5 Results
5.1.2 Phenotypic evaluation of wheat seedling responses to root rot
5.1.2.1 Evaluation of reductions in root biomass, root and shoot length
En esta secci´on vamos a estudiar con m´as detenimiento el monomorfismo del teorema 3.49 o, equivalentemente, la inclusi´on R0
k(G)⇢R0K(G). En principio,
sabemos que cada car´acter irreducible deGsobrekse expresa como combinaci´on lineal (con coeficientes naturales) de ciertos caracteres irreducibles deGsobreK. Vamos a ver qu´e podemos decir de estos caracteres y de los coeficientes de la combinaci´on. La situaci´on para cuerpos de caracter´ıstica prima es bastante m´as simple que en el caso de cuerpos de caracter´ıstica cero, y ello es consecuencia del teorema siguiente:
Teorema 3.58 Sea G un grupo finito, K/k una extensi´on de cuerpos de ca- racter´ıstica prima y⇢:G !Aut(V) una representaci´on lineal absolutamente
irreducible de G sobre K cuyo car´acter asociado tome valores en k. Entonces
V =WK, para ciertok[G]-m´odulo absolutamente simpleW.
Demostraci´on: Consideramos en primer lugar el caso en queK es finito. Razonando por inducci´on sobre el cardinal de K, no perdemos generalidad si suponemos que no hay cuerpos intermedios entrekyK.
Fijemos una representaci´on matricial ⇢ : K[G] ! Matm(K). Por el teo-
rema 3.36 sabemos que⇢es suprayectiva. LlamemosA⇢Matm(K) alk-espacio
vectorial generado por⇢[G], que claramente es una k-sub´algebra del anillo de matrices. Consideremos su centroZ(A).
Una matriza2Z(A) conmuta con todas las matrices de⇢[G], luego tambi´en conmuta con todas las matrices de⇢[K[G]], luegoa2Z(Matm(K)) =K(donde
identificamos a K con el espacio de matrices escalares). As´ı pues, tenemos que k ⇢ Z(A) ⇢ K. Es claro que Z(A) es un cuerpo (por ejemplo, porque es la adjunci´on a k de elementos algebraicos), luego, por la hip´otesis de que
3.6. Extensiones de coeficientes 107
la extensi´on K/k no tiene cuerpos intermedios, ha de ser Z(A) = k o bien
Z(A) =K. Vamos a descartar esta segunda posibilidad.
Si Z(A) = K, entonces A contendr´ıa al K-espacio vectorial generado por
⇢[G], es decir, ser´ıa A = ⇢[K[G]] = Matm(K). En particular, si ↵ 2 K\k,
podr´ıamos tomar una matriz en A de traza igual a ↵, pero, por otra parte, como las trazas de las matrices de⇢[G] est´an todas enk, lo mismo sucede con las trazas de las matrices deA, y tenemos una contradicci´on.
As´ı pues, tenemos que Z(A) =k. Ahora demostraremos que Aes semisim- ple, para lo cual basta probar queJ(A) = 0 y a su vez, basta probar queA no tiene ideales nilpotentes no nulos. SiIes un ideal nilpotente deA, entoncesKI
es un ideal nilpotente de KA =⇢[K[G]] = Matm(K), luegoKI = 0, porque
los anillos de matrices son semisimples (teorema 3.17). As´ı pues,I= 0 yA es semisimple.
Podemos considerar entonces la descomposici´on deA dada por el teorema de Wedderburn 3.16, donde cadaAi⇠= Matni(D
op
i ) ha de contener en su centro
un k-subespacio vectorial isomorfo a k (pues Di = EndA(Vi) contiene a k en
su centro, identificado con el espacio de las homotecias en Vi). Puesto que
dimkZ(A) = 1, la descomposici´on deA s´olo puede tener un sumando, es decir,
que A ⇠= Matn(Dop), dondeD = EndA(W), para cierto A-m´odulo simpleW
finitamente generado. Como W tiene dimensi´on finita sobrek, es un conjunto finito, luegoD tambi´en es finito, y todo anillo de divisi´on finito es un cuerpo.7
Por consiguiente,D=Z(Matn(D)) =Z(A) =k. Como EndA(W) =D=k, el
teorema 3.34 nos da queW es unA-m´odulo absolutamente simple.
