MEASURES (PM’s)
2.3.16 DMP FRAMEWORK
Muchos problemas de la realidad, pueden ser escritos en la forma
T x=y, (2.1)
donde T : D(T) ⊂ X −→ Y es un operador lineal. Si T tiene inverso, entonces la ecuaci´on (2.1) tiene soluci´on ´unicax=T−1y; pero en general, tal ecuaci´on puede tener m´as de una soluci´on (N(T)6={0}) o puede no tenerla (y6∈ R(T)). A´un cuando (2.1) no tiene soluci´on, es posible asignar en cierto sentido una soluci´on “mejor posible” para el problema. Esto puede ser mejorado v´ıa el concepto de inverso generalizado (o pseudoinverso) de un operador lineal.
Muchos autores han realizado diversos estudios sobre el inverso generalizado de matrices y de operadores lineales (Ben-Israel and Greville,2003;Campbell and Meyer, 2009;Cline, 1979; Nashed, 1976).
Este cap´ıtulo tiene tres secciones. En la Secci´on 2.1, se estudia el inverso gene- ralizado algebraico de un operador lineal, as´ı como tambi´en, son enunciadas algunas propiedades importantes y su relaci´on con los complementos algebraicos. En la Secci´on
2.2, se aborda el estudio del inverso generalizado de un operador acotado y se presenta una caracterizaci´on para la existencia del inverso generalizado de un operador acotado por medio de los complementos topol´ogicos. En la ´ultima secci´on 2.3, se proporciona una sinopsis de los resultados sobre la existencia del inverso generalizado de la pertur-
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baci´on de un operador lineal acotado, los cuales ser´an esenciales para el desarrollo del siguiente cap´ıtulo.
Las principales referencias de este cap´ıtulo son Nashed (1976, 1987).
Para motivar la noci´on de inverso generalizado de un operador, considere la ecua- ci´on (2.1), y suponga que T no tiene inverso sobre D(T), una idea para resolver esta ecuaci´on es restringir T a un dominio m´as peque˜no, D](T), de manera que Te=T|
^
D(T)
sea invertible. En consecuencia, Te−1y es una soluci´on de (2.1), para y ∈ R(Te). Por
ejemplo, ´esta es la misma idea que se tiene para la funci´on sin(x) y arcsin(x).
Se inicia el cap´ıtulo con el estudio del inverso generalizado de un operador lineal desde el punto de vista algebraico.
2.1.
Inverso generalizado algebraico
En esta secci´onX e Y denotan espacios vectoriales sobre un campo K.
Definici´on 2.1.1 Sea T ∈L(X, Y), un operador S ∈L(Y, X) es un inverso in-
terno de T si
T ST x =T x, ∀x∈X. (2.2)
Inmediatamente de la definici´on anterior se tienen las siguientes propiedades.
Proposici´on 2.1.1 Sea T ∈ L(X, Y) un operador lineal. Si S ∈ L(Y, X) es un inverso interno de T, entonces
T S e I−ST son proyectores algebraicos.
R(I−ST) =N(ST) =N(T), N(I−ST) =R(ST) ⊂R(S), R(T S) =R(T), y
N(S)⊂N(T S).
Sean P =I −ST y Q=T S, entonces X e Y tienen las siguientes descomposi- ciones algebraicas:
X =R(P)uN(P) =N(T)uR(ST), Y =R(Q)uN(Q) =R(T)uN(T S).
Demostraci´on:(ver Nashed,1976, 1987).
Proposici´on 2.1.2 Todo operador lineal tiene un inverso interno.
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Demostraci´on: sea T ∈ L(X, Y) un operador lineal y M el complemento algebraico deN(T) (justificado por el Teorema 1.5.1),
X =N(T)uM. (2.3)
SeaT0 =T|M :M −→Y, se verifica queT0 es inyectivo yR(T0) =R(T). Luego, existe
el inverso de T0 sobre R(T). Sea S0 :R(T)−→X el inverso de T, con R(S0) =M.
