Tanto los Lineamientos (1998) como los Estándares (2006) caracterizan el pensamiento variacional y los sistemas algebraicos y analíticos como uno de los cinco tipos de pensamiento matemático que integrado con el pensamiento numérico y los sistemas numéricos, el
pensamiento espacial y los sistemas geométricos, el pensamiento métrico y los sistemas métricos o de medidas, el pensamiento aleatorio y los sistemas de datos; debe orientar a partir de situaciones problema, que los articule, los procesos de enseñanza y los procesos de aprendizaje de las matemáticas en el aula. En otras palabras, el desarrollo del pensamiento variacional no puede desligarse de los otros pensamientos matemáticos.
De manera general, los Lineamientos (1998) y los Estándares (2006) asocian el pensamiento variacional al análisis, organización y modelación matemática de situaciones y problemas de la vida cotidiana del ser humano, al interior de las matemáticas como de otras áreas y disciplinas (ciencias sociales – ciencias naturales) donde subyace la variación. Estos marcos curriculares pretenden el reconocimiento, la identificación y la caracterización de los fenómenos de variación y cambio en diversos contextos, así como su modelación y representación en diferentes sistemas o registros simbólicos (verbales, icónicos, gráficos o algebraicos). Específicamente, los Lineamientos (1998, p. 72) fundamentan diversos ejes conceptuales matemáticos en los cuales se encuentra inmersa la variación y el cambio, siendo los más relevantes para el estudio aquí efectuado: la función como dependencia y modelos de función.
Como lo expresa Santacruz (2005, p. 76) “la función se encuentra asociada al estudio de aspectos que se relacionan con la dependencia entre variables, es decir desde contextos referidos a fenómenos de la cotidianidad, determinados por el cambio o variación de cantidades”. De este modo, el pensamiento variacional, centra el estudio de la función desde sus diversos sistemas de representación, y la relación entre estos, como son: las tablas, los enunciados verbales, los gráficos cartesianos o sagitales, las fórmulas y las expresiones analíticas (algebraicas). Perspectiva reafirmada en los Estándares (2006) donde el desarrollo del pensamiento variacional se logra por medio de la elaboración e interpretación de representaciones matemáticas, como: gráficas, tablas, ecuaciones, inecuaciones o desigualdades; las cuales permiten tratar situaciones de variación y dependencia en la resolución de problemas.
Particularmente, la representación tabular de un tipo de variación, se establece como punto de partida para iniciar el estudio de la función, ya que se constituye en un caso concreto de función presentada de forma numérica; proceso que ayuda no sólo a la comprensión del concepto de variable por parte del estudiante, en tanto el uso de filas con variables deja ver la infinidad de valores de reemplazo que una variable puede tener, sino también para el planteamiento y escritura de expresiones algebraicas o fórmulas para describir la variación o cambio. Por su
parte, la elaboración e identificación de la gráfica de una función, permite un estudio dinámico de la variación, en torno a los aspectos de la dependencia entre variables (variable independiente – variable dependiente) propiciando una visión de la función como dependencia.
Por otro lado, consideraciones en torno al estudio de patrones se relacionan con nociones propias del pensamiento variacional, tales como constante, variable, función, razón o tasa de cambio, dependencia e independencia entre variables y con los diferentes modelos funcionales que se asocian a ciertas familias de funciones, como las lineales o afines, las exponenciales y polinomicas. De esta forma, el estudio de relaciones funcionales en la vida cotidiana se constituye en una aproximación a la determinación de la función como dependencia entre magnitudes variables; dicho estudio debe centrar la atención en aspectos relevantes de la variación como son: lo que cambia y lo que permanece constante, las variables puestas en juego, el ámbito de variación de cada una de estas variables y las relaciones entre ellas. En este sentido, el tipo de situaciones que fomentan el desarrollo del pensamiento variacional en el aula, debe permitir a los estudiantes poner en práctica habilidades como la conjeturación, la generalización y la argumentación, ya sea para refutar o sustentar una conjetura o una propuesta de generalización; habilidades relacionadas con el pensamiento lógico como científico.
