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El EOS describe y analiza la trama de objetos y procesos puestos en juego en la enseñanza y aprendizaje de la Matemática a través de las funciones semióticas.

El punto de partida es la noción de función proporcionada en la teoría del lenguaje del lingüista danés Hjemslev (1971). Este autor denomina función a la dependencia entre el texto y sus componentes y entre estos componentes entre sí, y denomina funtivos a los

terminales de una función. Considera que un signo “se caracteriza primera y principalmente por ser signo de alguna otra cosa –peculiaridad ésta que probablemente despertará nuestro interés, puesto que parece indicar que ‘signo’ se define por una

función-. Un ‘signo’ funciona, designa, denota” (Hjemslev, 1971, p. 68).

Entre los tipos de dependencias que es posible identificar entre las partes de un texto, resaltan aquellas en que una parte (plano de expresión) se pone en representación de otra (plano del contenido), que son las que definen al signo según Hjemslev (1971, p. 73):

Mientras que, de acuerdo con el primer punto de vista, el signo es una expresión que señala hacia un contenido que hay fuera del signo mismo, de acuerdo con el segundo punto de vista (que ha expuesto especialmente Saussure y, tras sus pasos Weisgerber) el signo es una entidad generada por la conexión entre una expresión y un contenido. Este autor designa a los funtivos como expresión y contenido, y a la conexión entre ellos la denomina función de signo:

Hemos presentado los términos expresión y contenido como designaciones de los funtivos que contraen a la función a que nos referimos, la función de signo. Es ésta una definición puramente operativa, y además una definición formal, en el sentido de que en este contexto no se dará ningún otro significado a los términos expresión y contenido. (Hjemslev, 1971, p.74).

La concepción de significado de un signo que presenta Hjelmslev es pragmática:

en el contexto, entendiendo por tal un contexto situacional o un contexto explícito” (Hjemslev, 1971, p. 70).

Partiendo de las ideas de Hjemslev, Eco (1991, p. 83) define esta misma asociación entre expresión y contenido como función semiótica:

Cuando un código asocia los elementos de un sistema transmisor con los elementos de un sistema transmitido, el primero se convierte en la EXPRESIÓN del segundo, el cual, a su vez, se convierte en el CONTENIDO del primero.

Existe función semiótica, cuando una expresión y un contenido están en correlación, y ambos elementos se convierten en FUNTIVOS de la correlación.

También manifiesta que un signo está constituido por uno o más elementos de un plano de la expresión que se encuentran convencionalmente en correlación con uno o más elementos de un plano del contenido. Si esta correlación es reconocida por una sociedad humana, entonces existe el signo. Eco (1991) manifiesta que bajo estas condiciones es posible aceptar la definición de signo de Saussure dada como la correspondencia entre un significante y un significado.

Como consecuencia de estas consideraciones, este autor pone en relevancia la condición relacional del signo, que es la función semiótica:

(a) UN SIGNO NO ES UNA ENTIDAD FÍSICA, dado que la entidad física es, como máximo, la ocurrencia concreta del elemento pertinente de la expresión; (b) UN SIGNO NO ES UNA ENTIDAD SEMIÓTICA FIJA, sino el lugar del encuentro de elementos mutuamente independientes, procedentes de dos sistemas diferentes y asociados por una correlación codificadora. Hablando con propiedad, no existen signos, sino funciones semióticas (Hjelmslev, 1943).

Una función semiótica se realiza cuando dos funtivos (expresión y contenido) entran en correlación mutua: pero el mismo funtivo puede entrar también en correlación con otros elementos, con lo que se convertirá en un funtivo diferente que da origen a otra función. (Eco, 1991, pp. 83-84)

Desde esta perspectiva, las funciones semióticas ponen de manifiesto la naturaleza esencialmente relacional de la actividad matemática. Godino (2003) considera que esa dependencia entre los objetos relacionados no es sólo representacional, sino que existen otras dependencias de naturaleza operatoria o actuativa.

El EOS considera que el significado está conformado por una trama de funciones semióticas, cada una de las cuales asigna a una expresión un contenido, mediante un cierto criterio o regla de correspondencia establecida por un sujeto. Este contenido puede ser un término, expresión, gráfico u otro elemento lingüístico, una situación problema, un concepto o definición, una acción u operación, algoritmo o procedimiento, una argumentación, etc.(Godino, Batanero y Font, 2009). Es decir que el contenido puede ser

cualquiera de los objetos primarios que el EOS contempla en su ontología.

Los conocimientos de un sujeto individual sobre un objeto se pueden describir de

manera global, con la noción de “sistemas de prácticas personales”, que queda

concretada mediante la trama de funciones semióticas que el sujeto puede establecer en las que el objeto se pone en juego como expresión o contenido (significante, significado). (Godino, 2015, p. 12)

Las funciones semióticas poseen un gran potencial como herramientas metodológicas al momento de estudiar significados, particularmente los significados personales construidos por los estudiantes. Font (2002, p. 156) expresa que:

El hecho de considerar que las funciones semióticas tienen un papel muy importante en el proceso relacional entre entidades (o grupos de ellas), activadas en prácticas que se realizan dentro de un determinado juego de lenguaje, permite también entender la comprensión en términos de funciones semióticas. En efecto, podemos interpretar la comprensión de un objeto O por parte de un sujeto X (sea individuo o institución) en términos de funciones semióticas que X puede establecer, en unas circunstancias fijadas, en las que se pone en juego O como funtivo (expresión o contenido).

La ausencia de construcción de las distintas funciones semióticas por parte de los estudiantes, o el establecimiento de funciones incorrectas, da lugar a errores.

Las funciones semióticas permiten un refinamiento del análisis de la complejidad semiótica y cognitiva de las distintas tareas como así también la tipificación de los errores. Este tipo de análisis conduce a una visión más detallada del significado personal manifestado por los estudiantes sobre un objeto matemático.