Emerged Themes and Concepts

Com a conseq¨u`encia, si G ´es un graf extremal amb g = 2k + 1 ≥ 3, aleshores G ´es r-regular i t´e di`ametre k i per tant, G ´es un graf de Moore M (r, k). Com ja sabem, els ´unics grafs de Moore amb di`ametre ´u, M (r, 1), s´on els grafs complets Kr+1, que s´on tamb´e les ´uniques cages amb g = 3, ´es a dir,

amb ordre n0(r, 3). Aix´ı, n0(r, 3) = N (r, 1).

Per valors parells del girth, g = 2k, es coneixen alguns resultats. Per exemple, per g = 4, les ´uniques r-cages s´on els grafs bipartits complets Kr,r, amb r ≥ 4.

Si g = 6 aleshores, existeix una cage r-regular sempre que existeixi un pla projectiu d’ordre r − 1.

Podeu provar en el seg¨uent exercici, una condici´o necessaria que han de complir aquest tipus de grafs.

Exercici 7.6 Si G ´es un graf extremal amb girth parell g = 2k ≥ 4, aleshores cada v`ertex de G est`a a dist`ancia k − 1 de cada parell de v`ertexs adjacents.

2

7.4

Grafs minimalment k-connexos

La connectivitat ´es un dels par`ametres m´es importants i dif´ıcil de determinar, en general. Entenem que un graf d’ordre n amb connectivitat k ´es extremal si t´e la m´ınima densitat possible, m0(n, k). Per exemple, sabem que els grafs

amb connectivitat ´u tenen com a m´ınim un v`ertex de tall i per tant els seus blocs estan estructurats en forma d’arbre. Aix´ı, fixat un ordre n, els ´unics grafs extremals amb connectivitat ´u s´on els arbres amb n v`ertexs i per tant m0(n, 1) = n − 1.

Si considerem els grafs amb connectivitat dos, sabem que cap dels seus v`ertexs pot desconnectar el graf i que la supressi´o d’alg´un parell de v`ertexs desconnecta el graf. Aix´ı, el seu conjunt de blocs est`a estructurat en forma c´ıclica i els ´unics grafs extremals s´on els cicles, per tant m0(n, 2) = n.

Els grafs amb connectivitat tres tenen una estructura dif´ıcil de determinar, en general. El graf m´es petit 3-connex ´es K4 i aquest ´es el graf que s’obt´e

al afegir a C3 un v`ertex central x adjacent a tots els v`ertexs del triangle,

K4 = C3 + x. En general, per n ≥ 3, les rodes Wn = Cn + x s´on grafs

poc densos amb connectivitat 3. Pero aquests grafs 3-connexos amb densitat |E(Wn)| = 2n no s´on sempre extremals. Per exemple, els grafs K3 × K2 i

bipartits K3,n−3 amb n ≥ 6 tenen connectivitat 3 i mida 3(n − 3), que ´es

menor que 2n si n < 9.

Determinar quina ´es la mida m´ınima absoluta, m0(n, k), que pot tenir un

graf d’ordre n i connectivitat k > 2 ´es un problema no resolt. Una manera d’aproximar-se al problema consisteix en estudiar els grafs amb connectivitat k i ordre n que tenen la mida m´ınima possible. ´Es a dir, aquells grafs G tals que κ(G) = k i per qualsevol e ∈ E(G), κ(G − e) = k − 1. Aleshores diem que G ´es minimalment k-connex.

Trobar conjunts de tall minimals en general no ´es f`acil. Recordem el Teorema de Menger que diu que un graf t´e connectivitat k si per cada parella de v`ertexs x, y existeixen k xy-camins independents en el graf. Aix`o ens permet tractar la connectivitat d’un graf G com el m´ınim de les connectivitats entre cada parella de v`ertexs, ´es a dir,

κ(G) = min{κ(x, y) : x, y ∈ V (G)}.

´

Es clar que tot graf k-connex admet un subgraf minimalment k-connex. Un primer resultat que caracteritza els grafs k-connexos que s´on minimals ´es el lema seg¨uent.

Lema 7.9 Un graf k-connex ´es minimalment k-connex si i nom´es si per cada parella x, y de v`ertexs adjacents, κ(x, y) = k.

Demostraci´o. Es clar a partir de la definici´´ o que la condici´o ´es suficient. D’altra banda, si G ´es un graf minimalment k-connex, per qualsevol xy ∈ E(G), κ(G − xy) = k − 1 i per tant existeix un conjunt de tall en G − xy amb cardinal k − 1 que separa x de y. D’aqu´ı que existeixen com a molt k − 1 xy-camins independents i com que κ(G) = k, tenim el que vol´ıem,

κ(x, y) = k.

2 Sabem que en qualsevol graf G sempre es compleix que κ(G) ≤ δ(G). El seg¨uent resultat ens diu que els grafs minimals assoleixen l’igualtat. Per a la demosraci´o farem servir un resultat senzill la prova del qual es deixa com a exercici.

