valores que anulan la derivada, que serán los candidatos a extremos relativos; por ejemplo, si f′(x0) = 0,f′ >0 en algún intervalo a la izquierda de x0 y
f′ <0en algún intervalo a la derecha dex0 entonces enx0habrá un máximo
local; de la misma forma se razonaría para un mínimo local y en el caso de que f′ tenga el mismo signo en algún intervalo a la izquierda y en otro a la
derecha de x0 no habrá ni máximo ni mínimo local.
Con dichos puntos, y teniendo en cuenta además dónde no está definida la función, analizamos el signo de la derivada en cada uno de los intervalos, lo que nos permitirá deducir los intervalos de crecimiento o decrecimiento, véase la sección 4.1.
5.4.2. Convexidad, concavidad y puntos de inflexión
Convexidad y concavidad
Para estudiar los intervalos donde la función f es convexa o cónca- va estudiamos el signo de su derivada segunda (caso de que exista) y aplicamos el siguiente resultado:
• si existef′′en(a, b)yf′′(x)>0para cualquierx∈(a, b), entonces
f es convexa en(a, b);
• si existef′′en(a, b)yf′′(x)<0para cualquierx∈(a, b), entonces
f es cóncava en(a, b).
Procederemos a resolver la ecuación f′′(x) = 0 para obtener los valores que anulan la segunda derivada, que serán los candidatos a puntos de in- flexión. Con esos puntos analizamos el signo de la derivada segunda, a la izquierda y a la derecha, lo que nos permitirá deducir dónde la función es convexa o cóncava, véase la sección 4.2.
5.5.
Ejercicios resueltos
Ejercicio 5.1 (PAU Región de Murcia, 1996). Representar gráficamente la función f(x) =x4−4x2+ 9.
Solución.
!Dominio, cortes con los ejes y simetrías.
114 Capítulo 5. Representación gráfica de funciones Como fácilmente se puede observarf(x) =f(−x), al ser todas las poten- cias dexpares. Se trata por tanto de una función par, véase la definición5.2.1, y será simétrica respecto del ejeOY.
Si hacemos x= 0 vemos que corta el eje OY en el punto(0,9).
Para calcular los posibles cortes con el eje OX resolvemos la ecuación
x4−4x2+ 9 = 0. Como es una bicuadrada, se tiene que x2 = 4±√16−36
2 , que
es una ecuación sin soluciones reales y, como conclusión, no corta al eje de abscisas.
!Regiones.
Como no corta al ejeOX y su dominio esRsiempre estará por encima o
por debajo del eje de abscisas, en nuestro caso como pasa por (0,9) siempre estará por encima.
!Asíntotas y otras ramas infinitas.
Los polinomios de grado mayor o igual a 2 siempre tienen ramas infinitas que no son asíntotas. En nuestro caso
l´ım
x→±∞
%
x4−4x2+ 9&= +∞. !Crecimiento, decrecimiento y extremos.
Para ello derivamos f y obtenemos f′(x) = 4x3 −8x. Resolvemos la ecuación
0 = 4x3−8x=x(4x2−8)
que da como soluciones 0,+√2 y−√2.
Estudiamos el signo de la derivada en los diferentes intervalos y de ahí deducimos el crecimiento o decrecimiento de la función.
x <−√2 −√2< x <0 0< x <√2 √2< x
f′ negativa positiva negativa positiva
f decreciente creciente decreciente creciente
Luego en los puntos de abscisas (−√2,5) y(√2,5) hay mínimos relativos y en (0,9) hay un máximo relativo.
!Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
Para ello calculamos la derivada segunda:f′′(x) = 12x2−8y resolvemos la ecuación 12x2−8 = 0, que da como soluciones −)2/3 y+)2/3.
Estudiamos el signo de la segunda derivada en los diferentes intervalos y de ahí deducimos la concavidad o convexidad de la función.
5.5. Ejercicios resueltos 115 x <− 0 2 3 − 0 2 3 < x <+ 0 2 3 + 0 2 3 < x
f′′ positiva negativa positiva
f convexa cóncava convexa
Luego en los puntos1−02 3,619
2
y1+023,6192 hay puntos de inflexión.
!Gráfica.
Si trasladamos los resultados obtenidos a un sistema de ejes cartesianos obtenemos el siguiente armazón que nos permitirá la representación más fácilmente: 2 4 6 8 10 2 4 6 −2 −4 −6
Su gráfica aproximada es la siguiente:
2 4 6 8 10 2 −2 −4
Ejercicio 5.2 (PAU Región de Murcia, septiembre 1996).Representar grá- ficamente la curva f(x) = x2x−34 calculando dominio de definición, corte con los ejes, simetrías, asíntotas y regiones.
116 Capítulo 5. Representación gráfica de funciones
Solución.
