Identifying Second – and Third

3 RESEARCH DESIGN AND METHODOLOGY

3.4 Process of Data Analysis

3.4.4 Identifying Second – and Third – Order Themes

Un aparellament en un graf és un conjunt d’arestes independents dos a dos. Es diu que un aparellament M en un graf G d’ordre n és maximal si no es pot fer més gran afegint alguna aresta de G. Diem que M és màxim si té el màxim nombre d’arestes entre tots els possibles aparellaments de G, és a dir |M | = α1(G). En el cas que V (G) quedi cobert per M diem que M és

perfecte i per tant ´es compleix,

|M | = α1(G) = β1(G) = n/2.

Hi ha una manera general i simple, encara que entretinguda, per obtenir aparellaments m`axims en un graf qualsevol.

Donat un aparellament qualsevol M d’un graf G. S’anomena M -cam´ı alternat a tot cam´ı que comen¸ca fora de M i alterna arestes de E(G) − M i M . Diem que un M -cam´ı alternat és un M -cam´ı d’augment si els seus dos extrems estan fora de M . Aix´ı, alternant arestes de E(G) \ M i de M , s’obté un nou aparellament M0 amb una aresta més,

|M0| = |M | + 1.

Observeu que un M -cam´ı alternat té al mateix nombre d’arestes de E(G)−M que de M , mentre que un M -cam´ı d’augment té una aresta més de E(G)−M que de M .

El següent Teorema de Berge diu que aquesta manera constructiva tan simple d’obtenir aparellaments màxims és òptima. Per demostrar aquest resultat fem servir el següent lema, que diu quina és l’estructura del graf diferència simètrica entre dos aparellaments M i M0 d’un mateix graf G,

M 4M0 = (M − M0) ∪ (M0− M ). Aquest ´es un subgraf generador de G tal que

E(M 4M0) = M ∪ M0\ M ∩ M0.

Lema 4.4 Cada component de la diferència simètrica entre dos aparellaments d’un mateix graf és un cam´ı o un cicle parell.

Demostració. Siguin M i M0 dos aparellaments d’un graf G i sigui D = M 4M0 la seva diferència simètrica. Com que cada vèrtex de G té com a

4.2. APARELLAMENTS 69

molt una aresta incident de cada aparellament, ∆(S) ≤ 2, i per tant cada component de D és un cam´ı (pot ser un vèrtex a¨ıllat) o un cicle amb arestes alternades de M − M0 i M0− M i per tant cada cicle té longitud parell amb el mateix nombre d’arestes de M que de M0. 2 Teorema 4.5 (Berge, 1956) Un aparellament M d’un graf G és màxim si i només si G no té cap M -cam´ı d’augment.

Demostració. De forma equivalent provem que M no és màxim si i només si G té un M -cam´ı d’augment.

Per definició, si G té un M -cam´ı d’augment, aleshores M no és màxim. Provem ara que si M no és màxim, existeix un M -cam´ı d’augment.

Sigui M0 un aparellament de G amb més arestes que M . Segons el Lema 4.4, D = M 4M0 està format per camins i cicles parells. Com que |M0| > |M |, D té una component amb més arestes de M0 que de M i aquesta component només pot ser un cam´ı que comen¸ca i acaba amb una aresta de M0. Aquest és el M -cam´ı d’augment que vol´ıem. 2 Exercici 4.7 Fent servir el Teorema 4.5 de Berge, cerqueu un aparellament màxim en un graf connex G d’ordre 11 tal que ∆(G) = 3 i δ(G) = 2. 2

El Teorema de Berge resolt el problema d’obtenir aparellaments màxims per grafs en general i de manera explicita, però pot ser molt entretingut localitzar els M -camins d’augment, i és per tant interessant buscar altres alternatives per tractar aquest problema.

