LIST OF TABLES Table 1 1: Financial commitments under PPP
Figure 1.3: Research design
8.1 Restos potenciales
8.1
Restos potenciales
Los restos potenciales de un número n, respecto de un módulom, son los restos (mód. m) de las
sucesivas potenciales den; es decir, los restos de
n0=1,n1,n2,n3, ...,nh,nh+1, ...
Del númeronsuele decirse, en muchas ocasiones, que constituye labase.
El cálculo de los restos potenciales se facilita aplicando las propiedades, ya estudiadas, de las congruen- cias.
Ejemplo 1.Sir1yrhson los restos de las potenciasnynh, tenemos las siguientes congruencias: n≡r1 , nh≡rh (mód. m)
cuyo producto da
nh+1≡
r1⋅rh (mód. m)
Luego, hallando el resto(mód. m)der1⋅rhtendremos el de la potencianh+1.
Así, si m=7 , n=30 tendremos:
30≡2 (mód. 7) ... r1=2 302≡4 (mód. 7) ... r2=4
y como: r1⋅r2=8≡1 (mód. 7)
será: 303≡1 (mód. 7)
Ejemplo 2.Procediendo como en el ejemplo anterior, obtenemos los restos potenciales de12 (mód. 7): 120≡1 , 121≡5 , 122≡4 , 123≡6 , 124≡2 , 125≡3 , 126≡1
PROPOSICIÓN 1. Si una potencia nh+kda el mismo resto (mód. m) que otra potencia nh, la su- cesión de restos es periódica, pues los restos de potencias siguientes a la nh+kson repetición de los restos de las potencias que siguen a nh.
En efecto: Por hipótesis se verifica que nh+k≡
nh (mód. m)
Multiplicando sucesivamente los dos miembros de esta congruencia por:n,n2,n3, ...,tendremos las siguientes nh+k+1 ≡nh+1 , nh+k+2 ≡nh+2 , nh+k+3 ≡nh+3 ,... (mód. m).
En el estudio de los restos potenciales cabe distinguir tres casos, que son los siguientes:
1º.- Todos los factores primos del módulo están contenidos en la base. . . Así, si la base es n=aααα⋅bβββ⋅ ...⋅```λλλ, y el módulo es m=aααα
′ ⋅bβββ ′ ⋅ ...⋅```λλλ ′ , pudiendo ser nulos algunos de los exponentesααα′,βββ′, ...,λλλ′, tendremos que puede ocurrir:
a.- Si se verifican las relaciones:
ααα⩾ααα′ , βββ⩾βββ′ ,...,λλλ⩾λλλ′.
entonces, la baseny sus potenciasn2, n3, ...son múltiplos den, y en consecuencia
n0≡1 , n1≡0 , n2≡0 , n3≡0 ,... (mód. m)
b.- Si no se cumplen las relaciones
ααα⩾ααα′ , βββ⩾βββ′ ,...,λλλ⩾λλλ′,
entonces, al elevarnal exponenteh, tendremos
nh=aααα⋅h⋅bβββ⋅h⋅ ...⋅```λλλ⋅h,
y para un valor dehsuficientemente grande se verifican las relaciones siguientes:
ααα⋅h⩾ααα′ , βββ⋅h⩾βββ′ ,...,λλλ⋅h⩾λλλ′.
El menor valor dehque verifique las relaciones anteriores determinará la menor potencia denque
es múltiplo dem, y tendremos
nh≡0 , nh+1≡0 , nh+2≡0 ,...,(mód. m).
Ahora bien, este menor valor deh, es el mayor de los cocientes exactos o enteros por exceso de las
divisiones de:ααα′,βββ′, ...,λλλ′, respectivamente, por ααα,βββ, ...,λλλ. En consecuencia, podemos
afirmar que:Si h es el mayor de los cocientes exactos o enteros por exceso de los exponentes
de los factores primos del módulo por los correspondientes en la base, los restos de las po- tencias: n0,n1, n2, ...,nh−1, son distintos de cero, y todos los demás son nulos.Por tanto,
la sucesión constará dehrestos no nulos.
Ejemplo 3.Determinar el número de restos no nulos, sucesión de los restos potenciales de: n=27⋅32⋅52⋅73 ((mód. m)=213⋅511⋅76)
Los cocientes exactos o enteros por exceso de los exponentes correspondientes son:
luego:
h=6.