!Dominio, cortes con los ejes y simetrías.
Al tratarse de una función racional calculamos en primer lugar las raíces del denominador,
x2−4 = 0
que resultan ser−2 y+2, luego Dom(f) =R\ {−2,2}.
Para ver las simetrías calculamos:
f(−x) = (−x)
3
(−x)2−4 =
−x3
x2−4 =−f(x).
Se trata por tanto de una función impar, véase la definición 5.2.4, y será simétrica respecto del origen de coordenadas.
Si hacemos x = 0 vemos que corta el eje OY en el punto A(0,0). Para calcular los posibles cortes con el eje OX resolvemos la ecuación que resulta de igualar el numerador a cero, x3 = 0. Por lo tanto solamente corta al eje de abscisas en el origen de coordenadas.
!Regiones.
Como corta al ejeOXenx= 0y no existe enx=−2yx= 2, estudiamos el signo de la función en los siguientes intervalos, para saber si está por encima o por debajo del eje OX:
x <−2 −2< x <0 0< x <2 2< x f negativa positiva negativa positiva Respecto deOX debajo encima debajo encima !Asíntotas y otras ramas infinitas.
Para calcular las asíntotas verticales calculamos los siguientes límites:
l´ım
x→−2−f(x) =−∞, x→−l´ım2+f(x) = +∞,
l´ım
x→2−f(x) =−∞, xl´ım→2+f(x) = +∞,
luego las rectas x=−2 yx= 2son asíntotas verticales.
Al tratarse de una función racional, siendo el numerador un polinomio de grado uno más que el grado del denominador, tendrá una asíntota oblicua. La podemos calcular fácilmente haciendo la división de los polinomios:
5.5. Ejercicios resueltos 117
x3
x2−4 =x+
4x x2−4
luego la rectay=x es una asíntota oblicua.
!Crecimiento, decrecimiento y extremos.
Aunque no se pide expresamente en el enunciado vamos a hacer este estudio para ayudarnos a representarla. Para ello derivamos la función f y se tiene f′(x) = x 4−12x2 (x2−4)2 y resolvemos la ecuación x4−12x2 = 0
que da como soluciones 0,+√12 y−√12.
Estudiamos el signo de la derivada en los diferentes intervalos, añadiendo a los valores obtenidos los puntos donde la función no está definida, y de ahí deducimos el crecimiento o decrecimiento de la función.
x <−√12 (−√12,−2) (−2,0) (0,2) (2,√12) √12< x
f′ + − − − − +
f cre. dec. dec. dec. dec. cre.
Luego enB(−√12,−3√3)hay un máximo y enC(√12,3√3)hay un mínimo relativo.
!Gráfica.
Trasladamos los resultados obtenidos a un sistema de ejes cartesianos:
2 4 6 8 −2 −4 −6 −8 2 4 6 8 10 −2 −4 −6 −8 −10 A x=−2 x= 2 y=x B C
118 Capítulo 5. Representación gráfica de funciones Lo que nos permite dibujar la gráfica aproximada:
f(x) = x 3 x2−4 x=−2 x= 2 y=x
Ejercicio 5.3 (PAU Región de Murcia, junio 2010).Dada la funciónf(x) =
√
4 +x2, se pide:
1. dominio y cortes con los ejes;
2. estudio de simetrías y de regiones para el signo def(x); 3. estudio sobre la existencia de asíntotas horizontales u oblicuas; 4. intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos;
5. representación gráfica aproximada. Solución.
!Dominio y cortes con los ejes.
Como siempre se cumple que4 +x2 >0 se tiene queDom(f) =R.
Si hacemos x = 0 vemos que corta al eje OY en el punto (0,2). Para calcular los posibles cortes con el ejeOXestudiamos la ecuación√4 +x2= 0
que no tiene solución real y por lo tanto no corta al eje de abscisas en ningún punto.
!Estudio de simetrías y de regiones para el signo de f(x).
Para ver las simetrías calculamos:
f(−x) =)4 + (−x)2 =)4 +x2=f(x)
Se trata de una función par y por tanto simétrica respecto al eje OY. Comof está definida a través de la raíz cuadrada positiva, su gráfica está siempre por encima del ejeOX.
5.5. Ejercicios resueltos 119 Evidentemente no tiene asíntotas verticales. Por otra parte
l´ım x→+∞ ) 4 +x2 = +∞. Calculamos l´ım x→+∞ √ 4 +x2 x = 1 y a continuación l´ım x→+∞ 1) 4 +x2−x2= l´ım x→+∞ %√ 4 +x2−x&%√4 +x2+x& √ 4 +x2+x = 0,
por lo tanto la recta y=xes una asíntota oblicua por la derecha.