En un graf qualsevol G és clar que, la mida de qualsevol vèrtex-recobriment X ⊂ V (G) ha de ser com a m´ınim la mida d’un aparellament màxim M . Si |X| = |M |, tan X com M són òptims. Això és el que prova el següent Teorema de König, en el cas dels grafs bipartits. Aquest és el primer resultat conegut sobre aparellaments. Donarem dues demostracions d’aquest Teore- ma, la primera fent servir camins alternats i l’altra fent servir el Teorema de Ford-Fulkerson. Al final de la següent Secció, farem servir el Teorema de Hall per obtenir el mateix resultat.

Teorema 4.6 (König, 1931) La mida màxima d’un aparellament en un graf bipartit G és la mida m´ınima d’un vèrtex-recobriment de G.

Demostracions:

1. Donat un graf bipartit G(A, B), amb |A| ≤ |B|, triem un aparellament m`axim M de G i busquem X ⊂ A i Y ⊂ B tal que X ∪ Y sigui un recobridor m´ınim de E(G).

Per cada aresta ab ∈ M triem un dels dos extrems amb el seg¨uent criteri: si existeix un cam´ı alternat que comen¸ca amb una aresta ay /∈ M , aleshores a ∈ X si no b ∈ Y . Aix´ı, com que de cada aresta ab ∈ M hem triat un dels seus extrems per X ∪Y , totes les arestes de M queden cobertes per X ∪ Y .

Veiem que qualsevol aresta a0b0 ∈ E(G) − M tamb´e queda coberta per X ∪ Y .

Com que M és màxim, l’aresta a0b0 ∈ E(G) − M és incident a alguna aresta ab ∈ M . Si a ∈ X, totes les arestes ab0 queden cobertes per a. Si b ∈ Y totes les arestes a0b queden cobertes per b. Suposem que tenim una aresta a0b i a ∈ X. Aleshores, com que hem triat a ∈ X tenim un ab–cam´ı alternat b0ab que juntament l’aresta a0b forma un ab–cam´ı d’augment b0aba0 i segons el Teorema 4.5, M no és màxim.

2 2. Sigui G(A, B) un graf bipartit, amb |A| ≤ |B| i considerem la xarxa associada X = (G, s, t, 1). Volem veure que α1(G) = β(G) i per aix`o

fem servir el Teorema de Ford and Fulkerson que diu que el nombre màxim de st-camins aresta-disjunts en X és igual al nombre m´ınim d’arestes en un st-conjunt separador minimal de X, T (X) ∈ E(X). Provem primer que α1(G) = |T (X)|. Això és cert ja que qualsevol st-

cam´ı en X té la forma sabt, ab ∈ E(G), i el nombre màxim de st-camins arc-disjunts en X és la mida màxima d’un aparellament en G.

Veiem ara que |T (X)| és també la mida d’un vèrtex-recobriment minimal de E(G). És clar que cada aresta d’un conjunt de tall de X ha de ser incident amb algun vèrtex d’un recobriment minimal de E(G) i per tant, |T (X)| ≤ β(G). D’altra banda, de cada vèrtex-recobriment minimal de E(G) podem obtenir un conjunt minimal d’arestes de tall de X, és a dir, β(G) ≤ |T (X)|. Per tant,

α1(G) = |T (X)| = β(G).

4.3. TEOREMA DE HALL 71

Observem que en un graf bipartit G(A, B), un aparellament M nom´es pot ser perfecte si V (G) queda cobert per M , ´es a dir, si |A| = |B|. En aquest cas tenim,

α1(G) = |A| =

2 = |B| = β(G).

Com a conseqüència del Teorema de König i del Teorema de Gallai s’obté la següent igualtat,

α(G) = β1(G),

que relaciona el nombre màxim de vèrtexs independents d’un graf bipartit amb el nombre m´ınim d’arestes incidents a tots el vèrtexs del graf.

Exercici 4.8 Feu servir el Teorema 4.6 de K¨onig per trobar un aparellament m`axim en un graf connex bipartit G(A, B) amb |A| = 5, |B| = 7 i tal que

∀x ∈ A, 1 ≤ |N (x)| ≤ 3. 2

4.3 Teorema de Hall

En un graf bipartit G(A, B) els aparellaments màxims s’anomenen complets sempre que assoleixen el valor màxim possible, és a dir,

α1(G) = min{|A|, |B|}.