Por tanto, las potencias
n0,n1,n2,n3,n4,n5
dan restos distintos de cero.
2º.- Ninguno de los factores primos del módulo están contenidos en la base.
a.- Dado que, en este caso, el módulomy la basen, son primos entre sí, lo mismo ocurrirá con
el módulo y las potenciasnhde la base. En consecuencia, ninguna de las divisionesnh∶m
será exacta, y no existirán restos nulos.
b.- Como los restos son inferiores al divisorm, a lo sumo habrám−1restos potenciales distintos,
es decir , que cuando hayamos calculado los restos de las m primeras potencias: n0,
n1,n2, ...,nm−1, alguno de los restos ha debido repetirse, luego, en este caso, la sucesión de los restos potenciales es periódica.
Ejemplo 4.Si esn=22⋅5 y m=3, tendremos:
n0=1 , n1=20 , n2=400 , n3=8000 , n4=160000 , ...
de restos sucesivos
1 , 2
² , ²1 , 2 , ²1 , ... , ...
c.- El primer resto que se repite es el 1.Si la potencianh+kda el mismo resto quenh, será nn+k≡nh (mód. m),
luego
nh⋅ (nk−1) =m˙ .
Ahora bien, dado quemes primo connh, tenemos que
nk−1−1≡m˙ , y por tanto
nk≡1 (mód. m),
es decir, que antes quenh+kexiste una potenciank, que da el mismo resto quen0≡1. Luego,
los restos de
nk, nk+1,nk+2, ... coincide con los de
n0, n1, n2, ... y la sucesión de restos potenciales es periódica pura.
d.- Sines primo conm, llamaremosgausiano de nrespecto del módulom, al menor exponente
gtal que la potenciangdé resto1al dividirlo porm.
El gausiano es, por tanto, el menor valor degque satisfaga
ng≡1 (mód. m),
y como1es el primer resto que se repite, los restos de las potencias
n0, n1,n2, ..., ng−1
son distintos entre sí; según lo establecido enc.-, los restos de las potencias
ng, ng+1,ng+2, ...,n2⋅g−1, coinciden con los de las anteriores, y lo mismo los de las potencias
n2⋅g,n2⋅g+1,n2⋅g+2, ...,n2⋅g−1, y así sucesivamente.
Podemos afirmar, entonces, que:La sucesión de restos potenciales es periódica pura, siendo
el número de términos del periodo el gausiano de la base respecto del módulo. Las únicas potencias que dan resto 1 son las de exponente múltiplo del gausiano.
Ejemplo 5.Comprobar que si n es primo con m, el gausiano de n (mód. m), es divisor del indicador de m. La congruencia de Euler es:nϕϕϕ(m)≡
1 mód. m), y como de acuerdo con lo que acabamos de ver, las únicas potencias denque dan resto1 (mód. m)son las de exponente múltiplo del gausiano, se tiene:ϕϕϕ(m) =˙g.
Ejemplo 6.Consideremos los restos potenciales de12 (mód. 35):
1,12,4,13,16,17,29,33,11,27,9,3;1,12,4...
El periodo consta de doce términos, es decir:g=12
Ejemplo 7.Calcular el resto de la división de 317890123por 17. Dado que31=1⋅17+14, tendremos que
317890123≡147890123 (mód. 17).
Los restos potenciales de14 (mód. 17)son los siguientes:
140≡1 , 141≡14 , 142≡9 , 143≡7 , 144≡13 , 145≡12 , 146≡15 , 147≡6 , 148≡16 , 149≡3 , 1410≡8 , 1411≡10 , 1412≡4 , 1413≡5 , 1414≡2 , 1415≡11 , 1416≡1 ; ...
Por tanto el gausiano es16. Como:7890123=16⋅493132+11=16˙ +11, tenemos 317890123≡147890123 (mód. 17) ≡1416˙+11 (mód. 17) ≡1411 (mód. 17) ≡10 (mód. 17) Luego el resto de la división enunciada es:10.
Ejemplo 8.Calcular el resto (mód. 11) de 29735342.
2973≡3 (mód. 11) Ô⇒ 29735342≡35342 (mód. 11) Calculemos, ahora, los restos potenciales de3 (mód. 11):
30≡1 , 31≡3 , 32≡9 , 33≡5 , 34≡4 , 35≡1 , ... Por tanto, el gausiano es5.