Lema 7.10 Un graf G ´es k-connex si i nom´es si t´e almenys k + 1 v`ertexs i, per a cada V0 ⊂ V (G) amb |V0_{| = k i cada x ∈ V (G) \ V}0_{, existeixen k}

camins de x a V0 que nom´es comparteixen el v`ertex x.

7.4. GRAFS MINIMALMENT K-CONNEXOS 127

Teorema 7.11 (R. Halin) Si G ´es un graf minimalment k-connex, alesho- res

κ(G) = δ(G).

Demostraci´o. Sigui G 6= Kn un graf d’ordre n ≥ k + 2 minimalment k-

connex. Volem veure que existeix un k–conjunt de tall T tal que G − T t´e una component amb un sol v`ertex.

Triem un k–conjunt de tall T que minimitzi la mida de la component m´es petita de G − T .

Sigui C = {V1, V2, · · · , Vs≥2} el conjunt de v`ertexs de les components de G−T

ordenades segons els seus cardinals, |V1| ≤ |Vi| per tot 1 < i ≤ s. Suposem

per una contradicci´o que |V1| ≥ 2. Si ´es aix´ı, existeix xy ∈ E(G) i, com que

G ´es minimalment k-connex, existeix un (k − 1)–conjunt de tall T0 ⊂ G − xy que separa x de y.

Veiem que V0 = ∪r

i=2Vi ⊂ T0. Fem servir el Lema 7.10 que ens diu que per

a cada u ∈ G − T hi ha una fam´ılia Fu de k camins de u a T que nom´es es

tallen a u. Observem que els camins de Fx no contenen xy, ja que altrament

podr´ıa’m separar x de V0 amb un (k − 1)–conjunt T0 i T0∪ {y} seria un k– conjunt de tall de G amb la component m´es petita V₁0 = V1− y, contradient

la minimalitat de V1. De forma semblant els camins de Fy no contenen xy.

Si hi ha un v`ertex z ∈ V0\ T0 _{aleshores F}

z tampoc cont´e xy. Aix´ı Fx, Fy, Fz

estan tamb´e a G − xy. Per tant existeixen k camins internament disjunts de x a z i de y a z en G − xy i per tant no es pot separar x de y amb un (k − 1)–conjunt T0.

Sigui D = T \ T0 amb |D| = t. Per cada v ∈ D almenys un dels dos camins de x a v en Fx o de y a v en Fy cont´e algun v`ertex de T0 (ja que aquest

conjunt separa x de y). Per tant |T0∩ V1| ≥ t/2 i com que V0 ⊂ T0\ T tenim,

|V0| ≤ k − 1 − (k − t) − t/2 = t/2 − 1 < |T0∩ V1| ≤ |V1|,

que contradiu la minimalitat de V1.

2 El teorema seg¨uent, degut a W. Mader, ´es el resultat m´es potent cara a la caracteritzaci´o de l’estructura dels grafs minimalment connexos. Aqu´ı no incloem la demostraci´o, ja que ´es essencialment t`ecnica.

Teorema 7.12 (Mader, 1972) Si G ´es un graf minimalment k-connex i

aleshores el graf G − K ´es un bosc. 2 Corol.lari 7.13 Si G ´es un graf minimalment k-connex, aleshores qualsevol subgraf H de G compleix,

δ(H) ≤ k.

Demostraci´o. Si H no cont´e cap v`ertex de grau k, el teorema anterior ens

diu que H ´es un bosc. 2

Acabem aquesta secci´o amb un altre resultat de Mader que dona una cota superior per la mida d’un graf minimalment connex sempre que el graf tingui ordre no m´es petit que una constant que dep`en de la connectivitat del graf. La demostraci´o ´es molt t`ecnica i dep`en del Teorema 7.12 del mateix autor.

Teorema 7.14 (Mader) Si G ´es un graf minimalment k-connex d’ordre n ≥ 3k − 2 aleshores,

|E(G)| ≤ k(n − k).

2 La cota donada per Mader en el teorema anterior ´es justa. Si G ´es un graf minimalment k-connex, k ≥ 2, d’ordre n = 3k − 2 aleshores ´es immediat comprovar que els grafs Kk,2k−2 i C2k+Nk−2 tenen mida 2k(k −1) = k(n−k).

D’altra banda, si n = 3k − 3, el graf C2k−1+ Nk−2 t´e mida

(2k − 1)(k − 1) = k(n − k) + 1.

´

Es clar que |E(Kk,n−k)| = k(n − k), i si n ≥ 2k aquest graf complet bipartit

´es minimalment k–connex. Mader va provar que si n ≥ 3k − 1 aquest ´es l’´unic graf extremal que compleix l’igualtat del teorema anterior.

Corol.lari 7.15 Si G ´es un graf minimalment k-connex d’ordre n ≥ 3k − 1 aleshores |E(G)| = k(n − k) si i nom´es si G = Kk,n−k. 2