razonamiento resultará que el número de
permutaciones con repetición distintas quedará dividido porααα2!, es decir
Pααα1,ααα2 m = m! α α α1!⋅ααα2!
En general, el número de permutaciones con repetición que se pueden formar conmelementos, entre los
cuales hayααα1iguales entre sí,ααα2iguales entre sí y distintos de los anteriores, y así sucesivamente hasta α
ααpiguales entre sí y distintos de todos los anteriores es:
Pααα1,ααα2, ... ,αααp m = m! α α α1!⋅ααα2!⋅ ... ⋅αααp siendo α αα1+ααα2+ ...+αααp=m.
Ejemplo 15.El número de permutaciones con repetición de los números1,1,1,2,2es: P35,2= 5!
3!⋅2! =
5⋅4⋅3⋅2⋅1 3⋅2⋅1⋅2⋅1 =10 Las permutaciones son las siguientes
11122 , 11212 , 11221 , 12112 , 12121 12211 , 21112 , 21121 , 21211 , 22111
Una manera de obtener losPααα
m, conocidasPn, es sustituir en estasααα números cualesquiera por uno de ellos, y
eliminar los elementos repetidos: Así,m=3,ααα=2tendremos,
P3=3!=6 (123,132,213,231,312,321). P23= 3!
2! =3 ; haciendo 1=2 Ô⇒ (113 131 113ÒÓ 131ÒÓ 311 311ÒÓ) Ô⇒ (113 131 311). Ejemplo 16.Determinar el número de quinielas distintas que pueden rellenarse de manera que todas tengan nueve 1, tres
×
y dos 2.(Cada quiniela tiene un total de14casillas).Se tiene en este caso:
P914,3,2= 14!
9!⋅3!⋅2! =20020.
Llamaremoscombinacionesde ordenndemelementos distintos, siendon⩽m, y tambiéncombina-
ciones de m elementos tomados de n en n, a los distintos conjuntos denelementos elegidos entrem elementos dados.
Dos combinaciones serán, pues, distintas cuando difieran en algún elemento.
El número de combinaciones demelementos tomados denennse suele representar porCm,n, y a veces
también porCnm.
Ejemplo 17.Consideremos el conjuntoA= {1,2,3,4}. Las combinaciones de orden3de los cuatro elementos deAson:
123,124,134,234 Así
C4,3=4.
En las combinaciones no cuenta el orden en que se escriben los elementos como ocurría con las variacio- nes; sin embargo, resulta cómodo escribirlas en orden creciente, tal como muestra el ejemplo anterior. Para determinar su número hacemos lo siguiente: Consideremos formadas todas las combinaciones de
ordenndem elementos y a partir de cualquiera de ellas, que contienen elementos, se forman todas
las permutaciones posibles, que sonn!. Procediendo de esta manera resulta que a partir de todas las
combinaciones obtenemos todas las variaciones; se verifica entonces la relación:
Vm,n=Cm,n⋅n! de donde
Cm,n= Vm,n
Otra expresión para el número de combinaciones se obtiene a partir de la anterior
Cm,n=
m⋅ (m−1) ⋅ ... ⋅ (m−n+1) n!
a base de multiplicar y dividir por(m−n)! ; así Cm,n= m⋅ (m−1) ⋅... ⋅ (m−n+1) ⋅ (m−n)! n!⋅ (m−n)! o lo que es lo mismo Cm,n= m! n!⋅ (m−n)! .
Ejemplo 18.Determinar de cuantas maneras se pueden distribuir 10 naipes entre dos jugadores dando 4 a cada uno.
Al primer jugador se le pueden entregar4naipes deC10,4maneras distintas, y en cada caso para el segundo jugador
quedan6naipes, que se le pueden entregar deC6,4maneras diferentes.
En total se tendrá C10,4⋅C6,4= 10⋅9⋅8⋅7 4⋅3⋅2⋅1 ⋅ 6⋅4⋅3⋅2 4⋅3⋅3⋅1 =210⋅6=1260.
En línea con lo establecido para las variaciones y las permutaciones vamos a considerar ahora, en el caso de las combinaciones, la posibilidad de que aparezcan elementos repetidos, lo que nos conduce una vez más a una nueva definición.
Llamaremoscombinaciones con repeticiónde orden n dem elementos distintos, y también combi-
naciones con repetición de m elementos tomados de n en n, a los distintos grupos denelementos,
iguales o distintos, elegidos entre losmdados, considerando como iguales los formados por los mismos
elementos repetidos igual números de veces.
Dos combinaciones con repetición serán, pues, distintas cuando difieran en algún elemento.
El número de combinaciones con repetición demelementos tomados denennse suele representar por
RCm,n, y a veces también porRCnm.
Ejemplo 19.Consideremos el conjuntoA= {1,2,3,4}. Las combinaciones con repetición de orden2de los cuatro elementos deAson:
11,12,13,14,22,23,24,33,34,44 Así
RC4,2=10.
Para establecer el número de combinaciones con repetición, demelementos tomados denenn, nos valemos del si- guiente artificio: Si representamos losmelementos, tal como veníamos haciendo, por los números1,2,3, ...,m, y consideramos una combinación con repetición cualquiera, entendiendo que los números dentro de la combinación están en orden creciente, si sumamos elprimero, segundo,...,n-esímoelemento de la misma, respectivamente los números0,1, ...,n−1resultará siempre una combinación (sin repetición) de ordennde un conjunto de m+n−1elementos, puesto que dos elementos que eventualmente podían aparecer repetidos se han transformado en elementos distintos pues les hemos sumado números diferentes y, por otra parte, dos elementos que ya fueran distintos se transforman en otras dos también distintos puesto que al mayor de ellos le sumamos un número mayor que al primero; el mayor número que puede aparecer así es elm+n−1.
Procediendo ahora a la inversa, es decir, dada una combinación (sin repetición) dem+n−1elementos, también ordenados los números que la componen en orden creciente, queda determinada una combinación con repetición, demelementos tomados denenn, sin más que restar alprimero, segundo,...,n-esímoelemento de la misma, respectivamente los números0,1, ...,n−1.
En consecuencia el número de combinaciones con repetición demelementos tomados denenn, coincide con el número de combinaciones (sin repetición) dem+n−1elementos tomados denenn, es decir
RCm,n=Cm+n−1,n.
Ejemplo 20.Siguiendo el proceso anterior veamos como determinar las combinaciones con repetición de 3 elementos tomados de 4 en 4.
Formados lasC3+4−1,4=C6,4=
6!
4!⋅2! =15combinaciones (sin repetición), de6elementos tomados de4en4, y restando en la forma indicada (0,1,2,3a los números situados en las posiciones1ª, 2ª, 3ª y 4ª) resultan las combinaciones con repetición que nos interesan.
Combinaciones Ô⇒ Combinaciones con repetición 1234...1111 1235...1112 1236...1113 1245...1122 1246...1123 1256...1133 1345...1222 1346...1223 1356...1233 1456...1333 2345...2222 2346...2223 2356...2233 2456...2333 3456...3333