Los Estándares (2006), desde su estructura proponen algunos niveles de avance en el desarrollo de las competencias ligados a los diferentes tipos de pensamiento matemático (numérico, espacial, métrico, aleatorio y variacional), así como a los sistemas conceptuales y simbólicos asociados a cada uno de estos pensamientos. Así, cada estándar formulado pone acento en uno o dos de los procesos generales que desde los Lineamientos (1998) son contemplados para la actividad matemática.
Para el caso específico de las funciones periódicas, al centrarse su enseñanza y aprendizaje en las funciones trigonométricas Seno y Coseno en la Educación Media, se establecen los siguientes estándares para el conjunto de grados décimo a undécimo, asociados a los procesos generales de comunicación y modelación respectivamente:
Desde el pensamiento espacial y sistemas geométricos: Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas.
Desde el pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos: Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e interpreto y utilizo sus derivadas.
Como lo sugieren los Lineamientos (1998) y Estándares (2006), el estudio de la variación no puede limitarse a la enseñanza concreta del concepto de función, sino que debe ser iniciado desde los primeros grados de la Educación Básica a través de los patrones y regularidades (numéricos – geométricos), asociado según los Estándares (2006) a la identificación de los criterios que rigen esas regularidades o las reglas de formación para establecer el patrón que se repite periódicamente.
De este modo, un rastreo a los procesos generales de comunicación y modelación desde la Básica Primaria deja ver la relación de los estándares: Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas y Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e interpreto y utilizo sus derivadas, con los demás estándares propuestos para el mismo pensamiento en los otros conjuntos de grados; a lo que se ha denominado coherencia vertical.
La coherencia vertical (ver tabla 1) de los estándares estará referida únicamente a aquellos que estructuran el proceso general de modelación, en el marco del pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos. Esta decisión obedece a la temática central del trabajo, relacionada con la variación funcional periódica.
Pensamiento Variacional y Sistemas Algebraicos y Analíticos: Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e interpreto y utilizo sus derivadas.
Tabla 1. Coherencia vertical de los estándares para el pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
Conjunto de Grados Estándar
Primero a tercero Describo cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje natural, dibujos y gráficas.
Cuarto a quinto Analizo y explico relaciones de dependencia entre cantidades que varían en el tiempo con cierta regularidad en situaciones económicas, sociales y de las ciencias naturales. Sexto a séptimo Describo y represento situaciones de variación relacionando diferentes representaciones
(diagramas, expresiones verbales generalizadas y tablas). Octavo a noveno Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.
A partir de la tabla 1 es posible establecer que el diseño de situaciones de enseñanza y los procesos de aprendizaje de las matemáticas, para este caso concreto la variación, se generan a partir de un trabajo sistemático llevado a cabo con los estudiantes desde el primer conjunto de grados, donde la aproximación inicial pone énfasis en el reconocimiento y descripción de situaciones del entorno donde la variación está presente, por medio del lenguaje cotidiano y otras representaciones simbólicas.
En cuanto a la coherencia horizontal de los estándares, entendida como la relación de un estándar con los estándares de los otros pensamientos en el mismo conjunto de grados, es pertinente resaltar la relación del pensamiento variacional con el pensamiento numérico y sistemas numéricos en torno al estudio de las propiedades numéricas y sus operaciones, así como a la noción de número real; elementos que contribuyen al paso de la variación numérica discreta (tablas) a la variación numérica continua. Así, la articulación e interrelación entre los cinco tipos de pensamiento matemático debe organizar y mediar la actividad matemática dentro del aula.
La coherencia horizontal (ver tabla 2) al igual que la vertical estará referida al proceso general de modelación, en el marco del pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos, por las razones anteriormente expuestas.
Pensamiento Variacional y Sistemas Algebraicos y Analíticos: Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e interpreto y utilizo sus derivadas.
Tabla 2. Coherencia horizontal de los estándares para el pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
Tipo de Pensamiento Matemático
Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos:
Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos.
Pensamiento Espacial y Sistemas Geométricos:
Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas.
Pensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos:
Si bien se establecen los estándares definidos para el conjunto de grados décimo y undécimo, y la coherencia vertical y horizontal, es pertinente precisar que el trabajo gira alrededor de la caracterización de las funciones trigonométricas, Seno y Coseno, como los casos particulares de variación periódica que son estudiados en la Educación Media. Por esta razón, se privilegia la modelación como proceso general de la actividad matemática, como ya se mencionó, y por su relación con los principios de la EMR.