De la misma forma se puede ver quey =−xes una asíntota oblicua por la izquierda, resultado que también podíamos haber deducido por simetría respecto del ejeOY. Como consecuencia no tiene ni asíntotas horizontales ni otras ramas infinitas.
!Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos.
Para este estudio derivamos la funciónf, obteniendo
f′(x) = 1
2√4 +x2 ·2x=
x
√
4 +x2
y resolvemos la ecuación f′(x) = 0 que da como única solución x= 0.
Estudiamos el signo de la derivada a la izquierda y a la derecha de 0.
f′(x)<0si x <0, luego la función es decreciente en(−∞,0);
f′(x)>0si x >0, luego la función es creciente en (0,+∞).
Como consecuencia, en el punto A(0,2) presenta un mínimo relativo.
!Su gráfica aproximada es la siguiente:
f(x) =√4 +x2
y=x y=−x
120 Capítulo 5. Representación gráfica de funciones
Ejercicio 5.4 Dada la función f(x) = x
2
ex, se pide:
1. dominio, cortes con los ejes y simetrías.
2. crecimiento, decrecimiento y extremos relativos; 3. concavidad, convexidad y puntos de inflexión; 4. asíntotas y otras ramas infinitas;
5. representación gráfica aproximada. Solución.
!Dominio, cortes con los ejes y simetrías.
Sabemos queex >0para cualquier valor dex, por lo tantoDom(f) =R. f(0) = 0 por lo tanto A(0,0) es el corte con el eje OY que, a su vez, es el único punto de corte con el eje OX, como se puede comprobar fácilmente resolviendo la ecuación f(x) = 0.
Para estudiar las simetrías evaluamos:
f(−x) = (−x)
2
e−x =x
2
·ex̸=±f(x)
por lo tanto la función no es simétrica respecto del eje OY ni respecto del origen.
!Crecimiento, decrecimiento y extremos relativos.
Procedemos a derivar la función
f′(x) = e x2x−x2ex (ex)2 = 2x−x2 ex y hacemos f′(x) = 0, es decir 2x−x2 =x(2−x) = 0
que da como soluciones 0 y 2.
Estudiamos el signo de la derivada en los diferentes intervalos y de ahí deducimos el crecimiento o decrecimiento de la función.
(−∞,0) (0,2) (2,∞)
f′ − + −
5.5. Ejercicios resueltos 121 Por lo tanto enA(0,0)hay un mínimo relativo y enB(2,e42)hay un máximo
relativo.
!Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
Procedemos a calcular la segunda derivada
f′′(x) = e x(2−2x)−(2x−x2)ex (ex)2 = x2−4x+ 2 ex y hacemos f′′(x) = 0, es decir x2−4x+ 2 = 0
que da como soluciones 2−√2 y2 +√2.
Estudiamos el signo de la segunda derivada en los diferentes intervalos y de ahí deducimos la concavidad o convexidad de la función:
(−∞,2−√2) (2−√2,2 +√2) (2 +√2,∞)
f′′ + − +
f convexa cóncava convexa
Por lo tanto en los puntos de abscisas 2−√2 y 2 +√2 hay puntos de inflexión.
!Asíntotas y otras ramas infinitas.
No tiene asíntotas verticales. Calculamos:
l´ım
x→+∞
x2 ex = 0
por lo tanto la recta y= 0 es una asíntota horizontal por la derecha. Por otra parte:
l´ım x→−∞ x2 ex = l´ımx→+∞ (−x)2 e−x = l´ımx→+∞x 2ex= +∞ entonces calculamos: l´ım x→−∞ x2/ex x = l´ımx→−∞ x ex = l´ımx→+∞−xe x = −∞ por lo tanto hay una rama infinita por la izquierda.
!Representación gráfica aproximada.
Llevamos a unos ejes cartesianos los resultados obtenidos y obtenemos el siguiente armazón para la gráfica:
122 Capítulo 5. Representación gráfica de funciones 2 −2 2 4 6 8 −2 A C B D Su gráfica es la siguiente: 2 4 −2 2 4 6 8 −2 f(x) =x 2 ex
5.6.
