3. EVALUATION OF CONCEPTS
3.2 Evaluation Studies
3.2.2 Evaluation Study 2
Una vez introducidas las especificaciones del compresor y de la primera etapa, comienza el c´alculo. El proceso est´a dividido en el c´alculo sucesivo de las distintas etapas, de manera acumulativa, es decir, primero se dise˜nar´a la primera etapa, y una vez se alcancen los resultados deseados se pasar´a al dise˜no de la segunda, teniendo en cuenta las especifica- ciones dadas para la primera. As´ı, el diagrama representado en la Figura 4.2.1. se realiza para cada proceso de c´alculo, realiz´andose tantos procesos de c´alculo como etapas tenga el compresor. De esta manera, al llegar a la ´ultima etapa se realizar´a el c´alculo con el compresor completo, y se calcular´an tambi´en los OGV (Outlet Guide Vane).
El proceso de c´alculo est´a dividido en varias iteraciones. En cada una de ellas se consigue alcanzar un determinado par´ametro. De esta manera, el lazo m´as externo itera para alcanzar la relaci´on de compresi´on deseada, variando los coeficientes de carga de todas las etapas. Un lazo m´as interno itera para alcanzar los grados de reacci´on que se han
3. PROGRAMA DE SIMULACI ´ON DESARROLLADO
introducido por pantalla, variando los ´angulos absolutos a la entrada de cada etapa (si se ha decidido introducir los ´angulos, esta iteraci´on no se realiza, sino que los grados de reacci´on simplemente se calculan). Adem´as, dentro de cada etapa el c´alculo se divide en tres secciones: la entrada al rotor, la salida del rotor (y entrada del estator) y la salida del estator. Para estas dos ´ultimas se realiza una iteraci´on que calcula el salto de entrop´ıa en rotor y estator respectivamente, y una iteraci´on que calcula el radio medio de la secci´on. Adem´as, para el c´alculo de la secci´on de entrada al compresor es necesario iterar para conocer la velocidad axial.
Figura 3.5: Proceso de c´alculo [1]
De esta manera, despu´es de haber introducido las especificaciones, el primer paso para comenzar el dise˜no consiste en tomar un valor inicial para la iteraci´on exterior.
La relaci´on de compresi´on se itera variando el coeficiente de carga, luego el valor inicial habr´a que d´arselo a este par´ametro. El valor que se le da es el que se ha introducido por pantalla para la distribuci´on del coeficiente de carga. Para al final del c´alculo poder analizar la variaci´on de la relaci´on de compresi´on con el coeficiente de carga, se dan dos distribuciones del coeficiente de carga, de manera que una sea la introducida por pantalla, y otra un factor 1,04 multiplicado por ´esta. As´ı, el c´alculo completo se realiza dos veces, obteni´endose dos relaciones de compresi´on, que podr´an utilizarse para analizar su varia- ci´on con el coeficiente de carga.
Secci´on de entrada al compresor
Una vez se ha dado un valor inicial a esta variable, el siguiente paso consiste en el dise˜no de la secci´on de entrada al turbocompresor. Primero se calculan las propiedades termo- din´amicas en esta secci´on, ρ0(e), a0(e), h0(e), s(e), a trav´es de la presi´on y la temperatura
del aire, T0(e), P0(e), que son conocidas, mediante la funci´on estado*.
Para la iteraci´on de la velocidad axial en la secci´on de entrada se da un valor inicial de acuerdo a ca(e)= 0.6a0(e).
Una vez se ha dado este valor inicial, con ´el (y con el ´angulo de entrada que se ha tomado) se calcula la velocidad absoluta en la secci´on de entrada:
c(e) =
ca(e)
cos α(e)
(3.2) Con esta velocidad absoluta se calculan las propiedades est´aticas del aire en esta secci´on:
h(e)= h0(e)−
c(e)2
2 (3.3)
Con los valores de s(e) y h(e) y mediante la funci´on de estado obtenemos el valor de ρ(e).