El Teorema que ara tractarem resolt el problema dels aparellaments complets en grafs bipartits, conceptualment de forma més simple i per tant és el resultat més apreciat des de un punt de vista teòric.

Recordem el problema que va donar origen a l’estudi dels aparellaments en grafs bipartits: Donades n ≥ 2 noies i m ≥ n nois, volem saber en quines condicions cada noia es pot aparellar amb algun dels nois que m´es li agraden, sense haver de compartir la parella.

Aquest problema consisteix en trobar n elements diferents en un conjunt (de nois) X amb |X| = m ≥ n, de tal forma que cada element pertany a un subconjunt diferent d’una familia prefixada de subconjunts de X,

Donat un conjunt X i una familia de n ≤ |X| subconjunts, Fn(X), diem que

un subconjunt R = {xi : xi ∈ Xi, 1 ≤ i ≤ n} ⊂ X, ´es un sistema de

representants diferents SRD o un transversal de Fn(X) si xi 6= xj per

tot j 6= i.

Exercici 4.9 Busqueu un SRD per la fam´ılia A formada per

X1 = {1}, X2 = {1, 2}, X3 = {1, 2, 3}, X4 = {1, 3}.

Es ´unic? 2

L’algebrista P. Hall a l’any 1935 va proposar una condici´o conceptualment molt simple per decidir si una familia de subconjunts d’un mateix conjunt admetia un SRD.

Observem que un SRD en una familia Fn(X) ´es un aparellament complet

en el graf bipartit G(A, B), amb A = Fn(X) i B = X. Aix´ı podem aparellar

cada Xi de A amb un element xi ∈ Xi∩ B tal que xi 6= xj si i 6= j.

La Condici´o de Hall diu que si existeix un aparellament complet en G(A, B), aleshores ∀S ⊂ A s’ha de compleix que

|S| ≤ |N (S)|.

Aquesta condició és necessaria per a l’existència d’un SRD, ja que cada noia s’ha de poder aparellar amb un dels nois, xi ∈ Xi\ {xj : 1 ≤ j < i}, que l’hi

agraden sense haver de compartir-lo amb cap altra noia.

El següent Teorema prova que aquesta simple condició necessaria és també suficient.

Teorema 4.7 (Hall, 1935) Un graf bipartit G(A, B) t´e un aparellament complet si i nom´es si per tot S ⊂ A,

|S| ≤ |N (S)|.

Demostració. Veiem que la condició de Hall és suficient per l’existència d’un aparellament complet en un graf bipartit G(A, B) amb |A| ≤ |B|. Per això, suposem que G no té cap aparellament complet i provem que existeix un S ⊂ A pel qual no es compleix la Condició de Hall, és a dir,

4.3. TEOREMA DE HALL 73

Sigui X ⊂ A i Y ⊂ B tal que X ∪ Y és un recobridor m´ınim de E(G). Com que G no té un aparellament complet, segons el Teorema de König, |X ∪ Y | < |A| i per tant

|Y | < |A − X|.

D’altra banda, com que X ∪ Y ha de ser un v`ertex-recobridor de E(G), s’ha de complir, E(A \ X, B \ Y ) = ∅, i per tant, N (A \ X) ⊂ Y. D’on,

|N (A \ X)| ≤ |Y | < |A \ X|.

Aix´ı, el subconjunt que no compleix la condici´o de Hall ´es, S = A \ X. 2

Exercici 4.10 Feu servir el Teorema de Hall per provar que tot graf bipartit conté un aparellament amb una aresta de cada vèrtex de grau màxim. 2

Tal com hem comentat a l’introducció, utilitzant el Teorema de Hall podem obtenir una nova demostració del Teorema de König, com és natural, més sensilla que les anteriors.