Ejercicios propuestos
5.5 Halla el dominio de las funciones: a) f(x) =x+ 1 x−7 b) g(x) = x x3−2x2−5x+ 6 c) h(x) = x−3 x2+ 25
5.6 Halla el dominio de la funciónf(x) =√4x2−x−6.
5.7 Halla el dominio de la funciónf(x) = ln(3x+ 6)
x
5.8 Halla el dominio de la funciónf(x) = 3
x−1 x+1
x2−4
5.9 Halla los cortes con los ejes de las funciones: a) f(x) =x
2−9
x+ 9
5.6. Ejercicios propuestos 123 5.10 Halla los cortes con los ejes de la funciónf(x) = sen(x+π).
5.11 Halla las asíntotas y otras ramas infinitas de las funciones: a) f(x) = 3x 3 x3−8 b) g(x) = (x+ 2) 2 x−1
c) h(x) =√x2+ 8(considerando sólo la raíz positiva)
d) j(x) = ln(x−3)
e) k(x) = cos(2x+ 5)
5.12 Halla las asíntotas y otras ramas infinitas de las funciones: a) f(x) = 4x 2 x2−4 b) g(x) = x 3−x−1 x2−9 c) h(x) =√x2−8x d) j(x) =x(1 + senx) e) k(x) =x+ senx
5.13 Representa una función que cumpla las siguientes características:
• Dom(f) =R\ {−1,1};
• sea siempre decreciente;
• corte a los ejes en(0,0), siendo éste además un punto de inflexión;
• las rectas x=−1yx= 1 sean asíntotas verticales;
• la recta y= 0 sea una asíntota horizontal.
5.14 Representa una función que cumpla las siguientes características:
• Dom(f) =R;
• sea decreciente en (−∞,2) y creciente en(2,+∞);
• tenga un mínimo relativo en (2,1);
• las rectas y=−x+ 2 yy=x−2sean asíntotas oblicuas;
• sea convexa siempre.
5.15 De las siguientes funciones, ¿a cuál pertenece la gráfica siguiente?
• f(x) =lnx
124 Capítulo 5. Representación gráfica de funciones • g(x) = |lnx| x • h(x) =xlnx • j(x) =|xlnx| 1 2 3 4 5 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Justifica la respuesta.
5.16 De las siguientes funciones, ¿a cuál pertenece la gráfica siguiente?
• f(x) =xsenx • g(x) = x senx • h(x) = senx x • j(x) =x+ senx 2 −2 2 4 6 8 −2 −4 −6 −8 −10 Justifica la respuesta.
5.17 (PAU Región de Murcia, septiembre 2008). Dada la función
f(x) =4x−2x se pide:
a) dominio y cortes con los ejes; b) asíntotas verticales;
c) asíntotas horizontales y oblicuas;
d) intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos; e) representación gráfica aproximada.
5.6. Ejercicios propuestos 125 5.18 Dada la funciónf(x) = x2x−2, estudia:
a) dominio, cortes con los ejes y simetrías;
b) crecimiento, decrecimiento y extremos relativos; c) asíntotas y otras ramas infinitas;
d) representación gráfica aproximada.
5.19 (PAU Región de Murcia, junio 2000). Dada la curva f(x) =
(x−1)(x−2)
x2+1 se pide:
a) dominio de definición y cortes con los ejes; b) asíntotas, cortes con las asíntotas y regiones;
c) valores de x para los que la curva puede presentar máximos o mínimos relativos;
d) representación gráfica aproximada;
e) determinar, si existen, los valores de x en los que la función al- canza el máximo y el mínimo absolutos, justificando la respuesta. 5.20 (PAU Castilla y León, 2011). Sea f(x) = x2−x−3x1+3. Se pide:
a) determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas; b) esbozar su gráfica.
5.21 (PAU Castilla-La Mancha). Dada la funciónf(x) = 4x2+32xx+4 se pide:
a) calcular las asíntotas verticales y oblicuas de f(x);
b) valores de x para los que la curva puede presentar máximos o mínimos relativos;
c) coordenadas de los máximos y mínimos relativos de f(x).
5.22 (PAU Castilla-La Mancha). Dada la funciónf(x) = ax2x2+6+b calcula los parámetros a, b∈Rsabiendo que:
• f tiene una asíntota oblicua de pendiente 2,
• f tiene un mínimo relativo en el punto de abscisax= 0.
5.23 (PAU Región de Murcia, junio 1998). Representar gráficamente
126 Capítulo 5. Representación gráfica de funciones 5.24 Representar la función f(x) =xex. 5.25 Representar la función f(x) =x− 2 x −3 lnx. 5.26 Representar la función f(x) = lnx x .
5.27 Estudiar y representar la funciónf(x) = |x|
x−1.
5.28 Estudiar y representar la funciónf(x) =
! ! !xx −1 ! ! !.
5.29 Encuentra una función cuya gráfica se corresponda con la si- guiente: 1 2 −1 −2 −3 −4 −5 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7
5.30 Dibuja una función g cuya derivada tenga una gráfica como la de la funciónf siguiente: 1 2 3 −1 −2 1 2 3 4 5 6 −1 −2 −3 −4 −5 f
Dibuja la gráfica de una funciónhdefinida a partir de la anterior tal queh(x) = 1
6.1. Primeras definiciones
6.2. Métodos de cálculo de primitivas 6.3. Ejercicios propuestos
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