Experimental nanoindentation testing

fNHFRENTES A LA

ASIGNATURA

Es necesario también que los profesores sean precisos en la interpretación de la notación- Ya hemos mencionado {en la Sección 2) el problema que puede causar la interpretación del álgebra como »macedonia de frutas*. Como un ejemplo más, consideremos la fórmula de conversión de horas a minutos. Para los alumnos que piensan que las letras repre- sentan de alguna forma cantidades en general, la fórmula 60 m = h puede erróneamente parecer razonable, pensando vagamente que m representa minutos y h horas, cuando la fórmula correcta es m =* 60 h, donde h es el número de horas y m el correspondiente número de minutos. De igual forma, una interpretación demasiado causal del signo de igualdad puede fácilmente conducir a 4 4 - 3 = 7 + 5= 12, enten- diendo que el significado es de 4 más 3 igual a 7, más 5 igual a 12.

La utilización del signo de igualdad en matemáticas plantea varias dificultades de aprendizaje. El niño encuentra primero normalmente el signo en su forma operacional —5 más 2 hace 7, que se escribe 5 + 2 = 7— y sólo más u r d e en su aspecto más general de equilibrio. En álgebra, el uso del signo igual denotando tanto e c u a c i o n e s como identidades

puede causar confusión. Por ejemplo. x(x -f 2) = x* + 2x

es una identidad pero x(x + 2) = 3x + 2

es una ecuación. De nuevo, si el signo de igualdad es utilizado en la simplificación de expresiones algebraicas, ¿por que es equivocado, se preguntan muchos alumnos, usar el mismo signo cuando se simplifican ecuaciones?

Hemos notado tambión, en la Sección 3> que los alumnos pueden confundir fácilmente la forma escrita con el concepto que representa. Para tales alumnos, —3 es un entero consis-

tente en un signo menos y un número natural;

t i t )

es una matriz. Esto no es erróneo, pero separa las formas escritas de las ideas que representan, con las consecuencias ya indicadas.

La mejor forma de tratar con tales conceptos equivocados es, naturalmente, animarles a pensar acerca del significado de lo que hacen- Una presión excesiva sobre ello, sin embargo,

anima el empleo de la notación formal: el llevar a cabo los LA ENS&SANZA DE procesos matemáticos sin tener que justificar cada una de sus i AS .IATRAIATICAS etapas individuales, estando determinadas la manipulación

apropiada y las reglas de simplificación por la forma matemá- tica de las expresiones implicadas. Las reglas en sí mismas deben ser justificadas en una etapa inicial por su significado pero» en la utilización habitual, son las formas de la notación las que determinan la elección de las reglas. Un alumno que ha de referirse a tal significado de cada etapa no sólo tendrá una gran dificultad en llevar a cabo las distintas manipulacio- nes, sino que tendrá poca ventaja en el uso de dicha notación.

Este es uno de los dilemas centrales de la enseñanza de las matemáticas. El uso formal de la notación puede conducir a reglas sin fundamentos, a una manipulación sin significado y, aún así, la manipulación formal sigue siendo una caracte- rística esencial de la asignatura. De esta forma, al tratar de las dificultades que experimentan los que aprenden, minimizar las dificultades con la notación es optar por no hacer matemáticas.

Esto es cierto igualmente en un nivel más básico con los alumnos menos capacitados. Corno se comentó en el Capítulo 2, quedarse en el mundo de los materiales concretos puede considerarse, para tales alumnos, como el único camino posible para capacitarles frente a las demandas numéricas de la vida cotidiana, pero significa retirarse al mundo infantil de las matemáticas; un retiro, además, que sería considerado inadmisible en otras áreas de comportamiento. Por ejemplo, cuando el adulto es incapaz de leer, una respuesta adecuada resulta ser la de proporcionarle libros de grabados con dibujos que le den significado. Como un objetivo literario en

¡os adultos es capacitar a la gente para tratar adecuadamente con material lingüístico escrito, en matemáticas el objetivo debe ser el de permitir que estos alumnos interpreten la notación (aritmética principalmente) y la utilice en situaciones reales. Volveremos sobre esto en el Capítulo 6 sobre Lenguaje y Numeración.

El problema referido antes —impedir la manipulación de notación aritmética o algebraica sin recurso directo al signi- ficado a partir de una manipulación que favorece la falta de significado —puede exacerbarse si, como sucede a menudo, los alumnos no ven las características de lo que están haciendo. De igual manera, allí donde los alumnos comprenden razonablemente las reglas manipulativas del álgebra y las utilizan formalmente, pueden apreciar una pobreza en su trabajo —los ejercicios no parecen llevarles a ningún lado. Esto puede suceder en todas las etapas de la educación secundaria, pero es más preocupante cuando ocurre en los

DirKui TAors DF comienzos del álgebra, alrededor de los 1! o 12 años. Un

•u'fttNDQAjt»: excesivo interés por la resolución de ecuaciones lineales y por INHERENTES A LA la simplificación de expresiones como

ASIGNATURA

2x + 3y + z — x + 2y — 3z

puede causar muchos problemas para entender el propósito del álgebra.