Corol.lari 4.8 (König, 1931) La mida màxima d’un aparellament en un graf bipartit G és la mida m´ınima d’un vèrtex-recobriment de E(G).

Demostraci´o. Sigui G(A, B) un graf bipartit i R = X ∪ Y un recobridor minimal de E(G), amb X ⊂ A i Y ⊂ B.

Com que R ´es un recobridor de E(G), no poden existir arestes amb un extrem a A − X i l’altre a B − Y . Provem, pel Teorema de Hall, que els dos subgrafs bipartits, G1(X, B − Y ) i G2(Y, A − X) tenen aparellaments

complets. Aix´ı, l’uni´o de d’aquestes dos aparellaments de G1 i de G2 ens

dona un aparellament de mida |R| en G.

Suposem per una contradicci´o que existeix S ⊂ X tal que |S| > |NG1(S)|.

Si ´es aix´ı, reempla¸cant, NG1(S) per S obtenim un v`ertex-recobriment de G

m´es petit que R. De igual forma provem que en G2 tamb´e es compleix la

En general, la condició de Hall encara que simple, a la pràctica no és fàcil de comprovar. El següent resultat és un exemple en el que aquesta condició es comprova casi directament.

Corol.lari 4.9 Tot graf bipartit regular admet un aparellament perfecte.

Demostraci´o. Sigui G(A, B) ´es un graf bipartit i k-regular, en particular, |A| = |B|.

Per tot S ⊂ A es compleix, E(S, B) ⊂ E(N (S), A), i per tant, k|S| = |E(S, B)| ≤ |E(N (S), A)| = k|N (S)|.

Aix´ı, el Teorema de Hall ens diu que existeix un aparellament perfecte. 2

Segons el Teorema de Hall si un graf bipartit G no compleix la Condició de Hall, aquest graf no pot tenir cap aparellament complet. Però, en aquest cas és fàcil deduir, almenys de forma teòrica, la mida màxima dels seus aparellaments, és a dir, α1(G).

Corol.lari 4.10 Sigui G(A, B) un graf bipartit i k < |A| un nombre natural tal que per qualsevol S ⊂ A es compleix,

|S| ≤ |N (S)| + k. (4.3) Aleshores, G cont´e |A| − k arestes independents.

Demostració. Considerem el graf bipartit G0(A, B ∪X) on X és un conjunt de k vèrtexs, cada un d’ells adjacent a tots els vèrtexs de A.

Aix´ı la condici´o del enunciat

|S| ≤ |NG(S)| + k = |NG0(S)|,

implica, pel Teorema de Hall, que G0 admet un aparellament complet, i que t´e com a m´ınim |A| − k arestes de G. 2

Observem que per k = 0 el Corol.lari 4.10 és el Teorema de Hall. No oblidem que el Corol.lari 4.10 només garanteix α1(G) = |A| − k si k és el m´ınim valor

possible que satisf`a la desigualtat 4.3, i a la pr`actica aquest m´ınim pot ser dif´ıcil d’obtenir.

4.4. TEOREMA DE TUTTE 75

4.4 Teorema de Tutte

El Teorema de Tutte és el resultat central i teòricament més important en l’estudi general d’aparellaments en grafs. Tutte dona una condició suficient, teòricament simple i clarament necessària, per a l’existència d’aparellaments perfectes en grafs.

En particular, si G admet un aparellament perfecte, aleshores es compleix que α1(G) = n/2. Observem que si un graf G admet un aparellament perfecte,

aquest ´es tamb´e un recobriment minimal de V (G) i per tant

α1(G) = n/2 = β1(G).

Donat un graf G i un subconjunt S ⊂ V (G), denotem per co(G−S) el nombre

de components d’ordre senar en que G queda separat al suprimir S.

La condici´o de Tutte ens diu que si G t´e un aparellament perfecte, aleshores per cada S ⊂ V (G) es compleix,

co(G − S) ≤ |S|. (4.4)

Es a dir, cada component imparell de G − S ha d’enviar com a m´ınim una aresta de l’aparellament a S, ja que nom´es components d’ordre parell poden aparellar-se entre elles.

