Ester in context

Volvamos sobre la definición de Estrategias Mixtas presentada en la p.4 supra:

Sea 𝑆_𝑖 = {𝑠_𝑖1, 𝑠_𝑖2, ⋯ , 𝑠_𝑖𝑘 } el conjunto de estrategias puras del i-ésimo jugador. Entonces, una estrategia mixta para este jugador es una lotería —es decir una distribución de probabilidades—, 𝜎_𝑖 = (𝜎_𝑖1, 𝜎_𝑖2, ⋯ , 𝜎_𝑖𝑘) sobre los elementos de 𝑆_𝑖 esto es, a cada distribución de probabilidades sobre 𝑆_𝑖 = {𝑠_𝑖1, 𝑠_𝑖2, ⋯ , 𝑠_𝑖𝑘 }, donde los elementos de 𝜎_𝑖 son todos no negativos y suman 1

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Al conjunto de las estrategias mixtas del i-ésimo jugador se notará con Δ(𝑆_𝑖) que se define como:

Δ(𝑆_𝑖) = {𝜎_𝑖 = (𝜎_𝑖1, 𝜎_𝑖2, ⋯ , 𝜎_𝑖𝑘): 𝜎_𝑖𝑗 ≥ 0, ∀𝑗 = 1,2,3, … , 𝑘 𝑦 ∑ 𝜎_𝑖𝑗 = 1

𝑘 𝑗=1

}

 Toda estrategia pura es una estrategia mixta: Bajo este tipo de definición una estrategia mixta da probabilidad 1 a una única estrategia y cero a las demás. La estrategia pura 𝑠_𝑖𝑗 es entonces susceptible de ser identificada con la estrategia mixta 𝜎_𝑖 = (0, 0, ⋯ ,1, ⋯ ,0,0) siendo 1 la j-ésima estrategia pura.

 Para cada estrategia mixta es posible identificar y distinguir al conjunto de estrategias puras que reciben probabilidad estrictamente positiva. Este subconjunto recibe el nombre de Soporte de dicha estrategia (mixta).

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Definición.— Soporte de una Estrategia Mixta

Sea 𝑆_𝑖 = {𝑠_𝑖1, 𝑠_𝑖2, ⋯ , 𝑠_𝑖𝑘 } el conjunto de estrategias puras del i-ésimo jugador. Entonces, el soporte de

una estrategia mixta 𝜎_𝑖 es el subconjunto de estrategias puras, al cual 𝜎_𝑖 asigna probabilidades positivas, i.e.

𝑠𝑢𝑝𝑝(𝜎_𝑖 ) = {𝑠_𝑖𝑘 ∈ 𝑆_𝑖 ∶ 𝜎_𝑖(𝑠_𝑖𝑘) > 0 }

 El soporte de una estrategia mixta 𝜎_𝑖, 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝜎_𝑖 ) ⊆ 𝑆_𝑖 tal que 𝑠_𝑖𝑗 ∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝜎_𝑖 ) ⟷ 𝜎_𝑖𝑗 > 0.

 Se dirá que la estrategia mixta 𝜎_𝑖 es una estrategia mixta completa si dicha estrategia coincide con el conjunto de estrategias puras del jugador, es decir, 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝜎_𝑖 ) = 𝑆_𝑖.

 Una estrategia mixta es completa si asigna una probabilidad estrictamente positiva a cada estrategia pura de 𝑆_𝑖

 Toda estrategia pura es una estrategia mixta de soporte unitario, i.e., un soporte de un único elemento.

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Ejemplo ( PJC: 147 )

Sea el siguiente juego

:

Jugador 2

Izquierda Derecha

Jugador 1 Arriba 3, 2 1, 4

Centro 1, 3 2, 1

Abajo 2, 2 2, 0

 Los conjuntos de estrategias puras son: {𝑆1 = [𝐴, 𝐶, 𝐵] 𝑆₂ = [𝐼, 𝐷]

 Una estrategia mixta para el Jugador 1 puede ser una distribución 𝜎₁ = {𝑝, 𝑞, 1 − 𝑝 − 𝑞} donde 𝑝

es la probabilidad de elegir Arriba, 𝑞 es la probabilidad de elegir C, y Abajo se elige con probabilidad

1 − 𝑝 − 𝑞.

 Una estrategia mixta para el Jugador 2 puede ser una distribución 𝜎₂ = {𝑟, 1 − 𝑟} con 𝑟 siendo la probabilidad de jugar Izquierda mientras que la estrategia Derecha se juega con probabilidad (1 − 𝑟).

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 Para el Jugador 1, toda estrategia mixta en la que 𝑝 > 0, 𝑞 > 0, 1 − 𝑝 − 𝑞 > 0 tendrá un conjunto soporte 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝜎₁ ) igual al número de estrategias puras siendo así una estrategia mixta completa.

 Una estrategia mixta completa para este jugador es (1₂,1₄,1

4), en donde jugar 𝐴 tiene probabilidad 1 2,

jugar 𝐶 tiene probabilidad 1

4, y jugar 𝐵 tiene probabilidad 1

4 tiene un conjunto soporte que coincide

con el conjunto de estrategias puras, 𝑆₁: 𝑠𝑢𝑝𝑝(1₂,1₄,1 4).