Una introducción al álgebra a través de idea:, funcionales y afirmaciones universales mostraría con más claridad el propósito de la notación algebraica.

Por ejemplo, supongamos que tenemos la secuencia 1, 4, 7, 10, 12, obtenida por suma reiterada de 3, y estamos interesados en obtener una regla para determinar un número particular a partir de su posición en la secuencia. Tal regla, determinada probablemente por ensayo y error, según c!

nivel del alumno, consiste en multiplicar la posición por 3 y entonces restar 2 as! que, por ejemplo, el décimo número en

la secuencia es (3 X 10) — 2» como puede verificarse conti- nuando la secuencia. Esta regla puede ahora ser expresada concisamente diciendo que eí número en posición n es {3n —

2). O t r a regla que puede obtener un alumno es la de restar uno al número de la posición, multiplicar el resultado por 3 y entonces sumar L Esto produce el resultado 3(n — l) + 1. Expresado así se puede reescribir esto como 3n — 3 + 1 = 3n — 2 de modo que, como debe ser, las dos regias son equi-

valentes. Las ecuaciones pueden ahora permitir hallar el lugar invirtiendo la regla —dado el número, encontrar su posición en la secuencia. Por ejemplo, para encontrar la posición del 67, precisamos encontrar un n cal que 3n — 2 = 67. La regla

misma es una relación funcional y es una forma de afirmación universal ya que se cumple para todos los valores de n.

Las afirmaciones universales no necesitan estar directamente relacionadas con ¡as funciones. Pueden tomar la forma de identidades. Por ejemplo, al practicar los alumnos multiplica- ciones se pueden dar ejercicios consistentes en multiplicar dos números entre sí, uno de los cuales es mayor que el otro —2 X 4, 3 X 5, 4 X 6 y así sucesivamente. En cada caso pueden observar {o ser guiados hacia ello) el hecho de que cada respuesta es menor que el cuadrado del número que hay entre elios; por ejemplo, 4 X 6 — (5 X 5) — L La siguiente etapa consiste en expresarlo más brevemente. Se puede hacer o bien

n(n + 2) = (n + l)(n -I- 1) — 1 = (n + 1)1 — 1

o bien

y comprobarlo para distintos valores de n. La forma algebraica da una expresión clara y abreviada del hecho y hace posible una explicación que irá más allá de la capacidad de muchos alumnos. (Existen también, naturalmente, explicaciones geo- métricas del resultado).

Como un tercer ejemplo, consideremos la suma de los n primeros números naturales. Varias estratagemas —aritméticas y geométricas— sugerirán que

1 + 2 + 3 + ..- + n = 2

Tenemos una expresión simple en forma algebraica a partir de la cual resulta fácil realizar el cálculo para un valor particular de n. O t r o ejemplo de este enfoque del álgebra se presenta en la Sección 7, Contexto (viii).

De esta forma, un enfoque del álgebra a través de ideas funcionales y afirmaciones universales demuestra la utilidad de la notación algebraica. Se hace evidente cuál es el propósito

al introducir letras y resolver ecuaciones. Las reglas manipu- lativas —asociativa, conmutativa, distributiva, etc.— son necesarias para convertir una forma algebraica en otra, para mostrar que dos formas algebraicas son iguales, para expresar una fórmula o una regla en una forma tan simple como sea posible. Se clarifica así la importancia y la utilización de tales mantpulaciones. Un enfoque tal hace también más fácil de apreciar al principio del álgebra el concepto de variable, tema sobre el que volveremos en la Sección 7.

La enseñanza actual requiere una presentación completa a través de muchos casos numéricos, dirigidos a establecer afirmaciones generales. Esta no es una opción fácil pero no es sorprendente que las dificultades de aprendizaje relacionadas con la notación desaparezcan totalmente y que el álgebra gane en significado y motivación (Ver también la discusión sobre las fórmulas en el Capítulo 10).

La habilidad para usar ta notación matemática con efecti- vidad requiere tiempo y experiencia en su desarrollo. En el proceso de promover este desarrollo, los profesores deben tener en mente los siguientes principios:

a) Dar un significado preciso a los símbolos y la notación matemáticos.

b) Conocer los problemas causados por la apariencia visuaL

c) AI tiempo que se asocia la manipulación con el signi- ficado, desarrollar también en los alumnos la habilidad

LAIFSEÑANZADE DIFICULTADES DE de llevar a cabo correctamente la manipulación sin el US MATEMÁTICAS APREADIZAJE recurso continuo a la interpretación semántica.