Exercici 4.11 Trobeu dos grafs connexos d’ordre 8 que compleixin la Con- dici´o de Tutte i dos que no la compleixin. 2

El següent teorema prova que la Condició 4.4, clarament necessària, és també suficient. Abans però, observem algunes conseqüències generals, simples i importants de la Condició de Tutte.

Cal observar que qualsevol graf G que compleix la Condició 4.4, ha de tenir ordre n parell, ja que per S = ∅, co(G) = 0. Com a conseqüència d’aquesta

paritat, per qualsevol S ⊂ V (G), el nombre de components senars de G − S, ha de tenir la mateixa paritat que S, ´es a dir, co(G − S) ≡ |S|(mod2). En

particular, per tot S ⊂ V (G) tal que co(G − S) < |S|, es compleix

Teorema 4.11 (Tutte, 1947) Un graf G admet un aparellament perfecte si i nom´es si per cada S ∈ V (G) es compleix,

co(G − S) ≤ |S|.

Demostració. Hem vist que la condició de Tutte és clarament necessària. Provem ara que és suficient. Sigui G un graf d’ordre n que compleix la Condició 4.4. Volem veure que G admet un aparellament perfecte F .

Fem servir inducci´o sobre n, que sabem que ha de ser parell. Si G = K2, el

resultat és cert. Suposem com a hipòtesis d’inducció que per qualsevol graf d’ordre parell més petit que n, el resultat és cert.

Considerem un conjunt cr´ıtic, per la Condici´o 4.4, d’ordre m`axim,

R = max{S ⊂ V (G) : co(G − S) = |S|} = {r1, r2, · · · , rk}.

Aquest conjunt existeix, ja que com a m´ınim co(G − x) = 1 per qualsevol

x ∈ V (G).

Sigui Co = {C1, · · · , Ck} el conjunt de components d’ordre senar de G − R.

Observem que G − R no té components d’ordre parell, ja que R és maximal. Volem aparellar R amb G − R, millor dit, amb Co. Per això considerem el

graf bipartit G(Co, R) en el que les seves adjac`encies venen definides de forma

natural per les adjacències corresponents en G, és a dir, una component Ci ∈ Co és adjacent a un rj ∈ R, 1 ≤ i, j ≤ k, només si Ci té algun element

xi adjacent a rj en G.

Veiem que G satisfà la condició de Hall, és a dir, per qualsevol X ⊂ Co, es

compleix que |X| ≤ |NG(X)|.

Com que G compleix la Condici´o 4.4, en particular, per Y = NG(X) ⊂ R es

compleix,

c0(G − Y )| ≤ |Y |.

D’altra banda, com que cada element de X ´es tamb´e una component senar de G − Y , tenim que

|X| ≤ c0(G − Y )| ≤ |Y |.

Per tant existeix un aparellament perfecte, de cada component de Co a un

element de R. Sigui xi ∈ Ci tal que xiri = ei ∈ E(G), 1 ≤ i ≤ k.

Provem ara que cada subgraf C_i∗, indu¨ıt per cada component Ci de Co al

4.4. TEOREMA DE TUTTE 77

Suposem el contrari. Aleshores, per hip`otesis d’inducci´o existeix Xi ⊂ V (Ci∗)

tal que co(Ci∗− Xi) > |Xi| i com que co(Ci∗− Xi) ≡ |Xi|( mod 2) tenim,

co(Ci∗− Xi) ≥ |Xi| + 2.

Ara b´e, com que G compleix la Condici´o 4.4, si prenem Si = R ∪ Xi∪ {xi},

tenim co(G − Si) ≤ |Si| = |R| + |Xi| + 1. D’altra banda, co(G − Si) = co(G − R) − 1 + co(Ci∗− Xi) ≥ |R| + |Xi| + 1. Per tant, co(G − Si) = |Si|. contradient la maximalitat de R.