El epimorfismo naturalk[G] !Aconvierte aW en unk[G]-m´odulo simple, que, de hecho, es absolutamente simple, pues Endk[G](W) = EndA(W) =k. Nos
falta probar queV ⇠=WK.
Por la observaci´on tras el teorema 3.39, existe unk[G]-m´odulo simpleM tal que V es un factor de composici´on de MK. Basta probar que M ⇠= W, pues
entonces V ser´a un factor de composici´on de WK, que es simple, luego ser´a
V ⇠=WK.
Si no se diera el isomorfismoM ⇠=W, el teorema 3.37 nos da uny 2k[G] que anula aM pero no anula a W. Como V es un factor de composici´on de
MK, es claro quey tambi´en anula aV, pero esto significa que la imagen de y
por el epimorfismok[G] !A (inducido por la representaci´on matricial de V) es nula, luegoy tambi´en anula aW, ya que el producto dey por los elementos de W se define a trav´es de su imagen en A. Esta contradicci´on prueba que
V ⇠=WK y el teorema est´a demostrado en el caso en que el cuerpoK es finito.
Para el caso general, observamos que no perdemos generalidad si sustituimos el cuerpo K por una extensi´on. (Hemos de probar que una representaci´on matricial sobreK con trazas en k es isomorfa a una representaci´on matricial sobre k.) As´ı pues, podemos suponer que K es algebraicamente cerrado. Sea
F el cuerpo primo de K, sea F ⇢ K la clausura algebraica de F. Sabemos que es un cuerpo de escisi´on de G. El teorema 3.40 nos asegura la existencia de un subcuerpo finitoL de K que es tambi´en un cuerpo de escisi´on para G. (Basta tomar un sistema de representantes de las representaciones matriciales
irreducibles deGsobreF y adjuntar a F los coeficientes de todas las matrices im´agenes de los elementos deG, que son un n´umero finito. De este modo, todo
F[G]-m´odulo simple est´a inducido por unL[G]-m´odulo simple.)
Como L es un cuerpo de escisi´on de G, tenemos que V =MK, para cierto
L[G]-m´odulo simpleM. Como M yV tienen el mismo car´acter, tenemos que ´este toma valores en L\k. Por la parte ya probada, M = NL, para cierto
(L\k)[G]-m´odulo simple N. Entonces V = MK = NK = (Nk)K. El k[G]-
m´odulo W = Nk cumple lo pedido. (El hecho de que V sea absolutamente
simple y V =WK implica queW tambi´en es absolutamente simple.)
Para extraer la principal consecuencia del teorema anterior conviene dar la definici´on siguiente:
Definici´on 3.59 SeaGun grupo finito y msu exponente, es decir, el m´ınimo com´un m´ultiplo de los ´ordenes de los elementos deG. Diremos que un cuerpo es suficientemente grandeparaGsi contiene todas las ra´ıcesm-simas de la unidad.
Teorema 3.60 Si K es un cuerpo suficientemente grande para un grupo fi- nitoG, entonces es un cuerpo de escisi´on para G.
Demostraci´on: SiKtiene caracter´ıstica 0 yk⇢Kes la adjunci´on aQde las ra´ıcesm-simas de la unidad (dondemes el exponente deG), el teorema 2.62 nos da quek es un cuerpo de escisi´on deG, luegoK tambi´en lo es.
Supongamos ahora que K tiene caracter´ıstica prima y sea K su clausura algebraica (que es un cuerpo de escisi´on deG). El teorema 3.53 nos da que los valores que toman los caracteres de G sobre K son sumas de ra´ıces m-simas de la unidad, luego todos ellos toman valores enK. Por el teorema 3.58, todo
K[G]-m´odulo simple es de la formaVK, para ciertoK[G]-m´odulo absolutamente simpleV. El teorema 3.40 implica queK es un cuerpo de escisi´on deG.
Notemos que la prueba del teorema anterior es completamente distinta para cuerpos de caracter´ıstica 0 y para cuerpos de caracter´ıstica prima, pues en el primer caso se basa en el teorema de Brauer sobre caracteres inducidos y en el segundo en el teorema 3.58.
Entre otras cosas, hemos de probar que los caracteres que aparecen en la descomposici´on de un car´acter irreducible tras una extensi´on de coeficientes forman una clase de conjugaci´on en el sentido que vamos a definir a continuaci´on.
