Experimental Procedures for Chapters Two to Four
6.2 Experimental procedures for Chapter Two
5.4. Regiones, monotonía, concavidad y convexidad 5.5. Ejercicios resueltos
5.6. Ejercicios propuestos
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100 Capítulo 5. Representación gráfica de funciones
C
omo culminación del estudio de las propiedades de una función real suele hacerse su representación gráfica en un sistema de ejes cartesianos.5.1.
Definiciones
Definición 5.1.1. Gráfica de una función.
Si f es una función real de variable real definida en un cierto con- junto D⊂ R, la gráfica de dicha función está formada por el conjunto
de puntos (x, f(x)) cuando x recorre el conjuntoD, es decir, Gráfica(f) :=C%x, f(x)&:x∈DD.
La gráfica de una función real es referida a veces como curva.
Para representar una gráfica en unos ejes cartesianos debemos conocer los eventuales infinitos puntos que la componen. Estaríamos hablando de una tarea imposible, por lo tanto nos limitaremos a calcular aquellos puntos en los que la función tiene un comportamiento especial y las tendencias de la función cuandoxtiende a ciertos valores y particularmente cuandox→±∞. A partir de ahí tendremos una idea aproximada de cómo es la gráfica.
A continuación iremos viendo cada uno de los pasos que necesitaremos para dibujar con la suficiente precisión la gráfica de una función. En algunos casos no será necesario pasar por todos.
5.2.
Dominio, cortes con los ejes, simetrías
y periodicidad
5.2.1. Dominio
Si queremos estudiarf, una función real de variable real, lo primero que debemos saber es en qué puntos existe la función.
Dominio.
Recordamos que el conjunto de valoresx para los cuales existef(x)
5.2. Dominio, cortes con los ejes, simetrías y periodicidad 101 Salvo que se diga lo contrario, consideramos que el dominio de una función es el máximo posible, es decir, el mayor conjunto de puntosxde la recta real donde f(x)es un número real. Esto es especialmente importante cuando en la definición de f aparecen cocientes, raíces de índice par o logaritmos.
Por ejemplo, el dominio de la función f(x) = 1x es el conjunto de todos los números reales salvo el 0.
En algunas ocasiones el dominio de una función se restringe por su propia definición, por ejemplo en la siguiente función:
f(x) = > x2+ 1 si −2< x≤0 1 x si 0< x ≤5 el dominio es el intervalo (−2,5].
Otras veces la naturaleza del problema hace que no tenga sentido que la variable tome ciertos valores y eso hace que el dominio se restrinja. Por ejemplo, en un problema donde aparezca una función que dependa de la variable l, la longitud de una arista, no tendría sentido que ltomara valores negativos.
Vamos a ver cuál es el dominio de algunas funciones que aparecen con cierta frecuencia.
! Funciones polinómicas. Su dominio es evidentemente R.
! Funciones racionales. Su dominio es R exceptuando los valores que
anulan el denominador. Por ejemplo el dominio de la función
f(x) = x
2+ 1
x2−1
esR\ {1,−1}.
! Funciones del tipo f(x) = )n g(x). En estos casos hay que distinguir según quensea par o impar. Si nes impar Dom(f) = Dom(g), pero si
nes par entonces
Dom(f) ={x tales quex∈Dom(g)yg(x)≥0}.
Por ejemplo, dada f(x) =√x2−4es fácil comprobar que
102 Capítulo 5. Representación gráfica de funciones
! Funciones exponenciales. Las funciones de tipof(x) =ax con a >0 y a̸= 1no presentan problemas, por lo que su dominio esR. Si la función
es del tipof(x) =ag(x) entonces Dom(f) = Dom(g). Por ejemplo, dada f(x) =e1/x es fácil comprobar que
Dom(f) =R−{0}.
! Funciones logarítmicas. Si la función es del tipo f(x) = log[g(x)] en- tonces
Dom(f) ={x tales que x∈Dom(g)yg(x)>0}
ya que no existe el logaritmo de un número negativo ni del cero. Por ejemplo, dada f(x) = ln(x−1) es claro que
Dom(f) = (1,∞).
! Funciones trigonométricas. Las funciones seno y coseno no plantean
problemas, su dominio esR. Con la funcióntangente hay que tener más
cuidado ya quetg(x) = sencosxx,luego su dominio esR\ {π
2+kπ :k∈Z}.
5.2.2. Cortes con los ejes
Corte con los ejes.
Dada la función x 1→ f(x), para calcular el corte con el eje OY
bastará hacer x = 0 en el caso de que 0 ∈ Dom(f). En este caso el punto (0, f(0)) será el punto de corte de la gráfica de f con el eje de ordenadas. Si por el contrario 0 no pertenece al Dom(f) entonces la curva no cortará el ejeOY.
Para calcular los cortes con el eje OX debemos hacer f(x) = 0
y resolver la ecuación resultante. Si x0 es una solución de la ecuación
f(x) = 0 entonces (x0,0) es un punto de corte de la curva con el eje de
abscisas.
A veces no resulta fácil calcular las soluciones de la ecuación anterior, en este caso puede resultar interesante determinar un intervalo suficientemente pequeño que contenga a cada una de ellas.
5.2. Dominio, cortes con los ejes, simetrías y periodicidad 103
5.2.3. Simetrías
Definición 5.2.1. Funciones pares.
Una funciónf se dice que es par si para todox∈Dom(f)se verifica que −x∈Dom(f) y f(x) =f(−x).
Resulta interesante saber que las funciones pares sonsimétricas respecto del eje OY, lo que puede ser una buena ayuda a la hora de proceder a su representación.
Observación 5.2.2 Las funciones polinómicas en las que los exponentes de la variable son todos pares o cero son funciones pares.
Ejemplo 5.2.3 La función f(x) =x2x−21 cumple que:
f(−x) = (−x)
2
(−x)2−1 =
x2
x2−1 =f(x)
por lo tanto es par. Su gráfica es la siguiente:
f(x) = x
2 x2−1
Definición 5.2.4. Funciones impares.
Una función f es impar si para todo x ∈ Dom(f) se verifica que −x∈Dom(f) y f(x) =−f(−x).
104 Capítulo 5. Representación gráfica de funciones
Observación 5.2.5 Las funciones polinómicas en las que los exponentes de la variable son todos impares son funciones impares.
Ejemplo 5.2.6 La función f(x) =1−xx2 cumple que:
f(−x) = (−x) 1−(−x)2 =
−x
1−x2 =−f(x)
por lo tanto es impar. Su gráfica resulta ser la siguiente:
f(x) = x 1−x2
5.2.4. Periodicidad
Definición 5.2.7. Función periódica.
Una función f es periódica de periodo T si para cada x ∈Dom(f)
se tiene quex+T ∈Dom(f) y f(x) =f(x+T).
Saber que una función es periódica puede ayudarnos a su representación. Hasta ahora las únicas funciones elementales periódicas que conocemos son la trigonométricas: el seno y el coseno que tienen periodo 2π y la tangente que tiene periodo π.
f(x) = sen(x)
2π
π 2π
1