Como5342=˙5+2, tenemos
29735342≡35342≡3˙5+2
≡32≡9 (mód. 11) Luego, el resto pedido es9.
3º.- Parte de los factores primos del módulo están contenidos en la base. En este caso tendremos que la sucesión de los restos potenciales es periódica mixta.
a.- Como parte de los factores primos del módulo están contenidos en la base, si esm′el pro-
ducto de estos, ym′′el producto de los restantes factores, se tiene:m
=m′⋅m′′.
b.- Como la basenno tiene los factores primos dem′′, ninguna potencia denes múltiplo dem,
luego tampoco en este caso hay restos nulos.
Razonando como2º.- b.-, se prueba que también aquí la sucesión de restos es periódica.
Sin embargo, vamos a ver que hay una diferencia esencial entre ambos casos, pues allí la
sucesión de restos eraperiódica pura, mientras que aquí la sucesión de restos esperiódica
mixta.
c.- Si la potencianh+kda el mismo resto quenh, será:
nn+k≡nh (mód. m) Ô⇒ nh⋅ (nk−1) =m˙ Ô⇒ nk⋅ (nk−1) =m′⋅m′′⋅q
Comom′divide al primer miembro y es primo connk
−1, debe dividir anh. Análogamente,
m′′siendo primo connhdebe dividir ank
−1; luego, sinh+k≡nh (mód. m), se verifican: nh=m˙′ y nk−1=m˙′′.
El exponente de la primera potencianh, cuyo resto se repite, resulta del menor valor dehque
satisface a:nh=m˙′, y el número de cifras del periodo, del menor valor dekque satisface a:
nk−1=m˙′′.
Ahora bien, razonando como en el caso1º.-, el menor valorh′dehque satisface a:nh
=m˙′, es el mayor de los cocientes exactos o enteros por exceso de los exponentes de los factores
primos conm′por sus correspondientes en la basen.
Así mismo, razonando como en el caso2º.- el menor valorgdekque satisface a:nk−1=m˙′′,
es el gausiano denrespecto dem′′. Según esto, designando por:r
0,r1,r2, ...los restos (mód. m), de las potenciasn0,n1, n2, ..., la sucesión de restos será de la forma
r0=1, r1,r2, ...,rh′−1, rh′,rh′+1, ...,rh′+g−1 ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
(periodo)
Resumiendo:Si el módulo m es el producto m′
⋅m′′, donde m′ es el producto de los factores del módulo contenidos en la base n, y m′′es primo con n, la sucesión de restos potenciales es periódica mixta. La parte no periódica consta de tantos restos como indica el mayor de los cocientes exactos o enteros por exceso, de los exponentes de los factores primos de m′por los correspondientes de la base n. El número de restos del periodo es el gausiano de n respecto del módulo m′′.
Ejemplo 9.Comprobar que todos los restos del periodo son múltiplos de m′
. Sabemos que
a≡b (mód. m) Ô⇒ m.c.d.(a,m) =m.c.d.(b,m).
Para cualquier resto del periodo se verifica nh′+k
≡rh+k (mód. m)
perom′
es divisor dem, y también en virtud de
nh=m˙′,
es divisor denh′, luego es divisor de sum.c.d.y por tanto de :rh+k′
Ejemplo 10.Calcular el resto (mód. 224) de 251008715 Se verifica que
25100≡12 (mód. 224) Ô⇒ 251008715≡128715 (mód. 224) Los restos potenciales de12, (mód. 224);
r0=1 , r1=12 , r2=144 , r3=160 , r4=128 , r5=192 , r6=64 , r7=96 , r8=32 , r9=160
forman una sucesión periódica mixta, con periodo de seis términos. Como8715=˙6+3, tenemos
128715≡123+˙6
El resto pedido es160, pues coincide con el129.
Al hallar este resto hemos visto que la sucesión de restos potenciales(mód. 224), de12, y lo mismo de25100es la sucesión periódica mixta.
1,12,144,160,128,192,64,96,32
Sin necesidad de hallar estos restos puede determinarse el número de cifras de la parte no periódica y del periodo. En efecto:n=12=22⋅3 , m=224=25⋅7 , m′= 25 , m′′= 7. h′= [ 5∶2]+1=3 , g=6 (gausiano de12,mód. 7) h′
da el número de cifras de la parte no periódica, ygel de cifras del periodo.