1NKE&ENT&SAH d) Tener el propósito de desarrollar la notación y el ASIGNATURA cálculo algebraicos.

ej Conocer el aspecto anómalo de la notación matemática y asegurarse de que los alumnos entienden estas ano-

mallas reales u supuestas.

6. Algoritmos formales

Hemos dicho ya mucho acerca de este aspecto d/ las matemáticas. Aquí nos concentraremos sobre unas pocas características centrales en torno a la cuestión. «¿Cuan im- portantes son los algoritmos en las matemáticas escolares?*. Al discutir la cuestión restringiremos el término «algoritmo* a los procedimientos de cálculo numérico formal tales como la división larga o el procedimiento de división sintética para los polinomios. As!, un algoritmo es un proceso numérico automático que se puede llevar a cabo con la calculadora o el ordenador y se distingue de la manipulación algebraica

formal en general. La habilidad de razonar no está implicada. En un sentido real las matemáticas acaban en los algorit- mos. Vista a esta luz, mucha aritmética tradicional de la escuela primaria es periférica a las matemáticas. En efecto, uno de los mayores problemas en el trabajo matemático de la escuela primaria es la separación entre los algoritmos de cálculo y las ideas matemáticas, de modo que los alumnos concluyen que los algoritmos vienen a ser la esencia de las

matemáticas.

En el pasado existían más algoritmos mentales que los existentes hoy —el algoritmo de la división para calcular las raices cuadradas es un ejemplo. ¿Cuántos lectores menores de 50 años conocen cuál era? Hoy en día, con la fácil disponibi- lidad y el precio barato de las calculadoras es un punto a debate (en primaria o secundaria) cuánto tiempo se debo emplear en practicar los algoritmos rutinarios de cálculo aritmético. Puede preferirse emplear el tiempo as! destinado

a extender las habilidades de los alumnos para trabajar inteligentemente con los números. Para los alumnos menos capacitados, poder formar una estimación razonable de la respuesta numérica (ver Capítulo 6) o ser capaz de utilizar un método no algorítmico más largo que pueda entender, es una preparación mejor para la vida adulta que una frecuente práctica algorítmica que puede ser olvidada en gran medida después de dejar la escuela.

Para todos los niños, el énfasis en los algoritmos va en detrimento de la calidad esencial del razonamiento en mate-

maricas. Obligar a los niños a responder mediadamente y U tSUERAN2A DE enseñarles pocos o ningún algoritmo es, quizá, excesivamente i-** MATTMATICA*

drástico, pero a! mismo tiempo puede recuperar las matemáti- cas reales y darles más importancia en la mente de muchos alumnos. (Ver también Atajar Problems in Mathernatics Edu-

caúon7 de Frcudenthal).

Hasta aquí hemos resaltado el lado negativo de los algoritmos, donde interfieren con las habilidades de razona- miento y el pensamiento matemático; ahora volveremos a los aspeaos positivos. Los algoritmos son dignos de valoración cuando permiten hacer con técnicas más simples lo que, de otro modo, serían procesos complejos y/o largos-

Por ejemplo, la fórmula n r2 para el área de un círculo de

radio r, da un procedimiento para calcular áreas de círculos para el que no existe una alternativa practicable y mas sencilla. (Ver el Capítulo 10, Sección sobre el área). Como un segundo ejemplo, la fórmula

l + 2 + 3 + ... + n = l / 2 n ( n + l)

reduce la longitud de los cálculos tales como 1 + 2 + 3 + ... + 1000 a 1/2 X 1000 X 1001.

Un ejemplo de un poderoso algoritmo que no se basa en una fórmula es el que permite calcular el mayor factor común de dos números- El algoritmo depende del resultado de forma que, si a = bq 4- r> entonces M F C (a, b) == MFC (b, r) lo que es fácil de comprobar ya que un factor común de a y b es también un factor común de b y r, y viceversa.

Supongamos que deseamos calcular M F C (28374, 13436). El algoritmo da, sucesivamente, MFC (28374, 13436) = M F C (13436, 1502) = M F C (1420, 1502) = M F C (1420, 8 2 ) = M F C (26, 82) = MFC (26, 4) = 2, donde en cada etapa calculamos el resto de dividir el número mayor de los dos entre el menor. Existen formas más breves de llevar a cabo las etapas del cálculo, pero la potencia del algoritmo no depende de esto. Para apreciar esta potencia el lector puede intentar encontrar el M F C (28374, 13436) p o r el método alternativo de la factorización en números primos.