Definici´on 3.61 Sea Gun grupo finito, K un cuerpo y ⇢ : G ! LG(n, K) una representaci´on matricial deG sobreK. Cada automorfismo⌧ : K !K
induce un automorfismo de grupos ¯⌧ : LG(n, K) ! LG(n, K). Llamaremos
⇢⌧=⇢ ⌧¯, que es claramente una representaci´on matricial deGsobreK.
Es inmediato comprobar que si ⇢2 y ⇢2 son representaciones matriciales
isomorfas, entonces⇢⌧
1 y⇢⌧2 tambi´en son isomorfas, por lo que, siV es unK[G]-
m´odulo finitamente generado, podemos llamar V⌧ al K[G]-m´odulo asociado
a cualquier representaci´on matricial ⇢⌧, donde ⇢ es cualquier representaci´on
3.6. Extensiones de coeficientes 109
Si f : G !K es una funci´on cualquiera, podemos definirf⌧ : G ! K
como la funci´on dada porf⌧( ) =⌧(f( )). En estos t´erminos, si una represen-
taci´on matricial⇢tiene car´acter , es claro que⇢⌧ tiene car´acter ⌧.
Teorema 3.62 Sea G un grupo finito, K un cuerpo de escisi´on de G y sea
: G ! k un car´acter (irreducible) de G sobre K que tome valores en un
subcuerpok ⇢K. Si⌧ :k !k es un automorfismo, entonces ⌧ es tambi´en
un car´acter (irreducible) deGsobre K.
Demostraci´on: SeaKla clausura algebraica deKy seak⇢Kla clausura algebraica dek. El teorema 3.49 implica que los caracteres irreducibles de G
sobre K son los mismos que los caracteres irreducibles de Gsobre K y ´estos, a su vez, son los mismos que los caracteres irreducibles deGsobrek. Por otra parte, ⌧ se extiende a un automorfismo de k. Por consiguiente, viendo a como car´acter de una representaci´on irreducible⇢ deG sobre k, tenemos que
⌧ es el car´acter de⇢⌧ y, claramente, es tambi´en irreducible. Por lo tanto, ⌧
es tambi´en el car´acter de una representaci´on irreducible deGsobre K. Como todo car´acter es suma de caracteres irreducibles, el conjugado de un car´acter arbitrario es tambi´en un car´acter.
Definici´on 3.63 Sea K/k una extensi´on de cuerpos. Si : G ! K es un car´acter deGsobreK, llamaremosk( ) a la adjunci´on ak de la imagen de . Por 3.60 tenemos que k( ) est´a contenido en una extensi´on ciclot´omica deK, luego la extensi´onk( )/kes finita de Galois con grupo de GaloisG =G(k( )/k) abeliano. Diremos que dos caracteres irreducibles , deGsobre K soncon-
jugadossobrek sik( ) =k( ) y existe un⌧ 2G tal que ⌧= .
Es claro que la conjugaci´on sobre k es una relaci´on de equivalencia en el conjunto de los caracteres irreducibles deGsobre K. Observemos que si es un car´acter irreducible cualquiera y⌧2G , entonces ⌧ es tambi´en un car´acter
irreducible (por el teorema 3.62) y claramente k( ) = k( ⌧), luego ⌧ es un car´acter conjugado con sobre k. Esto significa que el grupo G act´ua sobre la clase de conjugaci´on de (y determina en ella una ´unica ´orbita). Adem´as el estabilizador de es trivial, pues si ⌧= , entonces⌧ fija ak( ), luego ha de
ser⌧ = 1. El teorema 1.18 implica entonces que el n´umero de conjugados de sobrekes|G |=|k( ) :k|.
Por otra parte, vamos a necesitar el siguiente resultado t´ecnico:
Teorema 3.64 Sea K/k una extensi´on de cuerpos finita de grado n, sea V
un K[G]-m´odulo simple y sea Vk el mismo espacio V considerado como k[G]-
m´odulo.
a) Vk tiene un ´unico factor de composici´on W (con cierta multiplicidad),
que es, concretamente, el ´unicok[G]-m´odulo simple tal queWK tiene aV
como factor de composici´on.
Demostraci´on: Llamemos W al ´unico k[G]-m´odulo simple tal que WK
tiene a V como factor de composici´on. (V´ease la observaci´on tras 3.39.) El teorema 3.37 nos da un x 2 k[G] tal que la multiplicaci´on por x en W es el automorfismo identidad, mientras quexanula a cualquierk[G]-m´odulo simple no isomorfo aW.