Per tant, cada subgraf C_i∗ satisfà la desigualtat 4.4 i segons l’hipòtesi d’in- ducció, C_i∗ admet un aparellament perfecte Fi.

L’uni´o dels aparellaments perfectes de tots els C_i∗ juntament amb les arestes que aparellen Co amb R formen un aparellament perfecte de G:

FG= ∪ki=1(Fi∪ {xiri}).

2 Exercici 4.12 Estudieu l’existència de subconjunts R ⊂ V (G) d’odre màxim tal que co(G − R) = |R| si G és un bosc. 2

Donat un graf G, diem que un conjunt S ⊂ V (G) és aparellable amb G − S si el graf bipartit G(S, G − S) que resulta de contraure cada component senar de G − S a un sol vèrtex i suprimir les arestes del graf indu¨ıt per S en G, tot respectant les adjacències que van de S a G − S, té un aparellament complet. En la demostració del Teorema de Tutte hem provat, que si S és un conjunt cr´ıtic d’ordre màxim per la Condició 4.4, el graf G(S, G − S) té un aparellament complet que és perfecte. També hem provat de forma impl´ıcita que, si suprimim un vèrtex d’una component senar de G − S, poden aparellar els vèrtexs restants de la component entre ells.

Un graf G es diu factor-cr´ıtic si per cada x ∈ V (G) el subgraf Gx = G − x

cont´e un aparellament perfecte. Com exemples de grafs que s´on factors-cr´ıtics podeu considerar els grafs complets d’ordre senar K2k+1 i els cicles C2k+1.

Exercici 4.13 En la demostració del Teorema de Tutte, les components de G − R són factors cr´ıtics. Per què?

El següent resultat dona una condició necessaria i suficient per caracteritzar els grafs que són factors-cr´ıtics. Aquesta condició és casi la mateixa que la donada per Tutte per l’existència d’un aparellament perfecte.

Corol.lari 4.12 Un graf G és factor-cr´ıtic si i només si té ordre senar i per tot S 6= ∅, S ⊆ V (G), es compleix

co(G − S) ≤ |S|.

Demostraci´o. Sigui S ⊂ V (G) i x ∈ S. Considerem el graf G0 = G − x i el conjunt S0 = S \ {x}.

Si G ´es factor-cr´ıtic, per qualsevol S0 ⊂ V (G0_{) es compleix}

co(G0− S0) ≤ |S0|.

D’altra banda observem que si una component de G−S est`a unida nom´es a x en G, aquesta segueix sent una component de G0− S0_{, i per tant es compleix}

la condici´o per qualsevol S 6= ∅,

co(G − S) = co(G0− S0) ≤ |S0| < |S|.

Provem ara que la condició és també suficient.

Com que G t´e ordre senar, si S 6= ∅ co(G − S) t´e diferent paritat que |S| i

per tant,

co(G − S) ≤ |S| − 1.

Aleshores, per cada S0 ⊂ V (G0_),

co(G0− S0) = co(G − (S0∪ {x})) ≤ |S0∪ {x}| − 1 = |S0|.

Aix´ı, G0 compleix la Condici´o de Tutte i per tant G ´es factor-cr´ıtic. 2

4.4. TEOREMA DE TUTTE 79

La Condició de Tutte es pot reduir de forma dràstica en alguns casos. Per exemple el següent corol.lari dona una condició molt simplificada de la de Tutte que clarament és necessaria per garantir l’existència d’un aparellament perfecte en un arbre. Veure que aquesta condició és també suficient requereix un cert esfor¸c.

Per exemple cap estrella, K1,k admet m´es d’una aresta independent i clara-

ment en un cam´ı nom´es el seu ordre determina si ´es aparellable o no.

Corol.lari 4.13 Un arbre T t´e un aparellament perfecte si i nom´es si, per tot x ∈ V (T ),

co(T − x) = 1. (4.5)

Demostració. Suposem que T té un aparellament perfecte. Aleshores, com que T compleix la Condició de Tutte, en particular per qualsevol x ∈ V (T ) es compleix, Co(T − x) ≤ 1. D’altra banda, com que T ha de tenir ordre

parell, T − x nom´es t´e una component senar.