Un buen algoritmo es un algoritmo eficaz. Demasiado a menudo los algoritmos son vistos por los alumnos, en el nivel escolar, como «el procedimiento que ha dicho el profesor». Sí un algoritmo no puede demostrar ser claramente superior a los otros métodos en términos de tiempo y esfuerzo empleados, su razón de ser ha de ponerse en cuestión y la persistencia del profesor en su utilización

7 Freudenthal.

DincuiTADfcS DE llevará a socavar la confianza del alumno en lo razonable del

APRENW2AJI trabajo matemático en general, lo que originará una variedad INHERENTE ALA de problemas de aprendizaje.

ASIGNAIVIU Cuando se usa un algoritmo es importante que, en u n c o

sea posible, los alumnos también entiendan por que funciona. Esto no quiere decir que un método «ingenioso» no explicado no deba ser introducido ocasionalmente para añadir un elemento de diversión y misterio, o que fórmulas no demos- tradas (en el nivel previo al cálculo) tales como la del volumen de la esfera, 4/3 írr3, no deban ser usadas* pero

deben constituir una excepción.

El método de multiplicación llamado ruso o chino es un buen ejemplo de un algoritmo interesante. Consideremos 34 X 19. Duplicando sucesivamente el primero y dividiendo el segundo por dos al tiempo que se ignora el resto* da:

34 19 68 9 136 4

272 2

544 1

Ahora sumamos los números de la columna de la izquierda que se oponen a los números impares de la columna derecha. Esta suma da la respuesta, 646. Bastantes niños se divierten con este procedimiento aunque la explicación en base dos está fuera de su alcance.

Los algoritmos forman un aspecto importante de las matemáticas que no siempre está claro para los alumnos-

Proporcionan (o deben proporcionar) procedimientos eficaces y fáciles de usar que de otro modo darían lugar a cálculos complejos y largos pero no son un sustituto del pensamiento razonado lógicamente, que es el núcleo de la asignatura.

7. El concepto y el uso de las variables

El concepto de variable en matemáticas está lejos de ser simple; los alumnos más adelantados son capaces de cometer los errores más abísmales. Parte de la dificultad consiste en que, en el álgebra de la escuela elemental, muchos de los contextos no tienen (al menos para el pensamiento de

muchos alumnos) un sentido de variabilidad. Veremos primero algunos de estos y, posteriormente, trataremos de los con- textos en los que la noción de variable es más fácil de entender. Se introduce cada contexto a través de un ejemplo típico. Existen estrechas conexiones con la Sección 5 de

deben tenerse en cuenta. Aquí no nos referiremos tanto a las notaciones en sí mismas como a las ideas representadas por estas notaciones (o que los alumnos piensan que representan).

Un tipo similar de análisis puede ser encontrado en el

artículo «Children's Understanding of Numérica! Variables» de D. Kuchemann, reproducido como Capítulo S en ChÜdren's

Understanding of Mat/wmatics, de K. H a r t (editor)*. El libro

mismo contiene los resultados de un extenso proyecto de investigación sobre el pensamiento matemático infantil y es, por el!o> conveniente su lectura.

Contexto i): Si b + 4 = 9¿cuál es el valor de h?

Aquí la letra b tiene un valor específico. Es una cantidad inicialmentc desconocida pero evaluable. No se evidencia variabilidad- Los problemas de esta clase, habituales al final de la escuela primaria, pueden llevar fácilmente al niño a pensar que una letra tiene siempre un valor específico- Este uso de las letras» frecuentemente el primero que el alumno encuentra, se desarrolla a partir de la simple forma aritmética • + 4 = 9, donde el número desconocido ha de ser

insertado dentro del recuadro. Este mismo no tiene valor sino que indtea simplemente que existe un número descono-

cido, A partir de este punto es usual plantear preguntas como *S¡ • + 4 = 9, entonces • = ?», que es conceptuai-

mente diferente de poner el número desconocido en el recuadro. El recuadro D pasa de ser un indicador a ser un símbolo matemático con un valor numérico, que puede ser combinado con números y otros símbolos tales como +. En algún momento, los símbolos tales como • son reemplazados por letras del alfabeto tales como n o x. Esta forma de introducir el álgebra —desde un recuadro a una letra con un valor fijo— no es probable que de al niño una ¡dea real de la noción de variable.

Contexto ti): ¿cuál es el valor de Ja + 4 cuando .1 = 1, a = 2, a = 3?

Nos movemos ahora desde la noción de una letra que tiene un valor fijo, inicialmentc desconocido pero calculable, a (a idea de una letra que puede ser reemplazada por varios números. Sin embargo, la cuestión realmente es un cálculo

• Нагц К, (ed.) 1981: Chdiren't Understanding of Matbematks. John Miixray.

DiRCtXTADESDE numérico disfrazado. Lo que se le pregunta al alumno-es el

AHUMDtZAjE cálculo de ( 3 X 1 ) + 4, ( 3 X 2 ) + 4, ( 3 X 3 ) + 4.

INHERENTES A LA