EVENT STUDY ANALYSIS AND UNIT ROOT TEST

Teniendo en cuenta las consideraciones comentadas en el apartado 3.1, implementando un holograma sobre un SLM, modulador espacial de luz, donde su período espacial puede ser modificado en en tiempo real, obtenemos una red de difracción programable. La relación entre el holograma y su Transformada de Fourier (F.T.), [Kashnow 73], es:

Holograma  F.T.  Patron de difracción Patrón de difracción F.T.-1 Holograma

Para poner en práctica esta implementación, los hologramas se calculan usando un programa para ordenador basado en una variación del algoritmo de simulación para optimización, “annealing”, extensamente adoptado [Dames 91], [Broomfield 92], cuya función de peso para reducir al mínimo el error de cálculo es:



donde Ii2 es la intensidad del “spot” calculada para el order de difracción i; Ai2 es su

intensidad y A2 es el promedio de la intensidad de los spots de la difracción; t es la temperatura del proceso.

Hay tres pasos que hay que seguir en un proceso de diseño de CGHs:

Definición del objetivo: el objetivo es el patrón de difracción que se obtiene por el SLM, dependiendo del empleo, como filtro, conmutador, u otros usos; este objetivo es por lo general un conjunto o una matriz de “spots” que constituye una entrada para el programa.

Cálculo de la Transformada de Fourier: el programa calcula la inversa de la Transformada de Fourier (F.T.)-1 del objetivo. El algoritmo de optimización compara la FT del holograma con el objetivo definido. Los “pixels” del holograma se varian entre la amplitud de valores 0, 1 (ó la fase 0, π) para optimizar una función de error (3.26), mediante la diferencia entre el objetivo deseado en el plano de Fourier y la reconstrucción realizada en cada estado del holograma, mejorando la eficiencia en cada cálculo (eficiencia definida como: η = Σ intensidad de luz en el orden m difractada / luz incidente total).

Implementación del holograma: usando un sustrato óptico, por ejemplo, una película fotográfica o un SLM como el caso de diseño de los dispositivos holográficos.

Mediante el programa de generación de hologramas HOLOMASTER®, [Holomaster 97], el holograma diseñado para estas aplicaciones es un patrón de barras blanco y negro que se implementa en un Modulador Espacial de Luz, donde existen sólo dos estados posibles: "1" para blanco (transparencia total o cambio de fase π) "y 0" para negro (oscuridad total o cambio de fase 0). La Fig. 3.23 muestra el objetivo de difracción original (a), que es una serie de “spots” con intensidades diferentes de luz no uniforme, y tres hologramas consecutivos (b, c, d), calculados por el programa, que realiza la Transformada de Fourier inversa del objetivo, según la eficiencia η del algoritmo. Se parte de una eficiencia del 45 % para llegar a una cercana al 90 %, que es prácticamente el mejor resultado en el proceso de optimización.

a) Diffraction b) η= 45% eff hologram

Fig. 3.23 Proceso de cálculo del holograma de acuerdo con la eficiencia η del algoritmo. a) objetivo de difracción; b), c) y d) hologramas calculados para η = 45%, 70% y 90%,

respectivamente [Martin 07b]

Durante el cálculo del holograma original, el programa puede encontrar diferentes hologramas que se adapten al objetivo de la difracción. Para evitar esto, es posible cambiar, dinámicamente, las condiciones iniciales (el objetivo de difracción original, la eficiencia, los parámetros del proceso de optimización,...), para modificar la dirección en el proceso de optimización que permite al algoritmo escaparse de mínimos locales y alcance el holograma correcto.

Los cálculos del programa son muy sensibles a la distribución geométrica del objetivo de difracción original. Una desalineación muy ligera sobre él (se toman como coordenadas del centro geométrico x = 0, y = 0) puede producir un holograma completamente diferente del correcto. Se muestra este efecto en la Fig. 3.24 cuando el conjunto original de “spots”, a), se ha cambiado un 30 % de la distancia entre “spots”, δ, a lo largo del eje vertical “y”; b) es el patrón de difracción original; c) es el objetivo calculado, que es un conjunto de “spots” "duplicados" "y desplazados", en vez de uno singular, dando lugar a d), que es un holograma completamente diferente del original.

Para evitar pequeñas desalineaciones, a lo largo del eje “x” del “array” de fibras de salida, que tienen un impacto en la eficiencia del cálculo, podemos optimizar el modelo de holograma, introduciendo un “offset” en la posición de barras para corregirlas. Un “offset” del 5 % del período del holograma podría impactar en la eficacia hasta el 40 % [Crossland 00].

a) Original diffraction target for hologram calculations

y x δ (0,0) m = 0 m = +1 m = +2 m = -1 m = -2 100% 75% 60% m = -3 m = -4 m = +3 m = +4 50% 20% 75% 60% 50% 20%

Fig. 3.24 a) “Zoom” del objetivo de difracción original, b) objetivo de difracción original desplazado sobre el eje “y”, c) objetivo de difracción calculado y d) holograma obtenido

[Martin 07b]

En la Fig. 3.25 se muestran los hologramas calculados por el programa “Holomaster 2” para diferentes tipos de patrones (objetivos) de difracción: a) holograma compuesto, b) holograma de barras verticales y c) holograma de barras horizontales.

Original difraction targets

Calculated difraction targets (Holomaster 2)

Calculated Holograms (70% eff)

a) b) c)

Fig. 3.25 Diferentes tipos de hologramas: a ) de cuadros, b) de barras verticales y c) de barras horizontales

Finalmente, en la Fig. 3.26 se muestra la relación entre los parámetros del SLM, N, número de pixels, D, tamaño del pixel y los parámetros del holograma, H, periodo, n, número de pares de barras.

x y H N.D N.D unit cell

SLM Black/white bars hologram

N: number of SLM pixels (on one axis) D: pixel size

H: SLM spatial period = N.D/n n: number of black/white bars pairs

pixel

Fig. 3.26 Relación entre los parámetros físicos del SLM, N,D y los parámetros del holograma, H,n

A continuación se va a explicar brevemente las características de un SLM, donde se implementan los hologramas, y de su control asociado.

3.4.2. Descripción del SLM asociado a un dispositivo holográfico