An´alogamente, sea N el subespacio complementario algebraico deR(T) enY, es decir,
Y =R(T)uN. (2.4)
DefinaS una extensi´on lineal de S0 a Y,
S :Y −→X, S|R(T) =S0.
Se verifica queS es un inverso interno deT. En efecto, seax∈X, luego de la ecuaci´on (2.3),x=n+m, para alg´unn∈N(Y) y m∈M. As´ı,
T ST x=T ST(n+m) =T S(T n+T m) =T ST m =T0S0T m =T m =T(n+m) =T x.
An´alogamente, se tiene la definici´on de inversos externos.
Definici´on 2.1.2 Sea T ∈ L(X, Y), un operador S ∈L(Y, X) es un inverso ex-
terno de T si
ST Sy =Sy, ∀y∈Y. (2.5)
Tambi´en, se tienen las siguientes propiedades algebraicas.
Proposici´on 2.1.3 Sea T ∈ L(X, Y) un operador lineal. Si S ∈ L(Y, X) es un inverso externo de T, entonces
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T S y I−ST son proyectores algebraicos.
R(I −ST) = N(ST) ⊂ N(T), N(I −ST) = R(ST) = R(S), R(T S) ⊂ R(T),
N(T S) =N(S).
Sean P =I −ST y Q=T S, entonces X e Y tienen las siguientes descomposi- ciones algebraicas:
X =R(P)uN(P) = N(ST)uR(S), Y =R(Q)uN(Q) = R(T S)uN(S).
Demostraci´on:(ver Nashed,1976, 1987).
Proposici´on 2.1.4 Todo operador lineal tiene un inverso externo.
Demostraci´on: siguiendo la misma idea de la demostraci´on de la Proposici´on 2.1.2, s´olo que en este caso, la extensi´on lineal de S0 se define como S : Y −→ X, tal que
S|R(T) =S0 y S|N ={0}. Se verifica que S es un inverso externo de T. En efecto: sea
y∈Y, luego por (2.4), y=r+n, para alg´un r∈R(T) y n∈N. De ah´ı,
ST Sy =ST S(r+n) =ST Sr =ST0S0r =Sr =S(r+n) =Sy
Observaci´on 2.1.1 De las proposiciones 2.1.2 y 2.1.4 se concluye que el inverso interno y externo de un operador lineal no es ´unico. En general, un operador tiene muchos inversos internos y externos. Esto es justificado en las demostraciones de estas proposiciones cuando se construyen los inversos en funci´on de las elecciones de los complementos algebraicos de los espacios N(T) y R(T).
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Definici´on 2.1.3 SeaT ∈L(X, Y), el operador T tiene uninverso generalizado
algebraico si y solo si existe un operador lineal S ∈ L(Y, X) tal que S es inverso
interno y externo de T.
Proposici´on 2.1.5 Todo operador linealT ∈L(X, Y)tiene un inverso generalizado algebraico.
Demostraci´on: en la Proposici´on 2.1.4 se defini´o el operador S : Y → X tal que,
S|R(T) = S0 y S|N = {0} y se verific´o que ´este es un inverso externo de T. Por la
Proposici´on2.1.2se tiene que S tambi´en es un inverso interno. Luego,S es un inverso
generalizado algebraico deT.
Observaci´on 2.1.2 De la Proposici´on2.1.5, se tiene que todo operador lineal tiene un inverso generalizado algebraico. En general, no es ´unico, tal como se vi´o en las demostraciones de las proposiciones 2.1.2 y 2.1.4. El inverso generalizado algebraico s´ı es ´unico con respecto a la elecci´on de un complemento algebraico de los espacios
N(T) y R(T), o equivalentemente a los proyectores lineales P y Q asociados a estas descomposiciones.
Se tienen las siguientes propiedades.