En este momento se ha obtenido la densidad, por lo que es posible calcular, con la velocidad axial que se ha tomado como valor inicial, el ´area de paso del fluido:
A(e)=
˙ m ca(e)ρ(e)BLQ
(3.4) Con el ´area y la relaci´on de cubo en la secci´on de entrada (introducida por pantalla) se pueden calcular el radio exterior, interior y medio en esta secci´on. El radio medio que se utiliza es una media cuadr´atica, ya que lo que se pretende calcular es el radio en el que el ´
area sea media:
A(e)= π(rext(e)2 − rint(e)2) (3.5)
rRM S(e) =
s r2
ext(e)+ rint(e)2
2 (3.6)
Al haber obtenido el radio medio, es posible calcular la velocidad perif´erica en la secci´on: u(e)= uRM S(e) =
2rRM S(e)πn
60 (3.7)
Debido a que se conoce el coeficiente de flujo en la secci´on de entrada, y se ha obtenido la velocidad perif´erica, se puede calcular una nueva velocidad axial en dicha secci´on:
3. PROGRAMA DE SIMULACI ´ON DESARROLLADO
Este valor de la velocidad axial se compara con el valor que se ten´ıa anteriormente, y si no son iguales, se repite el proceso con el nuevo valor de la velocidad axial. Una vez los valores sean iguales, se ha obtenido la velocidad axial en la secci´on de entrada, y se procede con el dise˜no de dicha secci´on, calcul´andose los n´umeros de Mach en el radio medio y exterior (es el mayor n´umero de Mach en la secci´on), y el valor definitivo que toma el ´area. M(e) = c(e) a(e) (3.9) Mext(e) = cext(e) a(e)
= ca(e)cos α(e) a(e) (3.10) A(e)= ˙ m ca(e)ρ(e)BLQ (3.11)
Etapas: secci´on de entrada al rotor
Una vez se ha dise˜nado la secci´on de entrada, comienza la iteraci´on para el grado de reacci´on. El primer paso consiste en dar un valor inicial a los ´angulos absolutos de en- trada a cada etapa, de los que depender´a el grado de reacci´on. El valor inicial que se va a dar a estos ´angulos es de 15o. En el caso de que el proceso de c´alculo elegido fuese
en el que se fijan los ´angulos, el grado de reacci´on ser´ıa calculado directamente, no iterado. El dise˜no de las etapas comienza con la primera etapa. El proceso que se va a describir a continuaci´on es gen´erico para todas las etapas, con algunas salvedades. La principal es que para la primera etapa, las condiciones de la secci´on 1 son las mismas que para la entrada del compresor. En cambio, para el resto de etapas, las condiciones en dicha secci´on son las condiciones en la secci´on de salida de la etapa anterior. De esta manera, en el caso de la primera etapa, el radio medio de la secci´on, la velocidad absoluta y el ´angulo de entrada toman los valores calculados en el apartado anterior:
rRM S1(i) = rRM S3(i−1) (3.12)
ca1(i) = ca3(i−1) (3.13)
α1(i) = α3(i−1) (3.14)
De la misma manera, las propiedades termodin´amicas totales (de parada) en la secci´on 1 de cada etapa dependen, en el caso de la primera etapa, de las condiciones en la entrada, y en el caso del resto de etapas, de las condiciones a la salida de la etapa anterior. De esta forma, en el caso de la primera etapa, la presi´on y la temperatura son conocidas, y se puede conocer la entalp´ıa de parada y la entrop´ıa haciendo uso de la ecuaci´on de estado. Para etapas intermedias:
P01(i) = P03(i−1) (3.15)
T01(i) = T03(i−1) (3.16)
s1(i) = s3(i−1) (3.18)
A partir de este momento, y por simplificar la notaci´on, no se indicar´a el n´umero de etapa, ya que el c´alculo es igual para todas las etapas, salvo cuando se indique lo contrario. Una vez se tienen los valores geom´etricos, se puede calcular tambi´en la velocidad perif´erica, determinada por la velocidad del giro del eje y el radio medio de la secci´on.
u1 =
2rRM S1πn
60 (3.19)
Una vez se ha obtenido la velocidad perif´erica, se puede realizar el c´alculo del tri´angulo de velocidades en esta secci´on:
cθ1 = ca1tan α1 (3.20) wθ1 = u1− cθ1 (3.21) β1 = arctan wθ1 ca1 (3.22) c1 = ca1 cos α1 (3.23) w1 = ca1 cos β1 (3.24) Conocido el tri´angulo de velocidades, se pueden determinar las propiedades est´aticas en la secci´on 1, ya que es conocida la velocidad absoluta:
h1 = h01−
c21
2 (3.25)
De manera que con h1 , s1 y con la funci´on de estado calculamos P1, T1, Cp1, v1, a1,
ρ1 y Υ1. Adem´as se determinan los n´umeros de Mach de la secci´on as´ı como todas las
propiedades relativas haciendo uso de la funci´on de estado una vez conocida h01r y s1.
Mw1 = w1 a1 (3.26) Mca1 = ca1 a1 (3.27) h01r = h1+ w21 2 (3.28)
Definidas dichas propiedades podemos calcular la rotalp´ıa, que se utiliza para el c´alculo de la secci´on de salida del rotor porque se mantiene constante a lo largo de ´el.