 En contraste, si una estrategia mixta para el jugador 1 es una lotería (0,1₃,2

3) esta no puede entenderse

como una estrategia mixta completa porque asigna probabilidad 0 a la estrategia pura 𝐴, y su

soporte es un subconjunto propio de 𝑆₁: 𝑠𝑢𝑝𝑝(0,1₃,2

3) = {𝐵, 𝐶};

 Las estrategias puras {𝐴, 𝐵, 𝐶} pueden entenderse como las estrategias mixtas:

(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).

 Bajo estrategias mixtas las funciones de pago dejan de ser determinísticas para tornarse en aleatorias;

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Ejemplo: Matching Pennies.— Suponga de nuevo el juego de las monedas. En este caso 𝑆₁ = 𝑆₂ = (𝐶𝑎𝑟𝑎 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) con pagos:

Jugador 2

Cara Sello

Jugador 1 Cara 1, -1 -1, 1

Sello -1, 1 1, -1

Sean 𝜎₁ = (𝑝, 1 − 𝑝) y 𝜎₂ = (𝑞, 1 − 𝑞). Entonces, los pagos esperados para cada jugador son:

 𝑈₁((𝑝, 1 − 𝑝), 𝐶𝑎𝑟𝑎) = 𝑝𝑢₁(𝐶𝑎𝑟𝑎, 𝐶𝑎𝑟𝑎) + (1 − 𝑝)𝑢₁(𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜, 𝐶𝑎𝑟𝑎) = 𝑝(1) + (1 − 𝑝)(−1) = 𝑝 − 1 + 𝑝 = 2𝑝 − 1  𝑈₂((𝑝, 1 − 𝑝), 𝐶𝑎𝑟𝑎) = 𝑝𝑢₂(𝐶𝑎𝑟𝑎, 𝐶𝑎𝑟𝑎) + (1 − 𝑝)𝑢₂(𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜, 𝐶𝑎𝑟𝑎) = 𝑝(−1) + (1 − 𝑝)(1) = −𝑝 + 1 − 𝑝 = 1 − 2𝑝 En tanto que:  𝑈₁((𝑝, 1 − 𝑝), 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) = 𝑝𝑢₁(𝐶𝑎𝑟𝑎, 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) + (1 − 𝑝)𝑢₁(𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜, 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) = 𝑝(−1) + (1 − 𝑝)(1) = −𝑝 + 1 − 𝑝 = 1 − 2𝑝  𝑈₂((𝑝, 1 − 𝑝), 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) = 𝑝𝑢₂(𝐶𝑎𝑟𝑎, 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) + (1 − 𝑝)𝑢₂(𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜, 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) = 𝑝(1) + (1 − 𝑝)(−1) = 𝑝 + 1 + 𝑝 = 2𝑝 − 1

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Los pagos esperados al combinar las dos estrategias mixtas son:

𝑈₁[𝜎₁, 𝜎₂] = 𝑈₁[(𝑝, 1 − 𝑝) , (𝑞, 1 − 𝑞)] = 𝑞𝑈₁((𝑝, 1 − 𝑝), 𝐶𝑎𝑟𝑎) + (1 − 𝑞)𝑈₁((𝑝, 1 − 𝑝), 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) = 𝑞(2𝑝 − 1) + (1 − 𝑞)(1 − 2𝑝) = 1 − 2𝑝 − 2𝑞 + 4𝑝𝑞

𝑈₂[𝜎₁, 𝜎₂] = 𝑈₂[(𝑝, 1 − 𝑝) , (𝑞, 1 − 𝑞)]

= 𝑝 ∙ 𝑞(−1) + (1 − 𝑝) ∙ 𝑞 ∙ (1) + 𝑝 ∙ (1 − 𝑞)(1) + (1 − 𝑝) ∙ (1 − 𝑞)(−1) = −1 + 2𝑝 + 2𝑞 − 4𝑝𝑞

Suponga ex post que se tienen los siguientes pares de estrategias: ((1 3⁄ , 2 3⁄ ), 𝐶𝑎𝑟𝑎) y

((1 3⁄ , 2 3⁄ ), (4 5⁄ , 1 5⁄ ))

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Utilidad Esperada en Juegos Bi-persona

Sea Γ un juego con dos jugadores cuyos conjuntos de estrategias puras son:

𝑆₁ = {𝑠₁1, 𝑠₁2, … , 𝑠₁𝑚} y 𝑆₂ = {𝑠₂1, 𝑠₂2, … , 𝑠₂𝑛}

Sea además la estrategia mixta: 𝜎₂ = {𝜎₂1, 𝜎₂2, … , 𝜎₂𝑛}

Si el jugador 1 juega 𝑠₁𝑖 y el jugador 2 juega 𝜎₂ las ganancias esperadas para cada jugador serán:

𝑈₁(𝑠₁𝑖, 𝜎₂) = 𝜎₂1𝑢₁(𝑠₁𝑖, 𝑠₂1) + 𝜎₂2𝑢₁(𝑠₁𝑖, 𝑠₂2) + ⋯ + 𝜎₂𝑛𝑢₁(𝑠₁𝑖, 𝑠₂𝑛) = ∑ 𝜎₂𝑗𝑢₁(𝑠₁𝑖, 𝑠₂𝑗) 𝑛 𝑗=1 𝑈₂(𝑠₁𝑖, 𝜎₂) = 𝜎₂1𝑢₂(𝑠₁𝑖, 𝑠₂1) + 𝜎₂2𝑢₂(𝑠₁𝑖, 𝑠₂2) + ⋯ + 𝜎₂𝑛𝑢₂(𝑠₁𝑖, 𝑠₂𝑛) = ∑ 𝜎₂𝑗𝑢₂(𝑠₁𝑖, 𝑠₂𝑗) 𝑛 𝑗=1