Es claro que la multiplicaci´on por x en WK es tambi´en la identidad, y lo
mismo vale para la multiplicaci´on porxenV, ya que es un factor de composici´on deWK. Por consiguiente, la multiplicaci´on porxenVk tambi´en es la identidad,
y lo mismo vale para todos los factores de composici´on deVk, luego todos ellos
han de ser isomorfos aW. Esto prueba a)
Fijemos una K-basev1, . . . , vmdeV, y seae1, . . . , en unak-base deK. Es
claro entonces que los elementos eivj forman unak-base deVk. Dado 2 G,
seavj =P r
↵jrvr, con↵jr2K. Sea, a su vez,
ei↵jr=P s ijrs es, con ijrs2k. De este modo, eivj =P r ei↵jrvr=P s ijrs esvr. Entonces: ei ( ) =eiP j ↵jj=P j,s ijjs es.
Como ( )2k, la unicidad de las coordenadas implica que ( ) =P
j ijji
,
luego, si llamamos al car´acter deVk, tenemos que
( ) =P
ij ijji
=n ( ).
As´ı pues, =n .
Ahora ya podemos estudiar la descomposici´on de unk[G]-m´odulo tras una extensi´on de coeficientes:
Teorema 3.65 Sea G un grupo finito, sea K/k una extensi´on de cuerpos tal queK sea un cuerpo de escisi´on deG y seaV unk[G]-m´odulo simple.
a) Los factores de composici´on del K[G]-m´odulo VK tienen todos la misma
multiplicidad m.
b) Si cark6= 0, entonces m= 1.
c) Los caracteres i asociados a los factores de composici´on de VK forman
una clase de conjugaci´on sobre k. En particular, todos determinan el
3.6. Extensiones de coeficientes 111
d) Los factores de composici´on deVL tienen todos multiplicidad 1.
e) SiZ es un factor de composici´on deVL, entoncesZK tiene un ´unico factor
de composici´on, con multiplicidadm. f ) Los m´odulosVL y VK son semisimples.
Demostraci´on: SeaW un factor de composici´on deVK, sea su car´acter
y seaL=k( ). Los factores de composici´on deV son factores de composici´on de las extensiones de coeficientes de los factores de composici´on de VL, luego
podemos tomar un factor de composici´onZ deVL tal queW sea un factor de
composici´on deZK.
Veamos que W es el ´unico factor de composici´on de ZK (con cierta multi-
plicidadm). Notemos que esto implica que el car´acter deZ (que es el mismo que el deZK) esm .
Si k tiene caracter´ıstica prima, esto es consecuencia inmediata del teo- rema 3.58, pues (combinado con 3.38) nos da que W = ZK, luego en este
caso tenemos adem´as que m= 1. Supongamos ahora que cark= 0.
Sea L0/Luna extensi´on finita tal que L0 sea un cuerpo de escisi´on de G. Podemos suponer queL0yK est´an contenidos en un mismo cuerpoL0K (por ejemplo, podemos tomar una extensi´on ciclot´omica adecuada deLen la clausura algebraica de K). Como L0, K yL0K son todos cuerpos de escisi´on de G, el teorema 3.39 nos da que —–que en principio es un car´acter irreducible de
G sobre K— es tambi´en un car´acter irreducible de G sobre L0K y tambi´en
sobreL0.
Si tomamos un L0[G]-m´odulo Z0 con car´acter y lo consideramos como L[G]-m´odulo, el teorema anterior nos da que su car´acter sobre L pasa a ser
n . Entonces, Z0
K tambi´en tiene car´actern , luego tiene aW como factor de
composici´on, al igual queZK, luegoZ =Z0, por 3.38, luego el car´acter deZK es
m , y esto significa que su ´unico factor de composici´on es W, como quer´ıamos probar.
Sea G = G(L/k) y sean = 1, . . . , n los caracteres conjugados de
sobrek, donden=|L:k|=|G|. Pongamos queG={⌧1, . . . ,⌧n}, de manera que i = ⌧i. El L[G]-m´odulo Z⌧i tiene car´acterm i, luego losL[G]-m´odulosZ⌧i
son no isomorfos dos a dos, pues tienen caracteres distintos. Tambi´en es claro que losK[G]-m´odulos (Z⌧i)
K tienen cada uno un ´unico factor de composici´on
distinto, aunque siempre con multiplicidadm.