Vamos a aplicar las propiedades de las congruencias paracomprobar las operaciones aritméticas:
1.- Adición y sustracción
Consideremos la suma: S=a1+a2+...+an.
Sir1, r2, ...,rnson los restos,mód. m, de cada uno de los sumandos, se tiene a1≡r1 , a2≡r2 ,..., an≡rn (mód. m)
luego:el resto de la suma coincide con el resto de la suma de los restos de los sumandos.
Para ladiferenciaresulta una regla análoga, con la salvedad de que si no puede restarser2der1,
por serr1<r2, se calcula la diferencia(m+r1) −r2.
Ejemplo 11.Consideremos la suma:
S=1+5+7+4+8=25 Ahora tomemosm=4, con lo que los restos(mód. 4)de los sumandos serán:
1,1,3,0,0 cuya suma será:5, cuyo resto (mód. 4) es: 1
Por otra parte, el resto de25 (mód. 4)es: 1 lo que nos muestra que la suma efectuada es correcta.
2.- Multiplicación
Sea el producto : P=a1⋅a2.
Sir1,r2son los restos,(mód. m), de los factores, se tiene: a1≡r1 , a2≡r2 (mód. m) y multiplicando miembro a miembro estas congruencias, resulta:
P≡r1⋅r2 (mód. m)
Ejemplo 12.Consideremos el producto:
P=7⋅5⋅8⋅4=1120 Ahora tomemosm=3, con lo que los restos de los factores(mód. 3)serán:
1,2,2,1 cuyo producto será,4, cuyo resto(mód. 3)es: 1
Por otra parte, el resto de1120 (mód. 3)es: 1 lo que nos muestra que el producto es correcto.
3.- División entera.
Consideremos la división entera, cuyo dividendo, divisor, cociente y resto, representamos, respec-
tivamente por:D,d,q,R. Tenemos, entonces:
D=d⋅q+R.
Sir1, r2,r3,r4son sus restos respectivos,(mód. m), se verifican las congruencias: D≡r1 , d≡r2 , q≡r3 , R≡r4 (mód. m)
y teniendo presente la expresión anterior resultará
r1≡r2⋅r3+r4 (mód. m)
luego:el resto del dividendo D coincide con el resto de la suma del resto de R con el producto
de los restos del divisor d y del cociente q.
Ejemplo 13.Consideremos la división siguiente
453=22⋅20+13
Ahora tomemosm=7, con lo que los restos, respectivos, del dividendo,453, el divisor,22, cociente,20, y el resto, 13; son:
5,1,6,6.
Observemos que el resto de dividendo vale: 5
y que la suma del resto, con el producto de divisor y cociente es: 6+1⋅6=12≡ 5 lo que nos muestra que la división es correcta
¡¡Atención!! En ocasiones puede ocurrir que aún cumpliéndose lo establecido en1.- , 2.- y 3.- , las operaciones pueden estar equivocadas. Ocurre esto cuando la confusión no modifica el resto del resultado.
Prueba de los nueves.
Dado que los restos potenciales de10 (mód. 9)son todos iguales a1, dado un número:N=h...cba,
expresado en el sistema de base10, se tiene
N=a+10⋅b+102⋅c+...+10k⋅h≡a+b+c+...+h (mód. 9).
Significa esto que, para hallar el resto(mód. 9)de un número, basta determinar el resto de la suma de
los valores absolutos de sus cifras.