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Suponga que el jugador 1 ahora juega 𝜎₁ = {𝜎₁1, 𝜎₁2, … , 𝜎₁𝑚} y el jugador 2 juega 𝜎₂ = {𝜎₂1, 𝜎₂2, … , 𝜎₂𝑛}, las ganancias esperadas serán:

𝑈₁(𝜎₁, 𝜎₂) = 𝜎₁1𝑈₁(𝑠₁1, 𝜎₂) + 𝜎₁2𝑈₁(𝑠₁2, 𝜎₂) + ⋯ + 𝜎₁𝑚𝑈₁(𝑠₁𝑚, 𝜎₂) = = 𝜎₁1 ∑ 𝜎₂𝑗𝑢₁(𝑠₁1, 𝑠₂𝑗) 𝑛 𝑗=1 + 𝜎₁2 ∑ 𝜎₂𝑗𝑢₁(𝑠₁2, 𝑠₂𝑗) 𝑛 𝑗=1 + ⋯ + 𝜎₁𝑚 ∑ 𝜎₂𝑗𝑢₁(𝑠₁𝑚, 𝑠₂𝑗) 𝑛 𝑗=1 = ∑ 𝜎₁𝑖 (∑ 𝜎₂𝑗𝑢₁(𝑠₁𝑖, 𝑠₂𝑗) 𝑛 𝑗=1 ) 𝑚 𝑖=1 = ∑ ∑ 𝜎₁𝑖𝜎₂𝑗𝑢₁(𝑠₁𝑖, 𝑠₂𝑗) 𝑛 𝑗=1 𝑚 𝑖=1

En tanto que para el Jugador 2:

𝑈₂(𝜎₁, 𝜎₂) = 𝜎₁1𝑈₂(𝑠₁1, 𝜎₂) + 𝜎₁2𝑈₂(𝑠₁2, 𝜎₂) + ⋯ + 𝜎₁𝑚𝑈₂(𝑠₁𝑚, 𝜎₂) = = 𝜎₁1∑ 𝜎₂𝑗𝑢₁(𝑠₁1, 𝑠₂𝑗) 𝑛 𝑗=1 + 𝜎₁2 ∑ 𝜎₂𝑗𝑢₂(𝑠₁2, 𝑠₂𝑗) 𝑛 𝑗=1 + ⋯ + 𝜎₁𝑚 ∑ 𝜎₂𝑗𝑢₂(𝑠₁𝑚, 𝑠₂𝑗) 𝑛 𝑗=1 = ∑ 𝜎₁𝑖 (∑ 𝜎₂𝑗𝑢₂(𝑠₁𝑖, 𝑠₂𝑗) 𝑛 𝑗=1 ) 𝑚 𝑖=1 = ∑ ∑ 𝜎₁𝑖𝜎₂𝑗𝑢₂(𝑠₁𝑖, 𝑠₂𝑗) 𝑛 𝑗=1 𝑚 𝑖=1

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Las Ganancias Esperadas en Forma Matricial:

Considere un juego Γ con estrategias puras 𝑆₁ = {𝑠₁1, 𝑠₁2, … , 𝑠₁𝑚} y 𝑆₂ = {𝑠₂1, 𝑠₂2, … , 𝑠₂𝑛}, y con estrategias mixtas 𝜎₁ = {𝜎₁1, 𝜎₁2, … , 𝜎₁𝑚} y 𝜎₂ = {𝜎₂1, 𝜎₂2, … , 𝜎₂𝑛}. En tonces, la representación en forma estratégicas es: Jugador 2 𝑠₂1 𝑠₂1 … 𝑠₂𝑛 Jugador 1 𝑠₁1 𝑢₁(𝑠₁1_{, 𝑠} 21), 𝑢2(𝑠11, 𝑠21) 𝑢1(𝑠11, 𝑠22), 𝑢2(𝑠11, 𝑠22) … 𝑢1(𝑠11, 𝑠2𝑛), 𝑢2(𝑠11, 𝑠2𝑛) 𝑠₁2 𝑢₁(𝑠₁2_{, 𝑠} 21), 𝑢2(𝑠12, 𝑠21) 𝑢1(𝑠1´2, 𝑠22), 𝑢2(𝑠12, 𝑠22) … 𝑢1(𝑠12, 𝑠2𝑛), 𝑢2(𝑠12, 𝑠2𝑛) … … … … … 𝑠₁𝑚 𝑢₁(𝑠₁𝑚, 𝑠₂1), 𝑢₂(𝑠₁𝑚, 𝑠₂1) 𝑢₁(𝑠₁𝑚_{, 𝑠} 22), 𝑢2(𝑠1𝑚, 𝑠22) … 𝑢1(𝑠1𝑚, 𝑠2𝑛), 𝑢2(𝑠1𝑚, 𝑠2𝑛)