I = h1+
w12 2 −
u21
3. PROGRAMA DE SIMULACI ´ON DESARROLLADO
Y con las propiedades termodin´amicas de la secci´on: A1 =
˙ m ca1ρ1BLQ
(3.30) Los radios interior, medio y exterior depender´an del tipo de compresor seleccionado:
Radio/di´ametro medio constante:
rRM S1(i) = rRM S(cte) rint1 = r rRM S12− A1 2π rext1= r rRM S12 + A1 2π Radio/di´ametro interior constante:
rint(i) = rint(cte)
rRM S1 = r rint12+ A1 2π rext1= r rRM S12 + A1 2π Radio/di´ametro exterior constente:
rext(i) = rext(cte)
rRM S1= r rext12− A1 2π rint1 = r rRM S12− A1 2π
Una vez se conocen los radios, se puede determinar la altura y la cuerda de los ´alabes en la secci´on 1, que posteriormente se utilizar´an para determinar su geometr´ıa:
Altura1 = rext1− rint1 (3.31)
Cuerda1 =
Altura1
(Altura Cuerda)rotor
(3.32)
Etapas: secci´on de salida del rotor y entrada al estator
El siguiente paso en el dise˜no consiste en el c´alculo de la secci´on 2, que es la secci´on de salida del rotor (y de entrada al estator). A lo largo del rotor se producen unas p´erdidas
que habr´a que determinar para el c´alculo del aumento de entrop´ıa que se produce. Por lo tanto, se realiza una iteraci´on exterior que determina dicho aumento de entrop´ıa. Por otro lado, el radio medio en la secci´on tambi´en es diferente al de la secci´on 1 (salvo que el compresor sea de di´ametro medio constante, en cuyo caso la iteraci´on converge en un ´
unico paso). Para el c´alculo del nuevo di´ametro medio se realiza otra iteraci´on.
Por lo tanto, para esta parte del dise˜no hay que dar valor inicial a las variables que van a ser iteradas. Para el aumento de entrop´ıa se toma el valor del aumento de entrop´ıa en el rotor de la etapa anterior (en el caso de la primera etapa, se da un valor inicial de 5 J/kgK, como ejemplo de aumento de entrop´ıa, aunque cualquier valor que no fuese demasiado lejano al resultado final, har´ıa que la iteraci´on convergiese r´apidamente):
∆s21(i) = ∆s21(i−1)
rRM S2 = rRM S1
ca2= ca1RV Arotor
Para el c´alculo del resto del tri´angulo de velocidades de esta secci´on se utiliza el coeficiente de carga, que se ha supuesto para la iteraci´on exterior de la relaci´on de compresi´on, y calculando u2 de la misma forma que u1:
cθ2= Ψu2+ rRM S1 rRM S2 cθ1 (3.33) wθ2 = u2− cθ2 (3.34) c2 = p cθ22+ ca22 (3.35) w2 = p wθ22+ ca22 (3.36) α2 = arctan cθ2 ca2 (3.37) β2 = arctan wθ2 ca2 (3.38) Con el tri´angulo de velocidades determinado, se puede calcular el n´umero de Haller en el rotor, que relaciona las velocidades relativas de entrada y salida a ´este, y que ser´a necesario en el resto del dise˜no de la secci´on:
dHrotor=
w2
w1
(3.39) Como ya se ha calculado el tri´angulo de velocidades, y debido a que en el rotor se conserva la rotalp´ıa, I2 = I1, a partir de dicha propiedad se puede calcular la entalp´ıa en la secci´on:
h2 = I2−
w22 2 +
u22
2 (3.40)
3. PROGRAMA DE SIMULACI ´ON DESARROLLADO
la entrop´ıa en la secci´on: s2 = ∆s21+ s1. Por tanto, conocidas la entalp´ıa y entrop´ıa
en la secci´on 2, calculamos el resto de propiedades as´ı como los n´umeros de Mach y las propiedades tanto est´aticas como relativas al igual que hicimos en la secci´on 1.
Se calcula el ´area siguiente el mismo esquema y de la misma forma que para la secci´on 1, el valor de los radios de la secci´on 2 depende del tipo de compresor que se haya seleccionado. De esta forma, si el compresor que se ha elegido es de di´ametro medio constante, el valor de dicho radio es el mismo que el de la secci´on anterior y la iteraci´on converge en un ´unico paso.
En el caso de que el compresor sea de di´ametro interior/exterior constante, el radio inte- rior/exterior es el que se mantiene, y el c´alculo del nuevo valor del radio medio para la iteraci´on se calcula a trav´es de ´este.