Ejemplo 14.Consideremos el caso de la división: D d
r c ⌣
D=d⋅c+r
es decir, debe serD≡ (d⋅c+r) (mód. 9) La disposición práctica es la siguiente:
d′ (d⋅c′+ r′)′ D′ c′ en donde:d′ ,c′ ,d′⋅ c′+ r′ ,D′
son los restos(mód. 9)ded,c,d⋅c+r,D. El resultado será correcto si:(d′⋅
c′+
r′)′=
D′
. Por ejemplo, si consideramos la división:
D=37210≡4 (mód. 9) d=435≡3 (mód. 9) 37210 435 2410 85 c=85≡4 (mód. 9) 235 r=235≡1 (mód. 9) tendremos:[4= (3⋅4+1)′= (13)′=4]
En general, se dispone este control en la forma
d′ =3 (3⋅4+1)′ Ô⇒ 4 D′=4 c′ =4 ⇐⇒ 3 4 4 4
Ejemplo 15.En el caso de la multiplicación tendremos M ×m R
R=M⋅m
es decir, debe ser: R≡ (M⋅m) (mód. 9) La disposición practica es la siguiente:
M′ M′⋅ m′ R′ m′ en donde :M′ ,m′ , M′+ m′ , R′
son los restos(mód. 9)deM,m,M⋅m,R. El resultado será correcto si: M′⋅
m′=
R′
Por ejemplo, si consideramos la multiplicación:
3572 × 38 M′ ≡8 m′ ≡2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ (M⋅m)′≡7 28576 10716 135736 R′ ≡7 tendremos :[7= (8⋅2)′= (16)′=7]
En general, se dispone este control en la forma:
M′ =8 (8⋅2)′=7 R′=7 m′ =2 ⇐⇒ 8 7 7 2 Ejemplo 16.En el caso de la raíz cuadrada tendremos
√ R r
b a
R=r2+b es decir, debe ser: R≡ (r2+b) (mód. 9)
La disposición práctica es la siguiente:
r′
(r2+b)′
R r′
en donde:r′
,(r2+b)′
,R′
son los restos(mód. 9)der,r2+b,R. El resultado será correcto si:(r2+b)′=
R′.
Por ejemplo, si consideramos la radicación:
1768 42 168 82×2=164 4
√
r′ =6 , (r2)′=0 R′ =4 b′ =4 tendremos:[4= (6⋅6)′+4=0+4=4]En general, se dispone este control en la forma:
r′ =6 (6⋅6+4)′=4 R′=4 r′ =6 ⇐⇒ 6 4 4 6 En forma análoga se actúa en el caso de la raíz cúbica, etc.
¡¡Atención!! Si las operaciones están bien efectuadas, lo mostrado en los ejemplos anteriores es lo que debe cumplirse. Sin embargo, a veces se cumplen éstas y los resultados no resultan ser los correctos; ocurre esto cuando la confusión no modifica la conclusión.
Ejemplo 17.Consideremos las multiplicaciones: 1.- 3572 ×38 28576 10716 135736 8 7 7 2 La multiplicación es correcta. 2.- 3572 ×38 28576 10716 135763 8 7 7 2 La multiplicación no es la correcta.
Lección 9.- LOGARITMOS
9.1 Logaritmos
9.1
Logaritmos
Consideremos la igualdad definida por lapotenciación:
c=an.
Si los datos soncyn, la incógnitaa, que llamaremosraíz n-ésima de c, se calcula por una operación
inversa de la potenciación, llamadaradicación, que se expresa así:
a= n √
c.
Del númerocse dirá que es elradicandoynrecibirá el nombre deíndicede la raíz. La operación se
leerá como sigue:
aes la raízn-ésima dec
Al signo√ le llamaremosradical.
Se podrá decir, por tanto, que las igualdades
n
√
c=a , c=an
son equivalentes, y que la raízn-ésima de un número es otra cuyan-ésima potencia es el primero.
En el caso de las raíces cuadradas suele omitirse la escritura del índice.
Vamos ahora con el tema que nos ocupa: Si los datos sonayc, la incógnitan, se llamarálogaritmo de c
en la base a, y se calculará por una operación inversa de la potenciación, que llamaremoslogaritmación.
¡¡Atención!! Puede resultar una buena regla nemotécnica la siguiente:Logaritmo de un número es el “número” a que hay que elevar la base para obtener el número:
Formalmente diríamos: Logaritmo,y, de un número,x, en la base positiva,a, distinta de1, es el expo-
nente a que hay que elevar la base para obtener el número, y escribiremos:
y=logax , (que por definición equivale a: ay=x),
Las propiedades de los logaritmos se deducen de las de las potencias. Veamos algunas de ellas:
1.- Los números negativos no tienen logaritmo real.
2.- El logaritmo de1es0, es decir:loga1=0, puesto quea0=1.
3.- El logaritmo de la base es1, es decir:logaa=1, puesto quea1=a.
4.- Los logaritmos aumentan al aumentar los números.
5.- Los números mayores que1tienen logaritmo positivo, y los menores que1logaritmo negativo.