Sean: 𝐴₁ = (𝑢₁(𝑠₁𝑖, 𝑠₂𝑗)) y 𝐴₂ = (𝑢₂(𝑠₁𝑖, 𝑠₂𝑗)), que corresponden respectivamente a las submatrices de

ganancias del Jugador 1 y del Jugador 2. Entonces, la ganancia esperada de cada jugador, dadas las estrategias mixtas 𝜎₁ y 𝜎₂, son:

𝑈₁ = 𝜎₁𝐴₁𝜎₂ y 𝑈₂=𝜎₁𝐴₂𝜎₂

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Ejemplo (PJC, 2004: 150~): Considere de nuevo el juego,

Jugador 2

Izquierda Derecha

Jugador 1 Arriba 3, 2 1, 4

Centro 1, 3 2, 1

Abajo 2, 2 2, 0

i. Sean 𝜎₁ = {2 3⁄ , 1 6⁄ , 1 6⁄ } y 𝜎₂ = {1 3⁄ , 2 3⁄ }. Entonces, dadas:

𝐴₁ = ( 3 1 1 2 2 2 ) y 𝐴₂ = ( 2 4 3 1 2 0 )

Las ganancias esperadas de jugar las estrategias mixtas propuestas para cada jugador son:

𝑈₁ = 𝜎₁𝐴₁𝜎₂𝑇 = (2 3⁄ , 1 6⁄ , 1 6⁄ ) ( 3 1 1 2 2 2 ) (1 3⁄ 1 3⁄ ) = 31 18⁄

Teoría de los Juegos – Equilibrio de Nash // @JackFlash 𝑈₂ = 𝜎₁𝐴₂𝜎₂𝑇 = (2 3⁄ , 1 6⁄ , 1 6⁄ ) ( 2 4 3 1 2 0 ) (1 3⁄ 1 3⁄ ) = 47 18⁄

ii. Considere ahora el siguiente par de estrategias: 𝜎₁ = (2 3⁄ , 1 6⁄ , 1 6⁄ ) y 𝑠₂ = 𝐼𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎. ¿Cuáles son las utilidades esperadas de los Jugadores?

𝑈₁(𝜎₁, 𝜎₂) = 𝜎₁𝐴₁𝜎₂𝑇 = (2 3⁄ , 1 6⁄ , 1 6⁄ ) ( 3 1 1 2 2 2 ) (1 0) = (5 2⁄ 4 3⁄ ) ( 1 0) = 5 2⁄ 𝑈₂(𝜎₁, 𝜎₂) = 𝜎₁𝐴₂𝜎₂𝑇 = (2 3⁄ , 1 6⁄ , 1 6⁄ ) ( 2 4 3 1 2 0 ) (1 0) = (13 6⁄ 17 6⁄ ) ( 1 0) = 31 6⁄

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Definición: Equilibrio de Nash en Estrategias Mixtas:

Sea el Juego Γ = [𝑁; 𝑆₁, … , 𝑆_𝑁; 𝑢₁, … , 𝑢_𝑁]. Entonces, se dice que el perfil de estrategias mixtas 𝜎∗ = (𝜎₁∗, … , 𝜎_𝑖∗, … , 𝜎_𝑁∗) es un Equilibrio de Nash (en estrategias mixtas), si para todo 𝑖 = 1,2, … , 𝑁

𝑈_𝑖(𝜎₁∗, … , 𝜎_𝑖−1∗ , 𝜎_𝑖∗, 𝜎_𝑖+1∗ , … , 𝜎_𝑁∗) ≥ 𝑈_𝑖(𝜎₁∗, … , 𝜎_𝑖−1∗ , 𝜎_𝑖, 𝜎_𝑖+1∗ , … , 𝜎_𝑁∗)

Para todo 𝜎_𝑖 ∈ Δ(𝑆_𝑖) = {𝜎_𝑖 = (𝜎_𝑖1, 𝜎_𝑖2, ⋯ , 𝜎_𝑖𝑘): 𝜎_𝑖𝑗 ≥ 0, ∀𝑗 = 1,2,3, … , 𝑘 𝑦 ∑𝑘_𝑗=1𝜎_𝑖𝑗 = 1}

Esto es, si para todo 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 resulta que:

𝜎_𝑖∗ = argmax

𝜎_𝑖

{𝑈_𝑖(𝜎₁∗, … , 𝜎_𝑖−1∗ , 𝜎_𝑖, 𝜎_𝑖+1∗ , … , 𝜎_𝑁∗)}

O sea, cuando para cada uno de los 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 jugadores 𝜎_𝑖∗ es respuesta óptima a 𝜎_−𝑖∗

Observación: El pago esperado de una estrategia mixta de un jugador, dadas las estrategias de los demás jugadores, es una combinación convexa de los pagos de las estrategias puras soporte de esa estrategia mixta: luego la ganancia esperada de una estrategia mixta debe estar entre las ganancias máxima y mínima de las estrategias puras soporte del jugador.

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Teorema: Equilibrio de Nash (Ampliado)

Sea el Juego Γ = [𝑁; 𝑆₁, … , 𝑆_𝑁; 𝑢₁, … , 𝑢_𝑁] . Se dice que el perfil de estrategias mixtas 𝜎∗ = (𝜎₁∗, … , 𝜎_𝑖∗, … , 𝜎_𝑁∗) es un Equilibrio de Nash si y solo si para todo 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 con estrategia mixta 𝜎_𝑖∗ = (𝜎_𝑖1∗, 𝜎_𝑖2∗, … , 𝜎_𝑖𝑗∗, … ) el hecho de que 𝜎_𝑖𝑗∗ > 0 implica que 𝑠_𝑖𝑗 es una respuesta óptima a 𝜎_−𝑖∗ = (𝜎_𝑖∗, … , 𝜎_𝑖−1∗ , 𝜎_𝑖+1∗ … , 𝜎_𝑛∗ ).

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Ejemplo (PJC, 2004: 155~): Considere de nuevo el juego,

Jugador 2

Izquierda Derecha

Jugador 1 Arriba (A) 3, 2 1, 4

Centro (C) 1, 3 2, 1

Abajo (B) 2, 2 2, 0

El juego tiene un único Equilibrio de Nash en estrategias mixtas bajo el perfil [(1 2⁄ , 0, 1 2⁄ ), (1 2⁄ , 1 2⁄ )]: Cualquier estrategia del Jugador 1 con soporte contenido en el conjunto {𝐴, 𝐵} incluidas las estrategias puras 𝐴 y 𝐵 es respuesta óptima a la estrategia mixta del jugador 2, 𝜎₂∗ = (1 2⁄ , 1 2⁄ ). Al mismo tiempo, cualquier estrategia, pura o mixta del jugador 2 es respuesta óptima a la estrategia , 𝜎₁∗ = (1 2⁄ , 0, 1 2⁄ ) del Jugador 1.

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i. Dada la estrategia 𝜎₂∗ = (1 2⁄ , 1 2⁄ ) del jugador 2, el jugador 1 obtiene las mismas ganancias al utilizar distintas estrategias con soporte {𝐴, 𝐵}. En efecto,

𝑈₁(𝜎₁, 𝜎₂) = 𝜎₁𝐴₁𝜎₂𝑇 = (1 2⁄ , 0, 1 2⁄ ) ( 3 1 1 2 2 2 ) (1 2⁄ 1 2⁄ ) = (5 2⁄ , 3 2⁄ ) ( 1 2⁄ 1 2⁄ ) = 2 𝑈₁(𝐴, 𝜎2) = (1, 0,0) ( 3 1 1 2 2 2 ) (1 2⁄ 1 2⁄ ) = (3,1) ( 1 2⁄ 1 2⁄ ) = 2 𝑈₁(𝐵, 𝜎2) = (0, 0,1) ( 3 1 1 2 2 2 ) (1 2⁄ 1 2⁄ ) = (2,2) ( 1 2⁄ 1 2⁄ ) = 2 𝑈₁((1 3⁄ , 0, 2 3⁄ ), 𝜎₂) = (1 3⁄ , 0, 2 3⁄ ) ( 3 1 1 2 2 2 ) (1 2⁄ 1 2⁄ ) = (7 3⁄ , 5 3⁄ ) ( 1 2⁄ 1 2⁄ ) = 2

En general, dada 𝜎₂∗ cualquier estrategia 𝜎₁ = (𝑝₁𝑘, 0, 1 − 𝑝₁𝑘) de soporte {𝐴, 𝐵} genera ganancia 2 para el jugador 1. Compruebe que:

𝑈₁((𝑝₁𝑘, 0, 1 − 𝑝₁𝑘), 𝜎₂) = ((𝑝₁𝑘, 0, 1 − 𝑝₁𝑘)) ( 3 1 1 2 2 2 ) (1 2⁄ 1 2⁄ ) = (2 + 𝑝1 𝑘_{, 2 − 𝑝} 1𝑘) ( 1 2⁄ 1 2⁄ ) = 2

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ii. Dada la estrategia 𝜎₁∗ = (1 2⁄ , 0, 1 2⁄ ) las ganancias para el jugador 2 serán:

𝑈₂(𝜎₁∗, 𝜎₂) = 𝜎₁𝐴₂𝜎₂𝑇 = (1 2⁄ , 0, 1 2⁄ ) ( 2 4 3 1 2 0 ) (1 2⁄ 1 2⁄ ) = (2, 2) ( 1 2⁄ 1 2⁄ ) = 2 𝑈₂(𝜎₁∗, 𝐼) = 𝜎₁𝐴₂𝜎₂𝑇 = (1 2⁄ , 0, 1 2⁄ ) ( 2 4 3 1 2 0 ) (1 0) = (2, 2) ( 1 0) = 2 𝑈₂(𝜎₁∗, 𝐷) = 𝜎₁𝐴₂𝜎₂𝑇 = (1 2⁄ , 0, 1 2⁄ ) ( 2 4 3 1 2 0 ) (0 1) = (2, 2) ( 0 1) = 2 𝑈₂(𝜎₁∗, (4 5⁄ , 1 5⁄ )) = 𝜎₁𝐴₂𝜎₂𝑇 = (1 2⁄ , 0, 1 2⁄ ) ( 2 4 3 1 2 0 ) (4 5⁄ 1 5⁄ ) = (2, 2) ( 4 5⁄ 1 5⁄ ) = 2 𝑈₂(𝜎₁∗, (𝑝₂1, 1 − 𝑝₂1)) = 𝜎₁𝐴₂𝜎₂𝑇 = (1 2⁄ , 0, 1 2⁄ ) ( 2 4 3 1 2 0 ) ( 𝑝2 1 1 − 𝑝₂1) = (2, 2) ( 𝑝₂1 1 − 𝑝₂1) = 2

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Equilibrios de Nash en Estrategias Mixtas en Juegos 2 × 2

Para calcular los Equilibrios de Nash en juegos 2 × 2 se usa la siguiente propiedad de las estrategias mixtas:

Una estrategia mixta es respuesta óptima a otra estrategia pura o mixta determinada, si y solo si sus estrategias puras soporte son respuesta óptima. Como consecuencia tales estrategias puras producen ganancias iguales y máximas, dada la estrategia del otro jugador (PJC, 2004: 158).