Per provar l’implicació contraria fem servir inducció sobre l’ordre de T . Si T = K2 el resultat és cert. Suposem que tot arbre T0 d’ordre menor que T

que compleix la condici´o 4.5 admet un aparellament perfecte.

Sigui T un arbre d’ordre n ≥ 4 que compleix la condició 4.5 i sigui y un vertex final de T . Triem la fulla xy de T . Observem que si T té més d’una fulla incident a x, aleshores co(T − x) > 1. Aix´ı, T0 = T − {x, y} és un arbre

d’ordre n − 2. Provem que satisf`a la condici´o 4.5.

Suposem que exist´ıs z ∈ V (T0) tal que co(T0− z) 6= 1. Com que T0 t´e ordre

parell, co(T0 − z) ≡ 1(mod2) i per tant co(T0 − z) ≥ 3. Aleshores al afegir

a T0 els v`ertexs x i y i les adjac`encies corresponents en T , cap component senar de T − z pot canviar de paritat i per tant co(T − z) ≥ 3, contradient

que T compleix la condici´o.

Aix´ı, T0 t´e un aparellament perfecte M0 que juntament amb la fulla xy, independent de M0, ens dona un aparellament perfecte de T . 2

Observem que si un arbre t´e un aparellament perfecte, aleshores totes les seves fulles han de ser arestes del aparellament. Aix´ı, els v`ertexs no finals incidents a una fulla han de tenir grau dos.

Exercici 4.15 Trobeu dos arbres T i T0 diferents de P2k i K1,2k−1 amb ordre

parell, tals que T tingui un aparellament perfecte i T0 no. Comproveu que es compleix el Corol.lari 4.5 en els dos casos. 2

Per comprovar si un graf particular compleix la Condició de Tutte cal tenir certa informació sobre l’estructura del graf en qüestió. Uns bons candidats són els grafs regulars, que si són de grau senar garanteixen la paritat necessaria per admetre un aparellament perfecte. El següent resultat n’es un exemple.

Corol.lari 4.14 Tot graf (2k + 1)-regular G tal que λ(G) ≥ 2k admet un aparellament perfecte.

Demostració. Veiem que qualsevol S ⊂ V (G) compleix la condició de Tutte. Com que G és (2k + 1)-regular el seu ordre és parell i per tant co(G − ∅) = 0. Sigui S 6= ∅ i Co el conjunt de components d’ordre senar de

G − S.

El nombre màxim d’arestes que poden sortir de S és, (2k + 1)|S| i el nombre d’arestes que surten de cada Ci ∈ Co és un nombre senar, ja que

|E(Vi, S)| = (2k + 1)|Vi| − 2|E(Vi, Vi)|.

D’altra banda, com que λ(G) ≥ 2k, el nombre m´ınim d’arestes que poden sortir de Co ´es: (2k + 1)|Co| ≤ |E(Co, S)|. Aix´ı, es compleix la Condici´o de

Tutte,

(2k + 1)|Co| ≤ |E(Co, S)| ≤ (2k + 1)|S|.

2 En particular, els grafs cúbics que tenen aresta-connectivitat 2 admeten un aparellament perfecte. El següent resultat, obtingut fa més d’un segle pel l’algebrista J. Petersen, diu que de fet un graf cúbic pot tenir aresta- connectivitat ú i admetre un aparellament perfecte, però no tots els grafs cúbics amb connectivitat m´ınima són bons candidats.

Teorema 4.15 (Petersen, 1879) Tot graf c´ubic amb menys de tres ponts admet un aparellament perfecte.

4.4. TEOREMA DE TUTTE 81

Demostració. Sigui G un graf cúbic amb dos ponts com a molt. Veiem que per qualsevol S ⊂ V (G) es compleix la condició de Tutte. Com que G

In document Relationship Learning in Inter-Firm Conduits (Page 75-78)