Deep Wave Mode

Una alternativa a la ajustabilidad vista en la secci´on anterior es la adaptabilidad finita, donde en vez de concentrarse en la forma funcional de las variables ajustables, se particiona el con- junto de incertidumbre y las variables ajustables toman valores diferentes en cada una de estas particiones (Bertsimas y Dunning, 2016). Para explicar este m´etodo se considerar´a el siguiente problema: m´ın u,v∈X,z z s.a. c1(ξ)·u+c2(ξ)·v(ξ)≤z ∀ξ ∈Ξ a1_i(ξ)·u+a2_i(ξ)·v(ξ)≤bi(ξ) ∀ξ∈Ξ, i∈ I (3.36)

dondeΞrepresenta el conjunto de incertidumbre.

Este problema tiene m restricci´on lineales afectas por incertidumbre (I = {1, . . . , m}) y la funci´on objetivo expresada en formato de ep´ıgrafo. Adem´as, este corresponde a un problema de dos etapas, d´onde las variablesuyvcorresponden a la primera y segunda etapa, respectivamente.

La adaptabilidad finita es una manera simple de aproximar las variables de segunda etapa (wait and see decisions) completamente adaptativas que pueden variar de acuerdo a los valores de los par´ametros inciertos. De acuerdo a esto la adaptabilidad finita puede ser vista como una restricci´on de las decisionesv(ξ)a la clase de politicas constantes por tramos, esto es,

v(ξ) =           v1, ∀ξ ∈Ξ1, .. . v , ∀ξ ∈Ξ , (3.37)

dondeΞk, k ∈ {1, . . . , K}define una particion de Ξyvk es la decisi´on implementada si el va- lor de la realizaci´on deξ es en la partici´on Ξk. En el caso de que el valor de la realizaci´on del par´ametro est´e en la frontera de dos particiones cualquiera de los valores de una de estas parti- ciones es v´alido, dado que cualquier decisi´on asociada con cada una de las particiones es factible para todos los valores del par´ametro incierto en la frontera. De esta estructura de soluciones, se convergir´ıa naturalmente a la soluci´on completamente adaptable si el n´umero de particiones crece y el di´ametro de la partici´on m´as grande se aproxima a0.

A modo de motivaci´on para el uso de este esquema adaptable los autores consideran la si- guiente variante del problema 3.36 donde las variabes de segunda etapa no pueden variar con respecto a los par´ametros bajo incertidumbre, es decir, una pol´ıtica est´atica:

zestatico = m´ın u,v∈X,z z

s.a. c1·u+c2·v ≤z

a1_i(ξ)·u+a2_i(ξ)·v ≤bi(ξ) ∀ξ∈Ξ, i∈ I

(3.38)

Luego, asumiendo que el conjunto de incertidumbre es poliedral, se considera resolver el problema 3.38 de manera robusta resolviendo iterativamente relajaciones de este con una canti- dad finita de restricciones y a˜nadiendo restricciones violadas hasta que la soluci´on relajada sea factible con respecto a todos los par´ametros inciertos en el conjunto de incertidumbre. Por cada restricci´oni, se defineAi como el conjunto de par´ametros inciertos activosξˆcorrespondientes a las restricciones generadas que tienen holgura igual a cero. Una vez resuelta la pol´ıtica est´atica, se considera particionar el conjunto de incertidumbre en dos conjutosΞ1 yΞ2, esto es,

zpart = m´ın u,v∈X,z z

s.a. c1 ·u+c2·vj ≤z ∀j ∈ {1,2}

a1_i(ξ)·u+a2_i(ξ)·vj ≤bi(ξ) ∀ξ ∈Ξj, i∈ I, j ∈ {1,2}

(3.39)

Una vez construida esta partici´on los autores demuestran el siguiente teorema que indica la estructura que esta partici´on debe tener para obtener mejoras en el valor del objetivo del problema.

Teorema 3.2 (Bertsimas y Dunning , 2016). SeaA = S

iAi, Si A, el conjunto de todos los par´ametros inciertos activos del problema est´atico 3.38, satisfaceA ⊂ Ξ1 oA ⊂ Ξ2, entonces zpart=zestatico. En cualquier otro caso,zpart≤zestatico.

Este ´ultimo teorema establece la estructura que se deber´ıa buscar al particionar el conjunto de incertidumbre para tener mejoras en la funci´on objetivo del problema. Un esquema de par- ticiones que logra esto es alguno donde cadaξˆ ∈ A est´a en una partici´on propia. Los autores proponen la utilizaci´on de diagramas de Voronoi para la construcci´on de dichas particiones por sus ventajas conceptuales y computacionales. Esto se traduce en que dado un conjunto deKpun- tos{ξˆ1, . . . ,ξˆK} ∈Ξ, el diagrama de Voronoi asociado con estos puntos define una partici´on por cadaξˆque contiene solo losξ ∈ Ξtal que la distancia Euclidiana entre ξˆyξ es menor o igual a la distancia a cualquier otro puntoξˆj. Ahora, esto aplicado al problema general planteado en esta secci´on se tiene: comoAes un conjunto finito, se puede expresar la partici´on inducida por el par´ametro incierto activoξˆi ∈ Acomo