El procedimiento para obtener gráficamente los Equilibrios de Nash se resume a continuación (PJC, id.):

i. Fíjense estrategias mixtas genéricas (𝑝, 1 − 𝑝) y (𝑞, 1 − 𝑞);

ii. Calcúlese la utilidad esperada que obtiene el jugador 1 de cada estrategia pura cuando la estrategia del jugador 2 es (𝑞, 1 − 𝑞);

iii. Seguidamente, calcúlese la correspondencia de respuesta óptima del Jugador 1, 𝑅₁(𝑞);

iv. Procédase con el Jugador 2, calculando la utilidad esperada de cada una de las estrategias puras cuando la estrategia del jugador 1 es (𝑝, 1 − 𝑝).

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vi. Represente gráficamente las correspondencias 𝑅_𝑖(∙) en el plano 𝑝, 𝑞. Los Equilibrios de Nash se encuentran en los puntos en los que 𝑅₁(𝑞) y 𝑅₂(𝑝) se intersecan.

Ejemplo (PJC, 2004: 158~): Matching Pennies. Considere de nuevo el siguiente juego:

Jugador 2

Cara Sello

Jugador 1 Cara 1, -1 -1, 1

Sello -1, 1 1, 1

i. Sean 𝜎₁ = (𝑝, 1 − 𝑝) y 𝜎₂ = (𝑞, 1 − 𝑞)

ii. Fije (𝑞, 1 − 𝑞). En el caso del Jugador 1 se tiene:

𝑈₁(𝐶𝑎𝑟𝑎, (𝑞, 1 − 𝑞)) = 𝑞(1) + (1 − 𝑞)(−1) = 2𝑞 − 1

𝑈₁(𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜, (𝑞, 1 − 𝑞)) = 𝑞(−1) + (1 − 𝑞)(1) = 1 − 2𝑞

iii. Se tienen las siguientes situaciones:

𝑈₁(𝐶𝑎𝑟𝑎, (𝑞, 1 − 𝑞)) > 𝑈₁(𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜, (𝑞, 1 − 𝑞)) ⟷ 2𝑞 − 1 > 1 − 2𝑞 ⟷ 𝑞 > 1 2⁄ 𝑈₁(𝐶𝑎𝑟𝑎, (𝑞, 1 − 𝑞)) < 𝑈₁(𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜, (𝑞, 1 − 𝑞)) ⟷ 2𝑞 − 1 < 1 − 2𝑞 ⟷ 𝑞 < 1 2⁄

Teoría de los Juegos – Equilibrio de Nash // @JackFlash 𝑈₁(𝐶𝑎𝑟𝑎, (𝑞, 1 − 𝑞)) = 𝑈₁(𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜, (𝑞, 1 − 𝑞)) ⟷ 2𝑞 − 1 = 1 − 2𝑞 ⟷ 𝑞 = 1 2⁄

En consecuencia,

 La respuesta óptima del jugador 1 a cualquier (𝑞, 1 − 𝑞) será Cara si 𝑞 > 1 2⁄ ;

 La respuesta óptima del jugador 1 a cualquier (𝑞, 1 − 𝑞) será Sello si 𝑞 < 1 2⁄ ;

 La respuesta óptima del jugador 1 a cualquier (𝑞, 1 − 𝑞) será Cara o Sello si 𝑞 = 1 2⁄ ;

𝑅₁(𝑞) = {

𝑝 = 0(𝐽𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) ↔ 𝑞 < 1 2⁄ 𝑝 = 1(𝐽𝑢𝑔𝑎𝑟 𝐶𝑎𝑟𝑎) ↔ 𝑞 > 1 2⁄ 𝑝 ∈ [0,1] ↔ 𝑞 = 1 2⁄

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iv. Fije ahora (𝑝, 1 − 𝑝) para el Jugador 1. Calcule los pagos esperados para el Jugador 2. En este caso,

𝑈₂((𝑝, 1 − 𝑝), 𝐶𝑎𝑟𝑎) = 𝑝(−1) + (1 − 𝑝)(1) = 1 − 2𝑝 𝑈₂((𝑝, 1 − 𝑝), 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) = 𝑝(1) + (1 − 𝑝)(−1) = 2𝑝 − 1

Se tienen las siguientes situaciones:

 𝑈₂((𝑝, 1 − 𝑝), 𝐶𝑎𝑟𝑎) > 𝑈₂((𝑝, 1 − 𝑝), 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) ⟷ 1 − 2𝑝 > 2𝑝 − 1 ⟷ 𝑝 < 1 2⁄

 𝑈₂((𝑝, 1 − 𝑝), 𝐶𝑎𝑟𝑎) < 𝑈₂((𝑝, 1 − 𝑝), 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) ⟷ 1 − 2𝑝 < 2𝑝 − 1 ⟷ 𝑝 > 1 2⁄

 𝑈₂((𝑝, 1 − 𝑝), 𝐶𝑎𝑟𝑎) = 𝑈₂((𝑝, 1 − 𝑝), 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) ⟷ 1 − 2𝑝 = 2𝑝 − 1 ⟷ 𝑝 = 1 2⁄

En este caso, la correspondencia de respuesta óptima del Jugador 2 es:

𝑅₂(𝑝) = {

𝑞 = 0(𝐽𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) ↔ 𝑝 > 1 2⁄ 𝑞 = 1(𝐽𝑢𝑔𝑎𝑟 𝐶𝑎𝑟𝑎) ↔ 𝑝 < 1 2⁄ 𝑞 ∈ [0,1] ↔ 𝑝 = 1 2⁄

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Ejemplo: La Batalla de los Sexos (otra vez!)

Los pagos en este juego son los que aparecen en seguida:

Jugador 2 Cine Fútbol Jugador 1 Cine 1, 2 0, 0

Fútbol 0, 0 2, 1

El juego tiene dos equilibrios de Nash en estrategias puras. Considere para el jugador 2 la estrategia mixta

𝜎₂ = (𝑞, 1 − 𝑞). El jugador 1 obtiene los siguientes niveles de utilidad para cada una de sus estrategias puras así:

𝑈₁(𝐶𝑖𝑛𝑒, 𝜎₂) = (1)𝑞 + 0(1 − 𝑞) = 𝑞

𝑈₁(𝐹𝑢𝑡𝑏𝑜𝑙, 𝜎₂) = (0)𝑞 + 2(1 − 𝑞) = 2 − 2𝑞

𝑈₁(𝐶𝑖𝑛𝑒, 𝜎₂) = 𝑈₁(𝐹𝑢𝑡𝑏𝑜𝑙, 𝜎₂) ↔ 𝑞 = 2 − 2𝑞 → 𝑞 = 2/3

Cuando 𝑞 = 2/3, J1 es indiferente respecto de sus dos estrategias puras y por lo tanto respecto de cualquiera de sus estrategias mixtas

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La correspondencia de respuesta óptima para J1 es:

𝑅₁(𝜎₂) = {

𝑝 = 1 ↔ 𝑞 > 2/3 𝑝 = 0 ↔ 𝑞 < 2/3 𝑝 ∈ [0,1] ↔ 𝑞 = 2/3

Ahora considere 𝜎₁ = (𝑝, 1 − 𝑝). Para J2 las ganancias esperadas serán:

𝑈₂((𝑝, 1 − 𝑝), 𝐶𝑖𝑛𝑒) = 2𝑝 + 0(1 − 𝑝) = 2𝑝 𝑈₂((𝑝, 1 − 𝑝), 𝐹𝑢𝑡𝑏𝑜𝑙) = 0𝑝 + 1(1 − 𝑝) = 1 − 1𝑝 𝑈₂((𝑝, 1 − 𝑝), 𝐶𝑖𝑛𝑒) = 𝑈₂((𝑝, 1 − 𝑝), 𝐹𝑢𝑡𝑏𝑜𝑙) ↔ 2𝑝 = 1 − 1𝑝 → 𝑝 = 1 3 𝑅₂(𝜎₁) = { 𝑞 = 1 ↔ 𝑝 > 1/3 𝑞 = 0 ↔ 𝑝 < 1/3 𝑞 ∈ [0,1] ↔ 𝑝 = 1/3

Teoría de los Juegos – Equilibrio de Nash // @JackFlash

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Ejemplo: Halcón-Paloma (otra vez!)

Dos individuos pueden comportarse de manera agresiva (Halcón) o pacífica (Paloma) por la posesión de un objeto de valor, V. Si los dos se comportan en modo agresivo, del conflicto resultante surgirán unos costos C. Si ambos se comportan de manera conciliadora, se repartirán el objeto. Si uno se comporta en forma pacífica y el otro no, el pacífico no obtienen nada y el agresivo se quedará con todo. Los pagos en este juego son los que aparecen en seguida:

Jugador 2

Paloma Halcón

Jugador 1 Paloma 𝑉 2⁄ , 𝑉 2⁄ 0, 𝑉

Halcón 𝑉, 0 𝑉 2⁄ − 𝐶, 𝑉 2 − 𝐶⁄

Sean 𝑉 = 2 y 𝐶 = 4. Los pagos para este juego son:

Jugador 2 Halcón Paloma Jugador 1 Halcón 1, 1 0, 2

Paloma 2, 0 -3, -3

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Suponga que para J1 𝜎₁ = (𝑝, 1 − 𝑝) y que para J2 𝜎₁ = (𝑞, 1 − 𝑞). Las utilidades esperadas serán:

𝑈

₁

= (𝑝, 1 − 𝑝) (

1 0 2 −3

) (

𝑞 1 − 1

)

= 3𝑝 + 5𝑞 − 4𝑝𝑞 − 3

𝑈

₂

= (𝑝, 1 − 𝑝) (

1 2 0 −3

) (

𝑞 1 − 1

)

= 5𝑝 + 3𝑞 − 4𝑝𝑞 − 3

El Jugador 1 maximiza su ganancia esperada, i.e., resuelve:

max

𝑝 𝑈1 = 3𝑝 + 5𝑞 − 4𝑝𝑞 − 3

Las condiciones relevantes para óptimo son:

𝜕𝑈₁

𝜕𝑝 = 3 − 4𝑞 = 0 → (𝑞, 1 − 𝑞) = (3 4⁄ , 1 4⁄ )

 Note que 3 − 4𝑞 < 0 → −4𝑞 < −3. Multiplicando ambos lados por (-1) se tiene que si 𝑞 > 3/4

el beneficio máximo de J1 se torna negativo. Por lo tanto, si 𝑞 > 3/4, esto es, si J2 juega Paloma, J1 debería hacer 𝑝 = 0, esto es, deberá jugar Halcón.