Proposici´on 2.1.6 Sea T ∈L(X, Y) con inverso generalizado algebraicoS, enton- ces
(i) T S e I−ST son proyectores algebraicos,
(ii) R(I −ST) = N(ST) = N(T), N(I −ST) = R(ST) = R(S), R(T S) = R(T),
N(T S) =N(S) y
(iii) se tiene la descomposici´on en suma directa algebraica:
X =R(I−ST)uN(I−ST) =N(T)uR(S) (2.6)
Y =R(T S)uN(T S) = R(T)uN(S) (2.7)
Demostraci´on:Se sigue inmediatamente de las proposiciones 2.1.1 y 2.1.3.
Ejemplo 2.1.1 Sea el operador lineal T :R3 −→R2 definido como T(x
1, x2, x3) = (x1−x2+x3,−x1+x2−x3). Se verifica lo siguiente:
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El operador S1 :R2 −→R3 definido como S1(x1, x2) = (x1, x2, x2) es un inverso
interno de T.
El operador S2 : R2 −→ R3 definido como S2(x1, x2) = (x1,0,0) es un inverso
externo de T.
El operadorS3 :R2 −→R3 definido comoS3(x1, x2) = 61(x1−x2,−x1+x2, x1−x2)
es un inverso generalizado algebraico de T.
2.2.
Inverso generalizado de operadores acotados
En esta secci´on se realiza el estudio de los inversos generalizados de operadores acotados desde el ´ambito de espacios de Banach. Por tanto, aqu´ıXeY denotan espacios de Banach sobre el campoK.
En la Secci´on 1.2, se vi´o la importancia de que el inverso de un operador aco- tado sea acotado. Esto tambi´en es extendido a la noci´on de inversos generalizados de operadores acotados.
Definici´on 2.2.1 Un operador T ∈ B(X, Y) tiene un inverso generalizado si existe un operador S ∈B(Y, X) que es un inverso interno y externo de T.
Observaci´on 2.2.1
En el caso algebraico, se vi´o que el inverso generalizado algebraico de un operador lineal siempre existe (Proposici´on 2.1.5). En general, el inverso generalizado de un operador lineal acotado T no existe, y a´un si existe no es ´unico (Observaci´on 2.1.1).
Como se vi´o en la Observaci´on 2.1.2, se tiene que el inverso generalizado alge- braico es ´unico con respecto a las elecciones de los complementos algebraicos de
N(T) y R(T), los cuales siempre existen. En este nuevo contexto de espacios de Banach, no siempre existen estos complementos topol´ogicos (Observaci´on1.5.3). Una manera de asegurar la existencia de un ´unico inverso generalizado de un operador lineal acotado es a trav´es de los complementos topol´ogicos. A continuaci´on, el siguiente teorema resume esto y su demostraci´on puede ser revisada en Nashed (1976).
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Teorema 2.2.1 Sea T ∈B(X, Y)y asumir queN(T) yR(T)tienen complementos topol´ogicos en X e Y respectivamente, es decir,
X =N(T)⊕M y Y =R(T)⊕N.
Sea P el proyector de X sobre N(T) paralelo a M y Q el proyector de Y sobre R(T) paralelo a N, entonces existe un ´unico operador lineal S : D(S) ⊂ Y −→ X, donde
D(S) = R(T)⊕N, que satisface (i) T ST =T,
(ii) ST S =S en D(S), (iii) ST =I−P, (iv) T S =Q en D(S).
Demostraci´on: Sea T0 := T|M, luego T0 : M −→ R(T) es 1 a 1 y sobreyectivo. En
efecto,
(a) Sean m1, m2 ∈ M. Si T0m1 = T0m2, entonces (m1 −m2) ∈ N(T0)∩M = {0}.
Por tanto T0 es inyectivo.
(b) Por definici´on de T0, se tiene que R(T0) ⊂ R(T). Por otro lado, si y ∈ R(T),
luego existe x ∈ X tal que T x = y. Como X = N(T)⊕M, x = n +m, para alg´unn ∈N(T) y m∈M. As´ı
y=T x=T(n+m) = T m=T0m⇒y∈R(T0).
Por tanto T0 es sobreyectivo.
En consecuencia, existe T0−1 :R(T)−→M. Denote S0 :=T0−1. A continuaci´on, exten-
demos el operador linealS0 al subespacio R(T)⊕N, es decir, a un operador lineal
S :D(S)⊂Y −→X tal que S|R(T) =T0−1∧S|N ={0},
conD(S) = R(T)⊕N. Se verifica queS satisface (ii)−(iv). De ah´ı, por (iv), se sigue (i). En efecto: sea x∈X, luegoT x∈R(T)⊂D(S), as´ı por (iv)
T ST x=Q(T x) = T x,
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donde la ´ultima igualdad es debido a que Q es un proyector de Y sobre R(T). En seguida se demuestra (ii)−(iv).
(ii) Sea y ∈ D(S) = R(T)⊕N, luego existe r ∈ R(T) y n ∈ N tal que y = r+n. As´ı, por la definici´on de S se obtiene
ST Sy = (ST S)(r+n) =ST(S0r+Sn) =ST(S0r) =ST0S0r =Sr =S(r+n) =S(y)
(iii) Seax∈X =N(T)⊕M, luego existenn ∈N(T) y m∈M, tales quex=n+m. As´ı, por definici´on de S se tiene
ST x=ST(n+m) =S(T n+T0m)
=ST0m
=S0T0m
=m. (2.8)
Por otro lado, de la definici´on de P,
(I−P)x=x−P x=n+m−(P n+P m) = m (2.9)
Por tanto, de (2.8) y (2.9) se tiene (iii).
(iv) Para y∈ D(S) = R(T)⊕N, existen r ∈ R(T) y n ∈N tal que y = r+n. As´ı, por la definici´on de S se tiene
T S(y) = T S(r+n) =T(S0r+Sn) =T S0r=T0S0r =r. (2.10)
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De otro lado, de la definici´on de Q, comor ∈R(T)⊂R(T) =R(Q), se tiene
Qy =Q(r+n) =Qr=r. (2.11)
Por tanto, de (2.10) y (2.11) se tiene (iv).
Observaci´on 2.2.2
En el Teorema 2.2.1, si el operador S es acotado (S ∈ B(Y, X)), S es llamado
inverso generalizado del operador T relativo a las proyecciones P y
Q, y es denotado porT+, T+
P,Q, o porT
+
M,N si se desea enfatizar la dependencia de
los proyectores P yQo de los complementos topol´ogicosM yN, respectivamente. En la demostraci´on del Teorema 2.2.1, se verifica que S =T0−1Q, sobre D(S) =
R(T)⊕N. Adem´as, se tiene R(S) = M y N(S) = N.
En el Teorema 2.2.1 se obtuvo un operador lineal S que es un inverso interno y externo deT. Ahora se necesita una condici´on adicional para queS sea acotado. V´ease el siguiente resultado.
Corolario 2.2.1 Bajo las condiciones del Teorema 2.2.1, el operador lineal S es acotado si y solo si R(T) es cerrado en Y.
Demostraci´on: (⇐) Suponer que R(T) es cerrado en Y, luego es completo en Y; y as´ı, R(T) es un espacio de Banach. De otro lado, como X = N(T)⊕M, entonces del Teorema 1.5.3 se tiene que M es cerrado en X, luego es completo y en consecuencia,
M es un espacio de Banach. El operador definido T0 :=T|M :M →R(T) es biyectivo,
luego por el Teorema del inverso acotado, T0−1 : R(T) ⊂ Y −→ M es continuo sobre
R(T) =R(T) = R(Q). An´alogamente a la demostraci´on de Teorema 2.2.1, se extiende a un operador lineal S : D(S) ⊂ Y −→ X tal que S|R(T) = T0−1y S|N = {0}. Por la
Observaci´on 2.2.2,
S =T0−1Q,
dondeQes proyector continuo de Y sobreR(T) = R(T) paralelo a N. Por tanto,S es acotado.
(⇒) Suponer que S es acotado. Puesto que, S(R(T)) = M, se tiene que R(T) es
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preimagen de M bajo el operador continuo S y siendo M cerrado, se sigue que R(T)
es cerrado enY.
El siguiente resultado nos da una caracterizaci´on para la existencia del inverso generalizado de un operador acotado.
Corolario 2.2.2 T ∈ B(X, Y) tiene inverso generalizado T+ ∈ B(Y, X) si y solo
siN(T) y R(T) tienen complementos topol´ogicos en X e Y, respectivamente.
Demostraci´on: Suponer que N(T) y R(T) tienen complementos topol´ogicos en X e
Y, respectivamente, es decir,
X =N(T)⊕M, Y =R(T)⊕N.
Luego, por el Teorema1.5.3,R(T) es cerrado. As´ı, N(T) yR(T) tienen complementos topol´ogicos en X eY, respectivamente. De ah´ı, por el Teorema 2.2.1 y Corolario 2.2.1
existeT+∈B(Y, X).
Rec´ıprocamente, suponga que existe T+ ∈ B(Y, X). En particular, T+ es un
inverso generalizado algebraico deT, y por (2.6) y (2.7) (Proposici´on2.1.6), se tiene
X =N(T)uR(T+T), (2.12)
Y =R(T)uN(T T+). (2.13) Sea I −T T+ :=P un operador lineal. Se verifica que P es un operador proyecci´on y
como T y T+ son acotados, entonces P es continuo. As´ı, la descomposici´on en (2.12) es topol´ogica, es decir, N(T) tiene complemento topol´ogico en X.
De otro lado, sea Q = T T+, an´alogamente, las mismas justificaciones para que
R(T) tenga complemento topol´ogico.
Ejemplo 2.2.1 Sea el operador T : `2 −→ `2, definido como T x= (0, x
1, x2,· · ·),
parax= (xn)n∈N. Se verifica queN(T) ={0} y R(T)6=`
2; adem´as
`2 =R(T)⊕N,
donde N = {(x1,0,0,· · ·) : x1 ∈ R, cte. positiva suficientemente peque˜na}. Luego,
del Corolario 2.2.2 se tiene que T tiene un inverso generalizado acotado. Por tanto,
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T+ es dado por
T+:`2 −→`2 y7−→T+y
tal que T+|
R(T) =T0−1 y T+|N = 0, donde T0−1 :R(T)−→`2, definido como
T0−1(y1, y2,· · ·) = (y2, y3,· · ·).
Observaci´on 2.2.3
1. En la Proposici´on 2.1.6 se vieron algunas propiedades del inverso generalizado de un operador lineal. Del Corolario 2.2.2 se tiene que si T tiene un inverso generalizado T+ ∈B(Y, X), entonces
T T+ e I−T+T son proyectores continuos.
N(T+T) = N(T), R(T+T) = R(T+), R(T T+) = R(T) e N(T T+) =
N(T+).
Se tienen las descomposiciones topol´ogicas:
X =N(T+T)⊕R(T+T) = N(T)⊕R(T+), (2.14)
Y =R(T T+)⊕N(T T+) = R(T)⊕N(T+). (2.15) 2. Para el caso cuandoX eY son espacios de Hilbert yT ∈B(X, Y), se tiene que si la descomposici´on en el Teorema2.2.1es ortogonal, es decir,M =N(T)⊥ yN =
R(T)⊥, entonces el correspondiente inverso generalizado de T es denominado
inverso generalizado de Moore-Penrose de T y es denotado por T†. Para
este ´ultimo caso, los proyectores respectivos P e Q son proyectores ortogonales.