Ξ(ξˆi) = Ξ∩ {ξ| kξˆi−ξk2 ≤ kξˆj−ξk2∀ξˆj ∈ A,ξˆi 6=ξˆj} = Ξ∩ ξ|(ξˆj −ξˆi)·ξ≤ 1 2( ˆ ξj−ξˆi)·(ξˆj +ξˆi) ∀ξˆj ∈ A,ξˆi 6=ξˆj

Todo lo anterior es generalizable a conjuntos de incertidumbre cerrados y convexos que no necesariamente son poliedrales, para los que el conjunto de par´ametros inciertos activos para cada restricci´oni, dadas pol´ıticas est´aticas (u¯,¯v) se define como

A=argmin_ξ∈Ξ{bi(ξ)−a1i(ξ)·u¯−a 2

i(ξ)·v¯},

Notar que no se exige que losξˆ∈ Aicorrespondan a restricciones con holgura igual a cero, dado que esto puede nunca ocurrir para un problema con variables enteras. Por otro lado, en los casos que algunos de estos conjuntos tenga cardinalidad infinita, simplemente se escoge un punto del

Ya explicada la manera en que, dada una soluci´on, se elige un conjunto finito de par´ametros activos inciertos, otro aspecto importante del m´etodo es la construcci´on de las particiones des- pu´es de la primera iteraci´on. Para esto los autores proponen particiones anidadas: los par´ametros activos inciertos Acorrespondientes a las restricciones para una partici´on en la iteraci´on k son usadas para realizar subparticiones en la iteraci´onk+ 1. El esquema de construcci´on de particio- nes puede ser descrito en t´erminos de un ´arbolT de par´ametros inciertos, para el que se definen los siguientes conjuntos:Hojas(T)es el conjunto de hojas del ´arbolT,Hijos(ξˆ)es el conjunto de hijos deξˆen el ´arbolT,P adre(ξˆ)es el padre deξˆen el ´arbolT, y por ´ultimo,Hermanos(ξˆ)

es el conjunto de hijos del padre deξˆ, es decir,Hermanos(ξˆ) = Hijos(P adre(ξˆ)). Cada hoja deT corresponde a una partici´on del conjunto de incertidumbre y cada nivel del ´arbol correspon- de a una iteraci´on del algoritmo. En cada iteraci´on se construye una partici´on para una hojaξˆi como la intersecci´on de particiones

Ξ(ξˆi) = {ξ| kξˆi −ξk2 ≤ kξˆj −ξk2∀ξˆj ∈Hermanos(ξˆi)} ∩ {ξ|kP adre(ξˆi)−ξk2 ≤ kξˆj −ξk2 ∀ξˆj ∈Hermanos(P adre(ξˆi))} .. . ∩Ξ, (3.40)

construcci´on que termina cuando el padre es el nodo base, el que no tiene hermanos, y por lo tanto es equivalente al conjunto de incertidumbre completo. Luego, al agregar par´ametros inciertos activos para la partici´onΞ(ξˆi) como hijos de ξˆi, es posible crear subparticiones deΞ(ξˆi)en la siguiente iteraci´on.

Dado todo lo anterior el m´etodo propuesto por Bertsimas y Dunning(2016) procede de la siguiente manera.

1. Inicializaci´on. DefinirT1 _{como el ´arbol inicial de par´ametros inciertos que consiste en} un nodo base (cualquierξ∈Ξ). Establecer contador de iteraci´onesk ←1.

2. Resolver. Resolver la siguiente versi´on particionada de 3.36, con una partici´on para cada ˆ

Figura 3.1. Ejemplo de partici´on del conjunto de incertidumbre de acuerdo a los par´ametros activos(puntos) para tres iteraciones.

(Fuente: Elaboraci´on propia)

zalg(Tk) = m´ın u,v∈X,zz s.a. c1(ξ)·u+c2(ξ)·vj ≤z ∀ξˆ∈Ξ(ξˆj),∀ξˆj ∈Hojas(Tk) a1_i(ξ)·u+a2_i(ξ)·vj ≤bi(ξ) ∀ξ∈Ξ(ξˆj), ∀ξˆj ∈Hojas(Tk), i∈ I, (3.41)

dondeΞ(ξˆk)es el conjunto definido en 3.40, yvjes el conjunto de decisiones de segunda etapa correspondientes a la partici´on inducida por el par´ametroξˆj.

3. Expandir. InicializarTk+1 _{← T}k_{. Por cada hojaξ}ˆ_{∈ Hojas(T}k+1_{), agregar hijos a esa} hoja por cadaξˆen el conjunto de par´ametros inciertos activosApara la partici´onΞ(ξˆj)y la soluci´on de 3.41, seleccionando un subconjunto finito si es que hay un conjunto infinito de par´ametros inciertos activos para elegir.

4. Acotar. Calcular la cota inferiorzinf erior(Tk+1)de la soluci´on completamente adaptable, y finalizar el algoritmo si

zalg−zinf erior

|zinf erior|

≤gap

o si cierto tiempo limite ha sido alcanzado. De lo contrario definirk ←k+ 1y proceder desde el paso 2.

pasa a ser la condici´on elegida para dar t´ermino al algoritmo, y por lo tanto, se omiti´o el c´alculo de esta cota inferior al problema.