CHAPTER ONE: INTRODUCTION
1.1 INTRODUCTION
Si M es un subespacio lineal de un espacio vectorial X, entonces siempre existe un subespacio linealN deX, de modo que X es la suma directa de M y N. Sin embargo, si X es un espacio de Banach y M es cerrado, ¿siempre habr´a un subespacio cerrado
N deX tal queX sea la suma directa deM yN? Por supuesto, siX es un espacio de Hilbert, la respuesta es s´ı; simplemente tomamosN para ser el complemento ortogonal de M. Sin embargo, se ver´a a continuaci´on que la situaci´on es muy diferente en un espacio vectorial topol´ogico.
Definici´on 1.5.3 Sea X un espacio vectorial topol´ogico. Un operador lineal P en
X,P :X −→X, es un operador proyecci´on o un proyector si P es continuo yP2 =P. La siguiente definici´on est´a bien definida por el Teorema 1.5.2.
Definici´on 1.5.4 Sea X un espacio vectorial topol´ogico, M yN subespacios vecto- riales deX tales que X=M uN. Considere el operador lineal asociado P :X −→X
tal que P2 =P, R(P) =M y N(P) = R(I −P) = N. Si el proyector P es continuo,
se dice que X es la suma directa topol´ogica de M y N y se denota
X =M⊕N.
Un subespacio M de X tiene un complemento topol´ogico si y solo si existe un subespacioN tal queX =M⊕N,en este caso se dice queM yN son complementos topol´ogicos uno del otro.
Teorema 1.5.3 Sean M y N subespacios vectoriales de un espacio normadoX. Si
X =M ⊕N, entonces M y N son cerrados.
Demostraci´on:la demostraci´on puede ser encontrada en Ma (1995).
Observaci´on 1.5.3 El rec´ıproco del Teorema 1.5.3 no es cierto. En el contexto de espacios topol´ogicos, si X es un espacio de Banach y M es un subespacio cerrado en
X, es posible que no exista un subespacio cerrado que sea complemento topol´ogico de
M. Por ejemplo, en los espacios `p y Lp, con p6= 2, existen subespacios cerrados que
no tienen complementos topol´ogicos (ver Murray, 1937; Sobczyk et al., 1941).
Enseguida una caracterizaci´on para la suma directa topol´ogica en espacios de Banach.
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Teorema 1.5.4 Sea X un espacio de Banach, M y N subespacios de X. Suponga queX =MuN, si M yN son subespacios cerrados, entonces X =M⊕N, es decir,
X es la suma directa topol´ogica de M y N.
Demostraci´on:la demostraci´on puede ser encontrada en Ma (1995).
An´alogo al Teorema 1.5.2 se tiene para el caso topol´ogico.
Teorema 1.5.5 Sea X un espacio topol´ogico. SeaP un operador proyecci´on, enton- cesP induce una descomposici´on deX en dos complementos topol´ogicosP(X) = R(P) e (I−P)X =R(I−P) = N(P).
Teorema 1.5.6 Todo subespacio cerrado M de un espacio de Banach X tiene un complemento topol´ogico en X si y solo si existe un proyector continuo de X sobre M.
Demostraci´on:para la prueba revisar Goldberg(2006).
A continuaci´on, algunos ejemplos sobre proyecciones y subespacios complemen- tarios.
Ejemplo 1.5.2 Sea X = C([−a, a]), a > 0. Sean M y N subconjuntos de X que consisten de las funciones pares e impares, respectivamente. Se verifica queM yN son subespacios cerrados. En el Ejemplo1.5.1se vi´o queX =MuN, luego por el Teorema 1.5.4 se tiene que X =M ⊕N. As´ı, de las ecuaciones (1.15) y (1.16) se tiene que el operador proyecci´on P de X sobre M paralelo a N es dado por
P f(x) = 1
2(f(x) +f(−x)), donde f ∈X; y adem´as, kPk=kI−Pk= 1.
Ejemplo 1.5.3 Sea X =C((−π, π))y P f(x) = 1 π Z π −π cosxf(x)dx cosx,
entonces P es un operador proyecci´on.
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En efecto: P es lineal, esto es inmediato. Vea que P es idempotente. P(P f(x)) = 1 π Z π −π cosxP f(x)dx cosx = 1 π cosx Z π −π cosx1 π Z π −π cosxf(x)dx cosxdx = 1 π2 cosx Z π −π cosxf(x)dx Z π −π cos2(x)dx =P f(x).
Adem´as, P es acotado, pues de
|P f(x)|= 1 π Z π −π cosxf(x)dx cosx ≤ 1 π Z π −π |cosx||f(x)|dx |cosx|, se sigue que kP fk∞ = sup x∈(−π,π) |P f(x)| ≤2kcosxk2 ∞kfk∞.
Por tanto, P es un operador proyecci´on.
Para un subespacio vectorial topol´ogico, la existencia de un complemento to- pol´ogico es importante para la construcci´on de inversos a la derecha o a izquierda de operadores lineales continuos.
Teorema 1.5.7 Sean X eY espacios de Banach y T ∈B(X, Y)sobreyectivo. Exis- teS ∈B(Y, X) tal que T S=IY si y solo si N(T) tiene un complemento topol´ogico en
X.
Demostraci´on:(⇒) Suponer queT es sobreyectivo, luegoT tiene un inverso a derecha
S∈L(Y, X), es decir, T S =IY. Demostremos que S es acotado.
En efecto: como N(T) es complementado topol´ogicamente, existe M ⊂ X tal que
X = N(T)⊕ M, luego del Teorema 1.5.3 se tiene que M es cerrado. Se define el operador Te = T|M y se verifica que es inyectivo sobre R(T) = Y. De ah´ı, existe
e
T−1 : Y −→ M. Puesto que T es acotado y M e Y son espacios de Banach, se sigue
del Teorema de inverso acotado queTe−1 es acotado. Sea S :=Te−1, se verifica que S es
un inverso a derecha deT.
(⇒) Suponer que existe T tiene un inverso a derecha acotado. Demostrar que N(T) tiene un complemento topol´ogico.
En efecto: sea P = ST, luego P es lineal idempotente y continuo, es decir, P es un
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proyector continuo con
X =R(P)⊕N(P).
Se verifica que N(T) =N(P), pues como P = ST entonces N(T) ⊂ N(P). Por otro lado, si x ∈ N(P), entonces ST x = 0; de ah´ıT x = T ST x = 0. As´ı, de N(P) =
R(I−P) se sigue que I−P es un proyector continuo sobre N(T). Por tanto, N(T) es
complementado.
Teorema 1.5.8 Sean X e Y espacios de Banach y T ∈B(X, Y) inyectivo. Existe
S ∈ B(Y, X) tal que ST = IX si y solo si R(T) es cerrado y tiene un complemento
topol´ogico en Y.
Demostraci´on: (⇐) Suponer que R(T) es cerrado y tiene complemento topol´ogico. Demostrar que T tiene un inverso a izquierda acotado.
En efecto: como R(T) es complementado topol´ogicamente y cerrado, por el Teorema
1.5.6, existe un proyector continuo de Y sobre R(T). Sea P ∈ B(Y) tal proyector, denote P∗ : Y −→ R(T) y T∗ : X −→ R(T), debido a que T es inyectivo y T∗
es sobre, se tiene que existe T−1
∗ : R(T) −→ X. Adem´as, puesto que R(T) es un
espacio de Banach, por el Teorema de inverso acotado se tiene queT−1
∗ es acotado. Sea
S=T∗−1P∗, se verifica que S es acotado y es un inverso a izquierda de T.
(⇒) Suponer que T tiene un inverso a izquierdo acotado. Demostrar que R(T) es cerrado y que tiene complemento topol´ogico.
En efecto: seaS un inverso a izquierda acotado de T. DefinaQ=T S, luego para todo
y∈Y
Q2y=Q(T S)y=T ST Sy=T Sy =Qy.
Es decir,Q es un proyector continuo, as´ı
Y =R(Q)⊕N(Q).
Se verifica queR(T) =R(Q), de ah´ıR(T) tiene complemento topol´ogico. Adem´as, del
Teorema1.5.3, R(T) es cerrado.
Observaci´on 1.5.4 De los teoremas 1.5.7 y 1.5.8 se tiene que en espacios de Ba- nach, un operador T ∈B(X, Y) tiene un inverso acotado si y solo si T es biyectivo y
N(T) y R(T) tienen complementos topol´ogicos en X e Y respectivamente.