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6. Definitions of problem gambling, responsible gambling and harm minimisation by jurisdiction
En muchos campos, tales como ecología, economía e ingeniería, surge la necesidad de modelar matemáticamente un sistema dinámico que cambia a lo largo del tiempo. Al- gunas características del sistema se miden a intervalos de tiempo discretos, con lo cual se produce una secuencia de vectores x0, x1, x2, . . . . Las entradas de xk proporcionan
información acerca del estado del sistema en el momento de la k-ésima medición. Si existe una matriz A tal que x1= Ax0, x2= Ax1, y, en general,
xk+1= Axk para k= 0, 1, 2, . . . (5) entonces (5) se llama ecuación lineal en diferencias (o relación de recurrencia). Dada una ecuación así, se pueden calcular x1, x2, y así sucesivamente, toda vez que x0 sea co-
nocida. En las secciones 4.8 y 4.9, y en varias secciones del capítulo 5, se desarrollarán fórmulas para xk y se describirá qué le sucede a xk conforme k se incrementa de manera
indefi nida. El análisis presentado a continuación ilustra cómo podría surgir una ecuación en diferencias.
Un asunto de interés para los demógrafos es el movimiento de poblaciones o gru- pos de personas de un lugar a otro. Se considerará aquí un modelo sencillo para los cambios observados en la población de cierta ciudad y sus suburbios durante un perio- do de varios años.
Fije un año inicial —por ejemplo 2000— y denote la población de la ciudad y los suburbios mediante r0 y s0, respectivamente. Sea x0 el vector de población
x0= r0 s0
Población de la ciudad, 2000 Población de los suburbios, 2000
Para el 2001 y los años subsecuentes, denote la población de la ciudad y los suburbios mediante los vectores
x1= r1 s1 , x2= r2 s2 , x3= r3 s3 , . . .
El propósito aquí es describir matemáticamente la relación entre estos vectores. Suponga que los estudios demográfi cos muestran que, cada año, el 5% de la pobla- ción de la ciudad se muda a los suburbios (mientras que el 95% permanece en la ciudad), en tanto que el 3% de la población suburbana se muda a la ciudad (y el otro 97% se queda en los suburbios). Vea la fi gura 2.
Después de un año, la cantidad original r0 de personas residentes en la ciudad se ha
distribuido entre la ciudad y los suburbios de la siguiente manera:
.95r0 .05r0 = r0
.95
.05
Permanecen en la ciudad
Se mudan a los suburbios (6)
Las s0 personas que estaban en los suburbios en el 2000 se distribuyen, después de un
año, de la siguiente manera:
s0 .03
.97
Se mudan a la ciudad
Permanecen en los suburbios (7)
Los vectores (6) y (7) contabilizan la población total en el 2001.3 Así que,
r1 s1 = r0 .95 .05 + s0 .03 .97 = .95 .03 .05 .97 r0 s0 Esto es, x1= Mx0 (8)
donde M es la matriz de migración determinada por la tabla siguiente:
Desde:
Ciudad Suburbios Hacia:
.95 .05 .03 .97 Ciudad Suburbios
La ecuación (8) describe cómo cambia la población del año 2000 al 2001. Si los por- centajes de migración permanecen constantes, entonces el cambio de 2001 a 2002 está dado por
x2= Mx1
y de manera similar para 2002 a 2003 y años subsecuentes. En general,
xk+1= Mxk para k= 0, 1, 2, . . . (9) La secuencia de vectores {x0, x1, x2, . . .} describe la población existente en la región,
ciudad y suburbios, a lo largo de un periodo de años.
3En aras de la sencillez, se ignoran algunos aspectos que infl uyen sobre la población, como nacimientos, muer-
tes y emigración e inmigración hacia la región, la cual incluye ciudad y suburbios.
Ciudad Suburbios
.03 .05
.95 .97
EJEMPLO 3 Determine la población de la región recién descrita para los años 2001 y 2002, si la población en el año 2000 era de 600,000 habitantes en la ciudad y 400,000 en los suburbios.
Solución La población inicial en el año 2000 es x0=
600,000 400,000 . Para el 2001, x1= .95 .03 .05 .97 600,000 400,000 = 582,000 418,000 Para el 2002, x2= Mx1= .95 .03 .05 .97 582,000 418,000 = 565,440 434,560
El modelo para el movimiento de la población en (9) es lineal porque la correspon- dencia xk→ xk+1 es una transformación lineal. La linealidad depende de dos hechos:
el número de personas que eligieron mudarse de un área a la otra es proporcional al número de personas en el área, tal como se muestra en (6) y en (7), y el efecto acumu- lado de esas decisiones se obtiene sumando los movimientos de las personas desde las diferentes áreas.