Una vez se ha determinado el nuevo valor del radio medio para la iteraci´on, ´este se com- para con el valor inicial del paso iterativo, y si no coinciden, se toma el nuevo valor y se repite el proceso. Una vez coincidan, la iteraci´on converge y se puede proceder con el c´alculo de la secci´on 2.
Con los radios determinados, se pueden calcular la altura y la cuerda de los ´alabes:
Altura2 = rext2− rint2 (3.41)
Cuerda2 =
Altura2
(CuerdaAltura)rotor (3.42) Una vez se han determinado las propiedades geom´etricas en las secciones de entrada y salida del rotor, se puede calcular la geometr´ıa media en el rotor.
rRM Srotor rRM S1+ rRM S2 2 (3.43) rintrotor rint1+ rint2 2 (3.44) rextrotor rext1+ rext2 2 (3.45) (rint rext ) rotor = rintrotor rextrotor (3.46) Alturarotor = rextrotor − rintrotor (3.47)
Cuerdarotor=
Alturarotor
(CuerdaAltura)rotor (3.48)
Rerotor=
w1Cuerdarotor
v1
Para el c´alculo de las p´erdidas en el rotor hay que determinar antes la relaci´on de difusi´on, y para ello hay que calcular antes la relaci´on paso-cuerda (inversa de la solidez) en el rotor. Para ello, como se ha comentado anteriormente, existen varias opciones:
La primera de ellas consiste en la introducci´on directa de la relaci´on paso-cuerda por pantalla.
Otra opci´on es la introducci´on del factor de difusi´on, a trav´es del cual puede calcularse dicha relaci´on paso-cuerda.
(S
C)rotor = [DFrotor− 1 + dHrotor] w1
rRM S1+ rRM S2
rRM S1wθ1− rRM S2wθ2
(3.50)
M´etodo de Hearsey: Realiza una iteraci´on para calcular el factor de difusi´on ´
optimo, que minimiza las p´erdidas en el rotor. Se basa, ´unicamente en las p´erdidas en el perfil, y desprecia por lo tanto la posibilidad de entrada en p´erdidas. Utiliza una correlaci´on de p´erdidas expl´ıcita que es la que se recoge en la siguiente expresi´on : ω cos β2 2σ ( cos β2 cos β1 ) 2 = 0, 004ε6,1677763DF1,436794 (3.51)
A trav´es de esta correlaci´on, determina una solidez ´optima, que minimiza el factor de p´erdidas
σopt=
8, 861805 |rRM S1wθ1− rRM S2wθ2|
w1(rRM S1+ rRM S2)
DFopt0,436794 (3.52)
Donde DFopt es el factor de difusi´on calculado usando σopt , de ah´ı que sea necesaria
otra iteraci´on:
DFopt0 = [1 − dHrotor] +
|rRM S1wθ1− rRM S2wθ2|
w1(rRM S1+ rRM S2)σopt
(3.53) Una vez determinada la solidez ´optima, la relaci´on paso-cuerda se calcula como su inversa.
M´etodo de McKenzie: Este m´etodo realiza un c´alculo directo de la relaci´on paso- cuerda, mediante la siguiente correlaci´on:
Cp1 = [1 − dHrotor] (3.54)
(S C)rotor
= 9(0, 0567 − Cp1) (3.55)
Una vez se ha calculado la relaci´on paso-cuerda, puede determinarse la relaci´on de difusi´on, que se utilizar´a para el c´alculo de las p´erdidas. ´Esta relaciona la velocidad m´axima en la
3. PROGRAMA DE SIMULACI ´ON DESARROLLADO
cara de succi´on del ´alabe con la velocidad en el borde de salida: DR = Wmax
w2
(3.56) Lieblein define una correlaci´on para el c´alculo del factor de difusi´on y de la relaci´on de difusi´on equivalente: DFlbl = 1 − dHrotor+ |Γ| 2 (3.57) DReq0lbl = 1 dHrotor [1, 12 + 0, 61 S C rotor
cos2β1(tan β1− tan β2)] (3.58)
Γ = (rRM S1wθ1− rRM S2wθ2)2 S C rotor w1(rRM S1+ rRM S2) (3.59) Una vez se ha calculado la relaci´on de difusi´on equivalente, se pueden determinar los coeficientes de p´erdidas. Se han tenido en cuenta dos tipos de p´erdidas:
P´erdidas en los perfiles: Son p´erdidas debidas al crecimiento de la capa l´ımite en los perfiles de los ´alabes. Para su c´alculo se ha utilizado la correlaci´on 3.58, basada en la relaci´on de difusi´on equivalente, y en el n´umero de Mach:
Figura 3.6: Par´ametro de p´erdidas en los perfiles en funci´on de la relaci´on de difusi´on equivalente y el n´umero de Mach [5]
Se realiza una interpolaci´on en la correlaci´on representada en la Figura 3.6, con el n´umero de Mach relativo en la entrada del rotor, y la relaci´on de difusi´on equivalente calculada para obtener as´ı el par´ametro de p´erdidas en los perfiles ωp.
