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como discreto, la definici´on de dicho entorno de estudio condiciona en gran medida el com- portamiento de la funci´on objetivo. En este sentido a pesar de que los incrementos de las variables discretas pueden llegar a ser similares a los incrementos en las variables continuas, los saltos que generan en la funci´on objetivo son muy diferentes. Esto se debe a que la fun- ci´on objetivo es especialmente sensible a las modificaciones en espesor y ancho de ala. Este hecho queda patente al estudiar las expresiones del an´alisis de sensibilidad de la funci´on objetivo presentadas en el cap´ıtulo 4. En ellas se observa como la funci´on objetivo presenta

un comportamiento marcadamente lineal respecto a las variables discretas, mientras que para las variables geom´etricas est´a supeditada a la variaci´on que generen sobre la longitud. Para que el proceso de optimizaci´on proporcione buenos resultados, es imprescindible que las modificaciones de las variables de dise˜no sean comparables. Con este objetivo se ha procedido a mitigar la descompensaci´on entre variables permitiendo al programa que estudie el comportamiento del sistema al modificar de forma independiente las variables geom´etricas, seccionales o bien ambas en conjunto, a trav´es de una elecci´on aleatoria. En la presente tesis, este proceso recibe el nombre de Compatibilizaci´on (ver esquema de la Figura 6.1), y se incorpora dentro del recocido simulado entre la fase inicial, en la que se obtiene el entorno factible, y la fase de decisi´on, en la que se verifica que la soluci´on escogida es viable (ascenso de colina o descenso de valle) o bien resulta rechazada (Figura 6.7).

Tal y como se puede comprobar en la citada figura, para evitar que el algoritmo modifi- que ´unicamente las secciones o la geometr´ıa condicionando el resultado, el m´etodo propuesto est´a dise˜nado de forma que durante las primeras pruebas de cada iteraci´on modifique todas las variables de forma conjunta (si 𝑗𝑐𝑜𝑛𝑡 < 𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡). Si el algoritmo es incapaz de encontrar una direcci´on viable a lo largo de dichas pruebas entonces el m´etodo permite la elecci´on aleatoria.

Paralelamente, si el algoritmo no consigue encontrar una direcci´on factible en las 6 primeras pruebas en las que se modifiquen secciones, el m´etodo activa el proceso desuavizado seccional. Conforme el algoritmo se aproxima al punto ´optimo, y debido al car´acter discreto de las variables seccionales, existir´a un elevado n´umero de variables de este tipo que se encuentren en el valor del resultado. En este sentido debido al excesivo n´umero de variables discretas que intervienen en el algoritmo, resulta muy poco probable que en la generaci´on aleatoria del vector soluci´on, ´unicamente resulte modificada una variable. Es por ello, que la metodolog´ıa propuesta incluye un procedimiento complementario, suavizado seccional, en el que se modifica ´unicamente y de forma aleatoria una de las variables seccionales del problema. De este modo se consigue suavizar la geometr´ıa de la torre homogeneizando los incrementos de la funci´on objetivo y permitiendo una exploraci´on m´as exhaustiva del dominio de las variables geom´etricas, que dado su car´acter continuo es te´oricamente infinito.

6.5.7. Convergencia del Algoritmo de Recocido Simulado

Los m´etodos tradicionales para la resoluci´on de problemas de optimizaci´on discreta, pasan por la consideraci´on de soluciones iniciales arbitrarias a partir de las cuales se plantean diferentes metodolog´ıas que permiten obtener el resultado bas´andose en sucesivas mejoras de la funci´on objetivo. Este hecho hace que los m´etodos tradicionales presenten dos grandes

Cap´ıtulo 6. Metodolog´ıa y Algoritmo Empleado 117

Figura 6.7: Esquema del algoritmo de compatibilizaci´on implementado

problemas:

∙ La soluci´on final est´a claramente condicionada por la soluci´on inicial escogida.

∙ Los m´etodos tienden a converger a un m´ınimo local, no pudi´endose garantizar la convergencia hacia el m´ınimo global de los mismos.