Ahora demostraremos que losL[G]-m´odulosZ⌧i son los factores de compo- sici´on de VL, y que todos ellos tienen multiplicidad 1 en VL. Con esto ser´an
inmediatas todas las afirmaciones del enunciado excepto la ´ultima.
ComoZ es un factor de composici´on deVL y (VL)⌧i =VL (porque podemos
tomar como representaci´on matricial de VL una de V, con coeficientes en k),
resulta que todos losZ⌧i son factores de composici´on deV
L. Por consiguiente,
Por otra parte, si Zk es el L[G]-m´odulo Z considerado como k[G]-m´odulo, el
teorema anterior implica queZk tiene aV como ´unico factor de composici´on,
luego
dimLVL= dimkV dimkZk=ndimLZ.
As´ı pues, se da la igualdad dimLVL =ndimLZ, de la que se sigue queVL
no puede tener m´as factores de composici´on que losnm´odulosZ⌧i, y que todos ellos han de tener multiplicidad 1.
S´olo falta probar queVLyVKson completamente reducibles, lo cual es trivial
si cark = 0. Supongamos, pues, que k tiene caracter´ıstica prima. Teniendo en cuenta la parte del teorema ya probada, es claro que Z es un factor de composici´on arbitrario deVL. Podemos tomar concretamente comoZ un factor
de composici´on que aparezca en primer lugar en una serie de composici´on de
VL, es decir, un subm´odulo simple de VL. Si fijamos una L-base de Z y la
extendemos hasta una L-base deVL, la representaci´on matricial asociada aVL
cumple, para todo 2G:
⇢VL( ) = ✓ ⇢Z( ) 0 ⇤ ⇤ ◆ . Las matrices de ⇢⌧i
VL tienen la misma estructura, con ⇢Z⌧i en el primer blo- que, lo cual se traduce en que V⌧i
L =VL tiene un L[G]-subm´odulo isomorfo a
Z⌧i. Por consiguiente, si llamamos S a la suma de un L[G]-subm´odulo simple deVLisomorfo a cadaZ⌧i, tenemos queS es unL[G]-m´odulo semisimple (teo-
rema 3.3) que tiene los mismos factores de composici´on que VL. Como ´estos
tienen multiplicidad 1 enVL, ha de serVL=S, luegoVLes semisimple.
La prueba paraVK es an´aloga: considerando aZ⌧i como subm´odulo deVL,
vemos que (Z⌧i)
K es un subm´odulo deVK (simple, por la propiedad e). Como
los factores de composici´on deVK son los (Z⌧i)K y todos tienen multiplicidad 1,
concluimos igualmente queVK es semisimple.
Definici´on 3.66 Sea G un grupo finito y K/k una extensi´on de cuerpos tal queKsea un cuerpo de escisi´on deG. SeaW unK[G]-m´odulo simple y seaV
el ´unicok[G]-m´odulo simple tal queVK tiene aW como factor de composici´on.
La multiplicidadm=mk(V) dada por el teorema anterior para elk[G]-m´odulo
V se llama´ındice de Schur de V sobre k. Si es el car´acter de W, se dice tambi´en quem=mk( ) es el´ındice de Schurde sobrek.
Hemos probado que siKtiene caracter´ıstica prima, todos losK[G]-m´odulos irreducibles (o todos los caracteres irreducibles) tienen ´ındice de Schur igual a 1 sobre cualquier subcuerpo.
Como aplicaci´on, probamos un resultado sobre radicales de Jacobson:
Teorema 3.67 Sea Gun grupo finito yK/k una extensi´on de cuerpos tal que
3.6. Extensiones de coeficientes 113
Demostraci´on: Six2J(k[G]), entoncesxanula a todos losk[G]-m´odulos simples. SiV es unK[G]-m´odulo simple, entonces existe unk[G]-m´odulo simple
W tal que V es un factor de composici´on de WK. El hecho de que x anule
a W implica que tambi´en anula a WK, y esto a su vez implica que anula a
V. Por lo tanto, x 2 J(K[G]). Como J(K[G]) es un ideal, concluimos que
KJ(k[G])⇢J(K[G]).
Por otra parte, hemos probado que las extensiones de coeficientes de los
k[G]-m´odulos simples son semisimples, luego lo mismo vale parak[G]-m´odulos semisimples. En particular, elK[G]-m´odulo (k[G]/J(k[G])⌦kKes semisimple.