P´erdidas anulares: Se trata de las p´erdidas por el juego que existe entre el borde de los ´alabes y la carcasa (o el rotor, si se est´a calculando para el estator) [8].Seg´un Howell para el caso del estator se pueden calcular de la forma:
ωa = CDaσ
cos2α2
cos3α m
CDa= 0, 02 s H (3.61) tan αm = tan α3+ tan α2 2 (3.62)
Y para el caso del rotor simplemente α2 y α3 ser´an sustituidos por β1 y β2 respec-
tivamente.
P´erdidas secundarias: debidas al flujo secundario formado por la diferente rota- ci´on de los flujos en las capas limite a la entrada y a la salida [8]. ´Estas se calculan seg´un la correlaci´on de Howell de la forma:
ωs = CDsσ cos2α2 cos3α m (3.63) CDs= 0, 018CL2 (3.64) CL= 2 1
σ(tan α2− tan α3) cos αm (3.65) Adem´as de los coeficientes de p´erdidas calculados anteriormente, el salto de entrop´ıa que se produce debido a las p´erdidas depende del n´umero de Reynolds, sobre todo cuando se tienen n´umeros de Reynolds bajos. Para modelar esta influencia, se modifica la suma de los coeficientes de p´erdidas anteriores mediante un factor, que depende del n´umero de Reynolds: Rerotor>106; KRe= 1 106 > Re rotor>105; KRe= 13, 8Re−0,19 106 > Rerotor; KRe= 489, 8Re0,5 ωrotor = (ωp+ ωa+ ωs)KRe (3.66)
Una vez se han calculado el coeficiente de p´erdidas en el rotor, se puede calcular el salto de presi´on:
ωrotor =
∆P21
P01r − P1
(3.67) Y con ´el, el nuevo salto de entrop´ıa:
∆s021 = −R ln (1 − ∆P21 P01
) (3.68)
Se compara el nuevo salto de entrop´ıa con el valor que se ten´ıa del paso anterior, y si no coinciden, se repite el proceso con el nuevo valor. En el momento en que coincidan, la iteraci´on converge y se ha terminado el dise˜no de la secci´on 2.
3. PROGRAMA DE SIMULACI ´ON DESARROLLADO
Etapas: secci´on de salida del estator
El dise˜no de la secci´on 3 (salida del estator), es similar al de la secci´on 2. La principal diferencia consiste en que, debido a que el estator no tiene velocidad de giro, todas las propiedades y correlaciones se calculan utilizando las velocidades absolutas (c) en lugar de las relativas (w), y los ´angulos absolutos (α) en lugar de los relativos (β ). De esta forma, los tri´angulos de velocidades no tienen componente relativa. Es por eso por lo que no se utilizan tri´angulos de velocidades para el estator, sino que la etapa queda definida por los del rotor.
En cuanto al proceso de dise˜no en el estator, hay que calcular las mismas propiedades que en el rotor, de manera que el proceso tiene las mismas iteraciones (salto de entrop´ıa y radio medio). El valor inicial para la iteraci´on del salto de entrop´ıa es el salto de entrop´ıa en el rotor de la misma etapa, y para el radio medio es el radio medio a la entrada del estator. De igual forma que para el rotor, si se trata de un compresor con di´ametro medio constante, la iteraci´on para el radio medio acabar´a en un ´unico paso.
El c´alculo de la secci´on 3 comienza con el c´alculo del tri´angulo de velocidades, y del n´umero de Haller. De igual forma que en el rotor se conservaba la rotalp´ıa, en el caso del estator la propiedad que se conserva es la entalp´ıa de parada, ya que no hay rotaci´on. Debido a esta caracter´ıstica del estator, se pueden calcular las propiedades totales y las propiedades est´aticas en la secci´on 3 del mismo modo que se han calculado en el apartado anterior.
Una vez determinadas las propiedades est´aticas, ´area de la secci´on y radios, cuerda y altura del ´alabe, se calculan las propiedades medias del estator de forma an´aloga al rotor.