EXPERIMENTAL
Con base en los resultados analizados se pueden identificar tres grandes clases en las cuales podemos agrupar las respuestas dadas por los estudiantes: la que integra las respuestas correctas, la que integra las respuestas en las que se puede inferir que reconocieron una relación proporcional pero, por problemas con las unidades o con el algoritmo, no dieron una respuesta adecuada y la tercera que incluye a las respuestas que indican que los estudiantes no comprendieron las relaciones proporcionales en el problema o no se involucraron lo suficiente en su resolución.
Si se asume que quienes resolvieron adecuadamente el problema (34%) han logrado construir las nociones involucradas en la situación problemática y también han logrado coordinar tanto el cálculo numérico con la determinación de las unidades de referencia, entonces los estudiantes que dieron una respuesta de la segunda clase (41%), aunque probablemente hayan construido las nociones involucradas, requieren aún consolidar y coordinar los conocimientos sobre el sistema de numeración y sobre los algoritmos. Lo primero no resulta suficiente para dar una respuesta correcta; además, requieren del dominio de las tablas de multiplicar, cuya memorización es fundamental, de los números decimales y del sistema métrico decimal. Además, deben cuidar expresar sus resultados completos (con unidades), ya que su especificación no solamente es convencional sino que es parte íntegra de la solución.
Las respuestas de la tercera clase pueden sugerir que a los estudiantes aún les falta construir las nociones implicadas (por ejemplo la proporcionalidad) y que, como plantea la teoría de los campos conceptuales, la construcción de conceptos no se da a partir de una sola situación, sino a través de muchas y variadas situaciones y en el largo plazo; al mismo tiempo, una situación involucra siempre varios conceptos formando sistemas de conceptos y no conceptos aislados como lo concibe Vergnaud. En nuestro estudio se trata de una cuarta parte de la población y la mayoría son estudiantes de primaria, quienes precisamente se encuentran desarrollando esas nociones.
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Respecto a las hipótesis inicialmente planteadas, la presencia de un dato irrelevante como distractor es un elemento que provoca mayores dificultades en los estudiantes para hacerse una representación adecuada del problema, a diferencia de la variación en las magnitudes del problema, que no generó diferencias significativas en los resultados.
Por otro lado, la disponibilidad de la calculadora no generó diferencias significativas en los resultados obtenidos, por lo menos estadísticamente. Sin embargo consideramos que es un tema que debe seguirse explorando con mayor profundidad para conocer los alcances y limitaciones durante la resolución de los problemas. Coincidimos con algunas posturas que se encuentran a favor de su uso, es decir, que puede ser un apoyo en algunos aspectos del proceso de resolución de los problemas, por ejemplo en los cálculos aritméticos y en las comprobaciones de los resultados numéricos. Pero diferimos en que sea un apoyo en relación con la identificación de las relaciones entre los operadores, con el uso y la interpretación de las unidades de referencia y con la interpretación de los resultados. Es por eso que consideramos que no fue un recurso que favoreciera mejores resultados, si se toman en cuenta los criterios que usamos para determinar un resultado correcto (resultado numérico y unidades de referencia correctos). Aunque sólo se reportan los resultados de una primera aproximación, pero pudo haberse realizado un diseño metodológico que permitiera reportar con mayor detalle la caracterización de los procedimientos de resolución con el apoyo de la calculadora y sin él. Lo anterior se debió a que durante las entrevistas clínicas surgieron temas a los que se les dio prioridad, como por ejemplo los cambios en las significaciones debido a las interacciones entre el estudiante y el entrevistador al poner a prueba los teoremas y conceptos-en-acto identificados. La exploración del dominio de diferentes contenidos matemáticos en función de las rutas de razonamiento, procedimientos que los estudiantes siguieron durante la resolución del problema y las representaciones gráficas y no gráficas que expresaron para operar con los conceptos movilizados.
Por otro lado, las diferencias entre los resultados de las localidades rural y urbana pudieron explorarse con mayor profundidad para encontrar distinciones más finas; sin embargo, sólo se aplicaron las pruebas estadísticas a los datos levantados en la primera
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fase del trabajo de campo, a partir de las cuales se concluye que no hubo diferencias significativas entre la rural y la urbana, sin embargo es posible que con otra estrategia metodológica se puedan encontrar diferencias entre los procedimientos de resolución y el domino de las herramientas matemáticas. Con respecto a este tema y a pesar de los resultados conservamos la hipótesis de que los estudiantes de localidades rurales pueden emplear con mayor facilidad el sentido común durante la resolución de un problema matemático que los estudiantes de localidades urbanas. Es decir, que con mayor facilidad podrían evaluar sus resultados en función de su factibilidad empírica, pero esto tendrá que confirmarse o refutarse en investigaciones posteriores para saber si efectivamente hay una manera enfrentar las situaciones matemáticas nítidamente diferentes entre poblaciones rurales y urbanas.
Con todo lo anterior podemos concluir que la mayoría de nuestros estudiantes sí razonan, es decir, sí realizan los cálculos relacionales pertinentes, activan los esquemas cognitivos que les permitirían resolver adecuadamente el problema. Las dificultades surgen cuando carecen de las herramientas matemáticas sólidas para operar. Es decir los algoritmos bien dominados, la notación matemática bien aprendida, tanto en la producción como en la interpretación (escritura y lectura). Al carecer del dominio de estas herramientas, principalmente, es que surgen las dificultades y no logran resolver de la manera esperada los problemas y puede ser la causa de los bajos puntajes en las diferentes evaluaciones, pero eso no significa que no razonen como en ocasiones lo han querido sugerir cuando interpretan los resultados de las pruebas estandarizadas, las internacionales principalmente.
Finalmente, se hace evidente que hay diferencias en los sistemas de representación y el grado de consolidación de los conceptos matemáticos implicados en el problema; sin embargo, dada la metodología empleada para esta fase, los datos no permiten confirmar la naturaleza de estas relaciones entre los sistemas de representación. Tampoco permiten explorar la existencia de otros teoremas-en-acto que puedan estar determinando los procedimientos de resolución que impiden a los estudiantes llegar a una respuesta correcta.
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Para profundizar en lo anterior se requiere de la observación directa durante la resolución del problema, así como de entrevistas clínicas y análisis de los procedimientos que los estudiantes realizan, lo que exponemos en los siguientes capítulos.
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