Teniendo en cuenta la sucesi´on exacta
0 !J(k[G])⌦kK !K[G] !(k[G]/J(k[G])⌦kK !0,
vemos queKJ(k[G]) es un ideal deK[G] cuyo cociente es semisimple. Seg´un las observaciones posteriores a 3.25, podemos concluir que J(K[G]) ⇢KJ(k[G]).
Cap´ıtulo IV
Representaciones modulares
En este cap´ıtulo relacionaremos las representaciones de grupos finitos en cuerpos de caracter´ıstica 0 con las representaciones en cuerpos de caracter´ıstica prima p a trav´es de los cuerpos locales, es decir, las extensiones finitas K de los cuerpos de n´umerosp-´adicos Qp, de modo que podemos considerar las re-
presentaciones sobre el propioK, que es un cuerpo de caracter´ıstica 0, y sobre su cuerpo de restos, que es un cuerpo de caracter´ıstica prima. Dedicamos la primera secci´on a presentar una variante de los anillos de GrothendieckRk(G)
que ser´a m´as adecuada para tratar el caso en que la caracter´ıstica del cuerpo divide al orden del grupo.
4.1
Representaciones proyectivas
Entre las diferencias que presenta la teor´ıa de representaciones lineales en el caso en que la caracter´ıstica del grupo no divide al orden del grupo y el caso opuesto en que s´ı que la divide —aparte del hecho fundamental de que el ´algebra
k[G] es semisimple en el primer caso y no en el segundo— cabe destacar que en el caso de las representaciones ordinarias podemos definir una forma bilineal en el anillo de caracteres virtuales o, equivalentemente, en el anillo de Grothendieck, de forma que se cumplen las relaciones de ortogonalidad.
Si intentamos trasladar esto al caso en que la caracter´ıstica del cuerpo di- vide al orden del grupo, nos encontramos, para empezar, con que no podemos dividir entre |G| para definir la forma bilineal en el anillo de caracteres vir- tuales y, si eliminamos esta divisi´on, obtenemos la forma bilineal nula. En el anillo de Grothendieck tampoco podemos definir la forma bilineal como en el teorema 3.47 porque los anillos de homomorfismos no son aditivos respecto a sucesiones exactas. No obstante, esto puede remediarse si nos restringimos a la categor´ıa dek[G]-m´odulos proyectivos:
Definici´on 4.1 Sea G un grupo finito yk un cuerpo. LlamaremosPk(G) al
grupo de Grothendieck asociado a la categor´ıa de losk[G]-m´odulos proyectivos 115
finitamente generados. Definimos
Pk+(G) ={[M]2Pk(G)|M es unk[G]-m´odulo proyectivo f.g.},
Si cark-|G|, entonces todok[G]-m´odulo finitamente generado es proyectivo, pues es suma directa dek[G]-m´odulos simples y cadak[G]-m´odulo simple es un sumando directo dek[G]. Por consiguiente, en este casoPk(G) =Rk(G).
Vamos a investigar la estructura dePk(G). Para cadak[G]-m´odulo semisim-
ple V finitamente generado, llamemosf :PV !V a su envoltura proyectiva
(definici´on 1.56). Si N es el n´ucleo def, el hecho de que f sea esencial implica que N ⇢PVJ(k[G]) (por los teoremas 3.29 y 3.30), y el hecho de que V sea
semisimple implica quePVJ(k[G])⇢N (por las observaciones tras 3.25). Por
lo tanto,N =PVJ(k[G]), luego
V ⇠=PV/PVJ(k[G]).
Vemos, pues, que dos k[G]-m´odulos semisimples son isomorfos si y s´olo si sus envolturas proyectivas son isomorfas. Por otra parte, todo k[G]-m´odulo proyectivo finitamente generadoP es la envoltura proyectiva de unk[G]-m´odulo semisimple, a saber, deV =P/P J(k[G]).
En definitiva, vemos que, a trav´es de las envolturas proyectivas, las clases de isomorf´ıa dek[G]-m´odulos semisimples se corresponden biun´ıvocamente con las clases de isomorf´ıa dek[G]-m´odulos proyectivos finitamente generados. Vea- mos ahora que los k[G]-m´odulos simples se corresponden con losk[G]-m´odulos proyectivos indescomponibles, en el sentido siguiente: