Dyad-level alliance capability 1 Relational experience

Luego de obtener los coeficientesbu, . . . , b0 para cada funci´on de l´ımitep1(ϕ) yp2(ϕ), se calcula la homogeneidad espacial a partir de ´estas dos funciones. Con ´este resultado se pueden estimar los par´ametros de calidadP V C yσ, los que dan una medida directa de la calidad de la homogeneidad generada por la geometr´ıa original del conductor obtenida mediante los ajustesp1(ϕ) yp2(ϕ). Hay que tener en cuenta que, los dos par´ametros de calidad, solo producen resultados id´enticos cuando el n´umero de puntos equidistantes y sus posiciones en la malla c´ubica, a partir de la cual se calcula B0(rk), sean id´enticos.

La re-optimizaci´on del camino original que lleva la corriente se logra variando sistem´ati- camente los coeficientes bu, . . . , b0 de cada funci´on de l´ımite ajustada p1(ϕ) y p2(ϕ). Esta variaci´on se realiza multiplicando cada coeficiente por un factor de ponderaci´on

wu, . . . , w0: p(ϕ) =wubuϕu+wu−1bu−1ϕu−1+. . .+w1b1ϕ+w0b0= u X i=0 wibiϕi. (5.5)

Cap´ıtulo 5. Extensi´on del m´etodo de optimizaci´on para electroimanes con h´elices

no-uniformes 101

Cada vez que los factores de ponderaci´on adoptan nuevos valores dewu, . . . , w0 6= 1, las funciones de l´ımitep1(ϕ) yp2(ϕ) cambian su apariencia y se obtienen nuevos recorridos para la corriente, generando as´ı una diferente homogeneidad espacial ∆B/B. De ´este modo, existe la posibilidad de variar los factores de ponderaci´on wu, . . . , w0 de manera que sus variaciones re-optimicen la soluci´on inicial. Anal´ıticamente, el problema en ´este paso se reduce a una optimizaci´on de los valores dewu, . . . , w0 que converjan a un valor m´ınimo deσ, y a un valor m´aximo deP V C. Puesto que es m´as conveniente minimizar ambos par´ametros de calidad, el par´ametro P V C ser´a reemplazado por:

P V C0 = 1−k≤homogeneity ktotal

, (5.6)

as´ı mantenemos la idea general pero aplicando una minimizaci´on de los dos par´ametros. En general, los problemas de optimizaci´on con par´ametros m´ultiples no conducen a una ´

unica soluci´on ´optima, llevan a varias soluciones (soluciones pareto-´optimas) que ofrecen la mejor combinaci´on entre los m´ultiples par´ametros [120, 121]. El objetivo aqu´ı es encon- trar el conjunto de soluciones ´optimas, a partir de los factores de ponderaci´onwu, . . . , w0 del m´etodo de optimizaci´on multiobjetivo, que supongan buenas combinaciones entre los par´ametros de calidadP V C0 yσ. El m´etodo de optimizaci´on multiobjetivo seleccionado para la optimizaci´on es el algoritmo gen´etico (NSGA-II) [120]. Fue elegido porque es bien conocido y ampliamente utilizado como m´etodo de optimizaci´on multiobjetivo que opera en forma aut´onoma. Puesto que no se requiere conocimiento previo para su aplicaci´on, es una herramienta pr´actica para cualquier problema de optimizaci´on multiobjetivo. Exis- ten varios c´odigos disponibles para el programa MATLABR[94]. Se utiliza el c´odigo de Song Lin (Aerospace Structural Dynamics Research Laboratory College of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, China), desarrollado y distribuido con prop´osi- tos acad´emicos, puesto que plantea buscar las soluciones optimizadas de los factores de ponderaci´onwu, . . . , w0 e incorporarlas al problema de optimizaci´on. La re-optimizaci´on del camino que lleva la corriente, o mejor dicho, el algoritmo NSGA-II junto con el pro- blema de optimizaci´on que busca los par´ametros ´optimos de calidad P V C0 yσ para un conjunto de factores de ponderaci´on wu, . . . , w0, se explicar´a en detalle en el ap´endice A. As´ı ilustramos la re-optimizaci´on del camino que lleva la corriente de manera clara para el lector en una de las capas de un electroim´an de dos capas ya presentado en la secci´on 5.3.

Durante las diferentes etapas del algoritmo NSGA-II, mejor dicho durante las genera- ciones κ que realiza este algoritmo, busca la mejor combinaci´on de los par´ametros de calidad σ y P V C0 para N posibles caminos que llevan la corriente resumidos en una poblaci´on Rκ. Esa poblaci´onRκ lleva a un conjunto deYκ soluciones combinadas deσ

yP V C0. La figura 5.7 muestra una evoluci´on de la optimizaci´on de los dos par´ametros de calidad σ y P V C0 durante varias generaciones κ junto con la combinaci´on inicial

de σ yP V C0 del recorrido de la corriente. Es obvio que el algoritmo original logr´o en-

Figura 5.7: Resultados Yκ para distintas generaciones κ = 5, κ = 25, κ = 50 y

κ= 100 de la re-optimizaci´on de una capa del electroim´an de la secci´on 5.3 a partir del algoritmo NSGA-II. Los valores deσ yP V C10ppm0 correspondientes al recorrido de la

corriente est´an indicados a trav´es del rect´angulo rojo en A) y B) es una escala reducida de los ejes para lograr una mejor visualizaci´on de las generaciones κ= 25, κ = 50 y

κ= 100. Ver ap´endice A para mejor detalle.

contrar mejores recorridos alternativos para la corriente que permiten lograr una mayor homogeneidad del campo. A partir de la selecci´on de una combinaci´on de par´ametros de calidad mejorada, se obtienen los nuevos factores de ponderaci´on wu, . . . , w0, y a trav´es de ´estos, las funciones optimizadas p1(ϕ) y p2(ϕ).

Cap´ıtulo 5. Extensi´on del m´etodo de optimizaci´on para electroimanes con h´elices

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Hay que tener en cuenta que la re-optimizaci´on del recorrido de corriente del electro- im´an, utilizando el procedimiento de NSGA-II, genera resultados que difieren significati- vamente de una capa a la otra. Esto se debe a que cada una de las capas de ´este tipo de electroimanes poseen una geometr´ıa espec´ıfica. Por lo tanto, l´ogicamente se obtendr´an resultados distintos aplicando el procedimiento de NSGA-II por el mismo hecho de que los algoritmos gen´eticos como el NSGA-II son altamente no-lineales [122]. En la pr´actica, vemos que la homogeneidad espacial del campo magn´etico ∆B/B para cualquier capa de ´este tipo de electroim´an mejora notablemente con el procedimiento descripto. Esto se podr´a observar en los resultados presentados en la secci´on 5.3.