PR O B L E M A S D E P R Á C T I C A
Encuentre una matriz A y vectores x y b tales que el problema del ejemplo 1 equivalga a resolver la ecuación Ax = b.
1.10 EJERCICIOS
1. Una caja de cereal para el desayuno indica, normalmente, el
número de calorías y las cantidades de proteínas, carbohidra- tos y grasa contenidas en una porción del cereal. A la derecha se muestran las cantidades para dos conocidos cereales. Suponga que se debe preparar una mezcla de estos dos cereales que contenga exactamente 295 calorías, 9 g de pro- teínas, 48 g de carbohidratos, y 8 g de grasa.
a. Establezca una ecuación vectorial para este problema. Incluya un enunciado para explicar qué representa cada variable de la ecuación.
b. Escriba una ecuación matricial equivalente, y luego de- termine si puede prepararse la mezcla deseada de los dos cereales.
Información nutricional por porción Cheerios Quaker de General 100% cereal Nutrimento Mills natural
Calorías 110 130 Proteínas (g) 4 3 Carbohidratos (g) 20 18 Grasa (g) 2 5
❙❙❙❙❘❙❙❙❙❚
2. Una porción (28 g) del salvado de avena Cracklin’Oat Bran
proporciona 110 calorías, 3 g de proteínas, 21 g de carbohi- dratos, y 3 g de grasa. Una porción de Crispix de Kellog’s proporciona 110 calorías, 2 g de proteínas, 25 g de carbohi- dratos, y 0.4 g de grasa.
a. Establezca una matriz B y un vector u tales que Bu pro- porcione las cantidades de calorías, proteínas, carbohidra- tos y grasa contenidas en una mezcla de tres porciones de Cracklin’Oat Bran y dos porciones de Crispix.
b. [M] Suponga que se requiere un cereal con más proteínas
que Crispix pero menos grasa que Cracklin’Oat Bran. ¿Es posible mezclar los dos cereales para proporcionar 110 ca- lorías, 2.25 g de proteínas, 24 g de carbohidratos, y 1 g de grasa? Si la respuesta es positiva, ¿cuál sería la mezcla?
3. La dieta Cambridge proporciona 0.8 g de calcio por día, ade-
más de los nutrimentos enlistados en la tabla 1. Las cantida- des de calcio que proporciona una unidad (100 g) de los tres ingredientes de la dieta de Cambridge son: 1.26 g por leche desgrasada, .19 g por harina de soya, y .8 g por suero. Otro ingrediente de la dieta es proteína de soya aislada, la cual pro- porciona los siguientes nutrimentos por unidad: 80 g de proteí- nas, 0 g de carbohidratos, 3.4 g de grasa, y .18 g de calcio. a. Establezca una ecuación matricial cuya solución determi-
ne las cantidades de leche desgrasada, harina de soya, sue- ro y proteína de soya aislada necesarias para proporcionar las cantidades exactas de proteínas, carbohidratos, grasa y calcio de la dieta Cambridge. Explique qué representan las variables de la ecuación.
b. [M] Resuelva la ecuación de (a) y analice su respuesta. 4. Un dietista está planeando una comida que proporcione cier-
tas cantidades de vitamina C, calcio y magnesio. Usará tres comestibles y las cantidades se medirán en las unidades apro- piadas. Los nutrimentos proporcionados por estos comesti- bles y los requisitos dietéticos son los siguientes:
3 Ω 3 Ω 5 Ω 5 Ω 1 Ω 1 Ω 3 Ω 2 Ω 15 V I2 I1 I3 I4 1 Ω 25 V 15 V 7 Ω 7 Ω 4 Ω 5 V 7 Ω 5 V 1 Ω 3 Ω 30 V 20 V 10 V 40 V 5 Ω 7 Ω 2 Ω 3 Ω 2 Ω I4 I3 I2 I1 2 Ω 1 Ω 2 Ω 10 V I4 I1 I3 I2 3 Ω 5 Ω 1 Ω 7 Ω 6 Ω 2 Ω 20 V 40 V 30 V 4 Ω 4 Ω 1 Ω 5 Ω 5 Ω 5 Ω 40 V 10 V 5 Ω 20 V 30 V 2 Ω I2 I4 3 Ω 3 Ω 4 Ω 4 Ω 1 Ω 2 Ω I3 I5 I1 Miligramos (mg) de nutrimento por unidad de comesitible Comestible Comestible Comestible Nutrimento 1 2 3 Total de nutrientes requeridos (mg) Vitamia C 10 20 20 100 Calcio 50 40 10 300 Magnesio 30 10 40 200
Escriba una ecuación vectorial para este problema. Indique lo que representan las variables y luego resuelva la ecuación. En los ejercicios 5 a 8, escriba una ecuación matricial que deter- mine las corrientes de circuito. [M] Si cuenta con MATLAB u otro programa para matrices, resuelva el sistema para las corrien- tes de circuito.
5. 6.
7.
9. En cierta región, aproximadamente el 5% de la población de
la ciudad se muda a los suburbios cada año y cerca del 4% de la población suburbana se muda a la ciudad. En el año 2000 había 600,000 residentes en la ciudad y 400,000 en los suburbios. Establezca una ecuación en diferencias que descri- ba esta situación, donde x0 sea la población inicial en el 2000.
Luego estime la población de la ciudad y de los suburbios dos años después, en 2002. (Ignore otros factores que pudieran infl uir en los tamaños de las poblaciones.)
10. En cierta región, alrededor del 7% de la población de la ciu-
dad se muda a los suburbios cada año y cerca del 3% de la población suburbana se traslada a la ciudad. En el año 2000 había 800,000 residentes en la ciudad y 500,000 en los su- burbios. Establezca una ecuación en diferencias que describa esta situación, donde x0 sea la población inicial en el 2000.
Luego estime la población de la ciudad y de los suburbios dos años después, en 2002.
11. Al iniciar 1990, la población de California era de 29,716,000
habitantes y la de Estados Unidos fuera de California era de 218,994,000 habitantes. Durante el año, 509,500 personas se mudaron de California a otra parte de Estados Unidos, mien- tras que 564,100 personas se mudaron a California desde al- gún otro lugar de Estados Unidos.4
a. Establezca la matriz de migración para esta situación, usan- do 5 cifras decimales signifi cativas para la migración hacia y desde California. Su trabajo debe mostrar la manera en que se produjo la matriz de migración.
b. [M] Determine la población proyectada para el año 2000
de California y del resto de Estados Unidos, suponiendo que las tasas de migración no cambiaron durante el pe- riodo de 10 años. (Estos cálculos no toman en cuenta los nacimientos, las muertes o la importante migración de personas hacia California y otros estados desde fuera de Estados Unidos.)
12. [M] La compañía de renta de automóviles Budget con sede en
Wichita, Kansas, tiene una fl otilla de aproximadamente 450 automóviles en tres sucursales. Un automóvil alquilado en una sucursal puede devolverse en cualquiera de los tres locales. En la tabla que sigue se muestran las distintas proporciones de au- tomóviles devueltos en cada sucursal. Suponga que un lunes hay
304 automóviles en el aeropuerto (o alquilados desde allí), 48 au- tomóviles en la ofi cina del Este y 98 en la del Oeste. ¿Cuál sería, aproximadamente, la distribución de automóviles el miércoles?
Automóviles alquilados en:
Aeropuerto Este Oeste Devuelto ⎡ a: ⎣..9700 .03 .05 .90 .05 .10 .05 .85 ⎤ ⎦ AeropuertoEste Oeste
13. [M] Sean M y x0 como en el ejemplo 3.
a. Determine los vectores de población xk para k = 1, . . . ,
20. Analice los resultados.
b. Repita (a) con una población inicial de 350,000 habitantes en la ciudad y 650,000 en los suburbios. ¿Qué obtiene?
14. [M] Estudie cómo los cambios en las temperaturas de fron-
tera sobre una placa de acero afectan las temperaturas en los puntos interiores de la placa.
a. Comience por estimar las temperaturas T1, T2, T3, T4 en
cada uno de los conjuntos de cuatro puntos de la placa de acero que se muestra en la fi gura. En cada caso, el valor de Tk puede aproximarse con el promedio de las tempera-
turas de los cuatro puntos más cercanos. Vea los ejercicios 33 y 34 de la sección 1.1, donde los valores (en grados) resultan ser (20, 27.5, 30, 22.5). ¿Cómo se relaciona esta lista con los resultados obtenidos para los puntos señala- dos en el conjunto (a) y el conjunto (b)?
b. Sin realizar ningún cálculo, estime las temperaturas inte- riores en (a) si todas las temperaturas de frontera se multi- plican por 3. Verifi que su estimación.
c. Finalmente, formule una conjetura general acerca de la correspondencia de la lista de ocho temperaturas de fron- tera con la lista de cuatro temperaturas interiores.
4Datos de migración proporcionados por la Demographic Research Unit
del California State Department of Finance.
SO L U C I Ó N A L P R O B L E M A D E P R Á C T I C A A= ⎡ ⎣3652 5134 1374 0 7 1.1 ⎤ ⎦ , x = ⎡ ⎣xx12 x3 ⎤ ⎦ , b = ⎡ ⎣3345 3 ⎤ ⎦ 10° 10° 40° 40° 0° 0° 10° 10° 1 2 4 3 (b) 0° 0° 0° 0° 20° 20° 20° 20° 1 2 4 3 (a)
1. Señale cada enunciado como verdadero o falso. Justifi que sus
respuestas. Si el enunciado es verdadero, cite los hechos o teoremas adecuados; si es falso, explique por qué o dé un contraejemplo de dicha falsedad.
a. Cada matriz es equivalente por fi las a una única matriz en forma escalonada.
b. Cualquier sistema de n ecuaciones lineales con n variables tiene cuando mucho n soluciones.
c. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene dos soluciones diferentes, debe tener infi nidad de soluciones.
d. Si un sistema de ecuaciones lineales no tiene variables li- bres, entonces tiene una solución única.
e. Si una matriz aumentada [A b] se transforma en [C d] mediante operaciones elementales de fi la, entonces las ecuaciones Ax = b y Cx = d tienen exactamente los mis- mos conjuntos solución.
f. Si un sistema Ax = b tiene más de una solución, sucede lo mismo con Ax = 0.
g. Si A es una matriz m × n y la ecuación Ax = b es consis-
tente para alguna b, entonces las columnas de A generan Rm.
h. Si una matriz aumentada [A b] puede transformarse mediante operaciones elementales de fi la a una forma es- calonada reducida, entonces la ecuación Ax = b es consis- tente.
i. Si las matrices A y B son equivalentes por fi las, tienen la misma forma escalonada reducida.
j. La ecuación Ax = 0 tiene la solución trivial si, y sólo si, no
existen variables libres.
k. Si A es una matriz m × n y la ecuación Ax = b es consis-
tente para toda b en Rm, entonces A debe tener m colum-
nas pivote.
l. Si una matriz A de m × n tiene una posición pivote en cada renglón, entonces la ecuación Ax tiene una solución única para cada b en Rm.
m. Si una matriz A de n × n tiene n posiciones pivote, enton- ces la forma escalonada reducida de A es la matriz identi- dad de n × n.
n. Si las matrices A y B de 3 × 3 tienen cada una tres posicio- nes pivote, entonces A puede transformarse en B mediante operaciones elementales de fi la.
o. Si A es una matriz m × n, si la ecuación Ax = b tiene al
menos dos soluciones diferentes, y si la ecuación Ax = c es consistente, entonces la ecuación Ax = c tiene muchas soluciones.
p. Si A y B son matrices m × n equivalentes por fi las, y si las
columnas de A generan Rm, entonces las columnas de B
también lo hacen.
q. Si ninguno de los tres vectores en el conjunto S = {v1, v2, v3} de R3 es un múltiplo de alguno de los otros vectores,
entonces S es linealmente independiente.
r. Si {u, v, w} es linealmente independiente, entonces u, v y
w no están en R2.
s. En algunos casos, es posible que cuatro vectores generen R5.
t. Si u y v están en Rm, entonces –u está en Gen{u, v}.
u. Si u, v y w son vectores distintos de cero en R2, entonces w es una combinación lineal de u y v.
v. Si w es una combinación lineal de u y v en Rn, entonces u
es una combinación lineal de v y w.
w. Suponga que v1, v2 y v3 están en R5, v2 no es múltiplo de v1, y v3 no es una combinación lineal de v1 y v2. Entonces
{v1, v2, v3} es linealmente independiente.
x. Una transformación lineal es una función.
y. Si A es una matriz de 6 × 5, la transformación lineal x → Ax no puede mapear R5 en R6.
z. Si A es una matriz m × n con m columnas pivote, entonces
la transformación lineal x → Ax es un mapeo uno a uno.
2. Sean a y b dos números reales. Describa los posibles conjun- tos solución de la ecuación (lineal) ax = b. [Sugerencia: El número de soluciones depende de a y de b.]
3. Las soluciones (x, y, z) de una sola ecuación lineal
ax+ by + cz= d
forman un plano en R3 cuando a, b y c no son todas iguales a
cero. Construya conjuntos de tres ecuaciones lineales cuyas gráfi cas (a) se intersecan en una sola línea, (b) se intersecan en un solo punto, (c) no tienen puntos en común. En la fi gura se ilustran las gráfi cas típicas.