El Recocido Simulado modifica el enfoque de los m´etodos tradicionales para solucionar estos problemas, permitiendo posibles empeoramientos de la funci´on objetivo siempre y cuando redunden en una mejor´ıa final de la soluci´on. Muchos han sido los autores que han tratado y estudiado en profundidad la convergencia de este tipo de procesos estoc´asticos.

En particular los estudios de Gidas [25], Geman y Geman [24] o Cruz y Dorea [18], analizan especialmente las diferentes caracter´ısticas o condiciones que deben reunir este tipo de procesos estoc´asticos para garantizar su convergencia.

El m´etodo genera un proceso estoc´astico que cumple con las caracter´ısticas de una cadena de Markov. En este sentido se dice que una serie de sucesos aleatorios verifica las propiedades markovianas si y solo si la probabilidad de un suceso futuro dado el estado actual es independiente de la serie de sucesos pasados [31]. Aplicando dicha definici´on a la metodolog´ıa expuesta por Metropolis, y siendo𝑘𝑗 la configuraci´on energ´etica en el instante 𝑗 y𝑋𝑗 el suceso aleatorio en el instante𝑗, se obtiene:

𝑃(𝑋𝑡+1 =𝑘𝑡+1∣𝑋0=𝑘0, 𝑋1 =𝑘1, . . . , 𝑋𝑡−1 =𝑘𝑡−1, 𝑋𝑡=𝑘𝑡) =𝑃(𝑋𝑡+1 =𝑘𝑡+1∣𝑋𝑡=𝑘𝑡) (6.14) En este sentido se dice que una serie de sucesos estoc´asticos es convergente si la pro- babilidad estacionaria de la serie tiende a 1.00, es decir:

l´ım

𝑡→∞𝑃(𝑋𝑡=𝑘𝑡∣𝑋0 =𝑘0) = 1.00 (6.15) Tal y como exponen Anily y Federgruen [3], y atendiendo a la formulaci´on anteriormente expuesta, el algoritmo var´ıa las probabilidades de transici´on conforme avanza el proceso de optimizaci´on. De este modo la cadena de Markov resultante del algoritmo es noestacionaria, hecho que a priori puede considerarse como un inconveniente ya que dificulta en gran medida la predicci´on de su comportamiento.

No obstante, Gidas [25] consigui´o demostrar la convergencia del algoritmo hacia el m´ınimo global bas´andose en las propiedades derivadas de la ergodicidad de la cadena de Markov resultante, siempre y cuando la velocidad de enfriamiento del algoritmo sea sufi- cientemente lenta. Gidas pretend´ıa obtener el esquema de enfriamiento m´as adecuado que permitiese alcanzar el ´optimo global con un coste computacional razonable. Para ello deb´ıa luchar en contra de dos procesos contrapuestos:

∙ Enfriamiento Adiab´atico: Dicho fen´omeno sucede cuando el esquema es demasiado r´apido y provoca que el sistema alcance un estado isentr´opico en torno a un m´ınimo local.

∙ Sobrefusi´on: En este proceso la temperatura se reduce tan lentamente que el propio algoritmo llega al ´optimo global pero no se detiene, oscilando consecutivamente e incluso llegando incluso a detenerse en una soluci´on peor.

Cap´ıtulo 6. Metodolog´ıa y Algoritmo Empleado 119

Finalmente la velocidad de enfriamiento necesaria para asegurar la convergencia deber´ıa cumplir: 𝑇𝑘= 𝐶 𝑙𝑜𝑔(_𝑡𝑘 0 ) (6.16)

No obstante la aplicaci´on pr´actica posterior del algoritmo demuestra que el empleo de otro tipo de esquemas proporciona del mismo modo buenos resultados. Del mismo modo, se ha podido comprobar c´omo el excesivo coste computacional que exige impide su aplicaci´on a problemas reales de ingenier´ıa estructural. A continuaci´on se tratar´an con mayor detalle las particularidades del algoritmo derivadas de los procesos de enfriamiento.