 Si 3 − 4𝑞 > 0 → 𝑞 < 3/4 y J1 deberá jugar 𝑝 = 1, i.e., deberá jugar paloma.

 Cuando 3 − 4𝑞 = 0, 𝑞 = 3/4 y J1 será indiferente entre jugar Halcón o Paloma así como respecto

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Por su parte, el Jugador 2 deberá resolver:

max

𝑞 𝑈2 = 5𝑝 + 3𝑞 − 4𝑝𝑞 − 3

CPO:

𝜕

𝑈

₂

𝜕𝑞 = 3 − 4𝑝 = 0

 El Jugador 2 deberá jugar Halcón (jugará 𝑞 = 0), siempre que J1 juegue 𝑝 > 3/4 (siempre que J1, juegue Paloma);

 El Jugador 2 deberá jugar Paloma (jugará 𝑞 = 1) siempre que J1 juegue 𝑝 < 3/4 (i.e., siempre que J1, juegue Halcón);

 El Jugador 2 será indiferente respecto de sus estrategias puras y de cualquier combinación lineal de ellas, siempre que 𝑝 = 3/4

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Teorema: Equilibrio de Nash (Existencia)

Sea el Juego Γ = [𝑁; 𝑆₁, … , 𝑆_𝑁; 𝑢₁, … , 𝑢_𝑁]. Suponga que se cumplen: i. 𝑆_𝑖 es subconjunto no vacío y compacto de ℝ𝑘

ii. 𝑢_𝑖 es continua en 𝑆 = ∏𝑁_𝑖=1𝑆_𝑖 = 𝑆₁ × 𝑆₂ × ⋯ × 𝑆_𝑁 y es estrictamente cuasicóncava en 𝑠_𝑖

Entonces, existe al menos un Equilibrio de Nash en Estrategias Puras para Γ

Demostración: Ver Fundenberg and Tirole 1992.

Corolario (Nash, 1950):

En todo juego finito Γ = [𝑁; 𝑆₁, … , 𝑆_𝑁; 𝑢₁, … , 𝑢_𝑁], existe al menos un Equilibrio de Nash en estrategias Mixtas bajo i. y ii.

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Apéndice: Teorema Punto Fijo [ Kakutani ]:

Sea 𝑋 un subconjunto compacto y convexo de ℝℓ y sea 𝑇: 𝑋 ⇉ 𝑋 una correspondencia tal que:  Para todo 𝑥 ∈ 𝑋 el conjunto 𝑇(𝑥) es no vacío y convexo

 𝑇(𝑥) es hemicontinuo superior

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Referencias

 Bauman, Y. (2009): Quantum Micro, Class Notes. Whitman College.

 Barron, E.N. (2008): Game Theory. An Introduction. Hoboken (N.J.): John Wiley.  Fundenberg, D. and J. Tirole (1992): Game Theory. Cambridge: MIT press.  Gibbons, R. (1992): Un Primer Curso de Teoría de Juegos. Barcelona: Antoni Bosch.

 Jehle, G. and P.J. Reny (2001): Advanced Microeconomic Theory. N.Y.: Addison-Wesley.  Lancaster, K. (2011): Mathematical Economics. N.Y.(N.Y.): Dover.

 Manrique, O., E. Villa, G. Junca y S. Monsalve (1999): Competencia Imperfecta I: Equilibrio de Nash en Juegos

Estaticos. Capítulo IV En: Monsalve, S. [ed.] (1999): Introducción a los Conceptos de Equilibrio en Economía.

Bogotá: Universidad Nacional de Colombia.

 Mas-Colell, A., M.D. Whinton and J.R.Green (1985): Microeconomic Theory. Oxford: Oxford University Press.

 Monsalve, S. [ed.] (1999): Introducción a los Conceptos de Equilibrio en Economía. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia.

 Monsalve, S. y J. Arévalo [eds.] (2005): Un Curso de Teoría de Juegos Clásica. Bogotá: Universidad Externado de Colombia.

 Montet, C. and D. Serra (2003): Game Theory & Economics. N.Y. (N.Y.): Palgrave.

 Nash, John (1950): Equilibrium points in n-person games. Proceedings of the National Academy of Sciences 36(1):48-49.

 Nash, John (1951): Non-Cooperative Games. The Annals of Mathematics 54(2):286-295.  Takayama, A. (1985): Mathematical Economics. Cambridge: Cambridge University Press.  Varian, H. (1993): Microeconomic Analysis. N.Y.: Norton & Co.

In document Subjective psychosocial experiences of South African breast cancer patients receiving diagnosis and treatment (Page 113-131)