¡¡Atención!! Aunque no va ser de nuestro interés, cabría la posibilidad de considerar una base nega- tiva; se razonaría en forma análoga el caso en que era positiva, y evidentemente sus resultados serían “contrarios” a los obtenidos antes.
Mediante la igualdad:
y=logax (a>0)
establecemos una correspondencia entre dos conjuntos de números reales, de modo que a todo valor real
positivo dexcorresponde un valor real dey. A esta correspondencia se le llamafunción logarítmica, y
es, evidentemente, inversa de la función exponencial. Sus representaciones serían las siguientes:
y
y
a
1
0
1
0
1
x
x
y=ax y=logaxLos logaritmos cuya base es el número
e
=2,718...se llamanneperianos, y tambiénnaturales, enhonor aNeper, que fue el primero en estudiarlos sistemáticamente.
PROPOSICIÓN 1. El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de sus factores, es decir:loga(x⋅y) =logax+logay.
En efecto: Seanm=logax ,n=logay. Equivalen estas igualdades a las siguientes: am=x , an=y,
que multiplicadas miembro a miembro dan: am+n=
x⋅y igualdad que equivale a
loga(x⋅y) =m+n=logax+logay.
PROPOSICIÓN 2. El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor, es decir:loga( x
y ) =logax−logay.
En efecto: Seanm=logax ,n=logay. Equivalenten estas igualdades a las siguientes: am=x , an=y,
que divididas miembro a miembro dan
am−n= x y igualdad que equivale a
loga (x
y) =m−n=logax−logay
PROPOSICIÓN 3. El logaritmo de una potencia es el producto del exponente por el logaritmo de la base, es decir:loga(xy) =y⋅logax.
En efecto: Seanm=logax. Igualdad, ésta, que equivale a la: am=x.
Elevando ayambos miembros de la igualdad, resulta am⋅y
=xy igualdad que equivale a
loga (xy) =m⋅y=y⋅logax
PROPOSICIÓN 4. El logaritmo de una raíz es el cociente del logaritmo del radicando por el índice, es decir:loga n
√
x= logax
n .
En efecto: Se deduce de la proposición anterior, haciendoy= 1 n .
PROPOSICIÓN 5. Consideremos un número n, y si a y b son dos bases distintas, los logaritmos de n están relacionados en la forma siguiente:
logbn= logan logab
.
En efecto: Si tenemoslogbn=p, será:
y tomando, ahora, logaritmos, en basea, de los dos miembros de esta igualdad, tendremos p⋅logab=logan
es decir
logbn⋅logab=logan
de donde resulta la igualdad que nos interesaba logbn=
logan logab
.
¡¡Atención!! observemos que los logaritmos de dos números, tomados cada uno en la base indicada por el otro, son recíprocos, es decir
logba⋅logab=1.
Bastaría hacer, en el resultado de la proposición anterior,n=a, y tener presente quelogaa=1 Ejemplo 1.Dado el número 2, cuyo logaritmo decimal es:
log102=0,301030... Se trata de determinar el logaritmo del número 10 en la base 2. Tenemos que se verifica:
log102⋅log210=1; luego log210= 1 log102 = 1 0,301030 =3,320000
En los cálculos ordinarios se opera con logaritmos en base10, llamadosdecimales(y tambiénvulgares,
o deBriggs). Sin embargo, la formación directa de tablas de logaritmos decimales es más costosa que las de logaritmos neperianos, por lo cual se han calculado éstas y de ellas se han deducido las de los loga-
ritmos decimales, multiplicando los logaritmos neperianos por el llamadomódulodel sistema decimal,
que es:
M= 1 loge10
=0,434294...
En general, para referirnos al logaritmo decimal de un número antepondremos a ésta la abreviaturalog, y
cuando nos referimos a los logaritmos neperianos escribiremos una```delante del número, o la abreviatura
Log. Así:
log n (logaritmo decimal) , ```n Log n ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ logaritmo neperiano
Para las operaciones con logaritmos lo normal es utilizartablas(las de Eusebio Sanchez Ramos, las de
En los logaritmos hay que distinguir dos partes. Una entera que se llamacaracterísticay otra decimal
denominada mantisa. La característica consta de tantas unidades como cifras, menos una, tiene el
número. Los números que constan de una sola cifra tienen0de característica; los de dos cifras, tienen
una unidad; los de tres cifras tienen dos unidades de característica, y así sucesivamente. Lamantisasuele
tener cinco, seis o siete cifras, según las tablas. Los números formados por la unidad seguida de ceros no tienen mantisa. Su logaritmo es un número entero.
Ejemplo 2.Transformar en neperiano el logaritmo decimal del número n=20,653, que es: log10n=log1020,653=1,314983. Dado que: log10n=Logen⋅M (M=0,434294) tendremos Loge20,653= 1 ,314983 0,434294 =3,027860
Ejemplo 3.Veamos algunos logaritmos de números enteros:
Número Logaritmo Número Logaritmo
4...0,602060 10...1,000000 12...1,079181 100...2,000000 135...2,130334 1000...3,000000 2426...3,384891 10000...4,000000
En cuanto a los números con decimales, la característica tendrá las unidades que correspondan a las cifras de la parte entera y la mantisa será la de todo el número considerado como entero, prescindiendo de la coma.
Ejemplo 4.Veamos algunos logaritmos de números con decimales: Número Logaritmo
1,75...0,243038 12,20...1,086360 147,75...2,169527 1359,50...3,133379
En los números decimales comprendidos entre0y1, la característica será negativa y constará de tantas
Ejemplo 5.Veamos algunos logaritmos de números entre0y1: Número Logaritmo 0,75...1,875061 0,05...2,698970 0,00125...3,096910 0,00077...4,886491
Para buscar el logaritmo de un quebrado se puede proceder de dos maneras:
1.- Se busca el logaritmo del numerador y el del denominador y se halla la diferencia entre los dos;
2.- Se convierte el quebrado en una fracción decimal y se procede como en el caso estudiado antes.
Ejemplo 6.Veamos algunos logaritmos de quebrados 1 2 =0,50 ∶ log 1=0,000000 −(log 2=0,301030) ⎫⎪⎪⎪ ⎬⎪⎪⎪ ⎭ log 1 2 =1,698970 log 0,50=1,698970 3 4 =0,75 ∶ log 3=0,477121 −(log 4=0,602060) ⎫⎪⎪⎪ ⎬⎪⎪⎪ ⎭ log 3 4 =1,875061 log 0,75=1,875061 Ejemplo 7.Comprobar que se verifica
logab⋅logbc⋅logcd⋅logda=1
Expresando los logaritmos en baseay operando tenemos logab⋅ logac logab ⋅ logad logac ⋅ logaa logad = logaa=1
Ejemplo 8.Comprobar que si los números: logax, logbx y logcx, con x≠1, están en progresión aritméti- ca, entonces se verifica que:
c2= (a⋅c)logab.
En primer lugar, pasamos todos los logaritmos a la basea: logbx= logax logab , logcx= logax logac .
Por estar en progresión aritmética se verificará que
es decir logax logab − logax= logax logac − logax logab
Dividiendo, ahora, porlogax(posible por serlogax≠0, por serx≠1), obtenemos 1 logab − 1= 1 logac − 1 logab de donde resulta 2 logab = 1+ 1 logac = logac+1 logac = logac+logaa logac = loga(a⋅c) logac y por tanto
2⋅logac=logab⋅loga(a⋅c)
es decir
c2= (a⋅c)logab
Ejemplo 9.Resolver el sistema:
⎧⎪⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ ⎪⎩
xy=yx 8x=5y Tomamos logaritmos en la segunda ecuación
x⋅log 8=y⋅log 5 Ô⇒ x= log 5 log 8 ⋅y y hacemos
log 5
log 8 =a , x=a⋅y; llevamos ahora esta expresión a la primera ecuación, con lo que resultará
(a⋅y)y=ya⋅y
Ô⇒ a⋅y=ya Ô⇒ a=ya−1
,
es decir
y=aa−11 , x=a⋅y=a⋅aa1−1 =aa−11+1=aa−a1
Teniendo en cuenta que
log 5=0,698970 , log 8=0,903090,
tenemos que
a= 0,698970
0,903090 =0,77, sustituyendo este valor y operando resultará
Lección 10.- DESIGUALDADES
10.1 Desigualdad de Cauchy
10.2 Desigualdad de Bernoulli
10.3 Desigualdad de Cauchy- Buniakovski