prender si se aplica a situaciones no prácticas, tales como las que se presen-
tan en ciertos juegos de azar, luego de ello si se podrán llevar estos conceptos
a situaciones prácticas de nuestro campo de estudio. Por esta razón, las defini-
ciones y las reglas de probabilidad se presentan en el contexto de modelos o
problemas idealizados, pero se supone que las mismas reglas se podrán apli-
car luego a situaciones de la vida real y en especial concernientes a lo que tiene
que ver con el Estado.
Azar y desconocimiento.
El azar está relacionado con el desconoci- miento. Un ejemplo nos puede ayudar; pien- se en un proceso industrial que produce grandes cantidades de un artículo determi- nado. No todos los artículos producidos son idénticos, cada artículo puede calificarse como “bueno’’ o “defectuoso’’. Si de toda la producción se escoge un artículo “a cie- gas’’, ese artículo puede resultar bueno o defectuoso. Esta es una situación azarosa (o aleatoria) y la parte esencial de este azar es que no sabemos si el artículo selecciona- do es defectuoso. Claro que con experien- cia en el proceso es posible cuantificar de una manera numérica qué tan factible es que el artículo sea defectuoso o nó.
Azar e incertidumbre.
Hay otro concepto asociado al azar y es el de incertidumbre. Veamos un ejemplo. Res- pecto a una inversión, podemos estar con- templando invertir una cantidad de dinero. El retorno sobre la inversión puede ser fijo, como en el caso de una cuenta en un banco con interés fijo; pero pensemos en una em- presa. El negocio puede resultar desde un gran éxito hasta un fracaso, es decir, la ga- nancia no es fija, sino que depende del éxito a obtener. Si no podemos evaluar qué tan factible es cada monto posible de la ganan- cia, tenemos una situación de incertidum- bre. Por el contrario, si podemos tener una idea de qué tan probables son los diferentes resultados y entonces tendremos una situa- ción de riesgo. Esta última es la que llama- mos aleatoria o azarosa.
Hay experimentos que pueden repetirse o que pue- den concebirse como repetitivos. Enumere tres ejemplos de situaciones que se puedan repetir.
¿El lanzar una moneda, leer la temperatura diaria, contar el número de funcionarios que llegan tarde al trabajo, son experimentos que pueden ser repetitivos? ¿Y, evaluar los niveles de solidaridad de las personas frente a catastrofes na- turales, puede ser repetitivo? Explique.
Un experimento en el que varios conejos están ali- mentados con diferentes raciones para determinar el creci- miento relativo debido a las propiedades de las raciones, sólo puede realizarse una vez con los mismos animales; sin em- bargo, el experimento puede considerarse como uno de un ilimitado número de experimentos similares. ¿Puede consi- derarse entonces como repetitivo?. Justifique
su respuesta.
La selección de una muestra de una población es un experi- mento repetitivo y es, naturalmente, el tipo de experimentos de particular interés en la solución de problemas estadísti- cos.
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ProbabilidadComencemos con los modelos sencillos, consideremos el ex- perimento básico de lanzar una moneda dos veces, o lo que es lo mismo, lanzar dos monedas distintas simultáneamente una vez. En este experimento hay cuatro posibilidades designadas por: CC, CS, SC, SS; donde CS significa que se obtiene una cara en el primer lanzamiento y un sello en el segundo.
Si el experimento consiste en lanzar tres monedas o un a tres veces, serán posibles ocho resultados: CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS; donde CSC significa sacar una cara en el primer lanzamiento, sello en el segundo y cara en el tercero.
Un experimento como la valuación diaria del precio del dólar, sin embargo, tiene un infinito número de resultados posibles, puesto que el precio de una moneda en pesos es una variable de tipo continuo. Sin embargo haremos inicialmente los análi- sis de experimentos con un número finito de resultados posi- bles.
Al estudiar el papel de la probabilidad dentro de un experimen- to, primero debemos decidir cuales de los resultados o even- tos posibles, son de nuestro interés. Estos se deben definir de manera tal que sean excluyentes, es decir que en un experi- mento se presente un solo evento como resultado. En el expe- rimento de lanzar tres veces al aire una moneda, lo que intere- saba saber era si la moneda mostraba cara o sello en cada uno de los lanzamientos, por lo tanto todos los resultados posibles son los que escribimos anteriormente. Otro juego de azar de gran valor ilustrativo, es el que consiste en extraer una bola de una caja que contenga tres bolas rojas, dos negras y una ver- de. Aquí el interés está enfocado solamente en el color de la bola extraída y no en que bola salió en particular. Aquí hay tres posibles resultados del experimento correspondientes a tres colores.
Analicemos ahora el ejemplo típico del lanzamiento de dos da- dos de diferente color (es decir que se puede diferenciar uno del otro, en caso contrario deberá lanzarse uno antes de otro) en el que se tiene el interés de saber el número de puntos mostrado en cada uno de ellos, tendremos entonces 36 resul- tados posibles, por que cada uno tiene seis resultados posi-
El primer número de cada par denota el núme- ro que saldrá en el primer dado y el segundo número representa la cantidad de puntos que salieron en el segundo.
El conjunto de eventos que representan los re- sultados posibles de un experimento se llama espacio muestral. Así también, Cuando se tie- ne un espacio muestral llamamos, formalmen- te evento a cualquier subconjunto del espacio muestral. Decimos que un evento se realiza, cuando el resultado del experimento aleatorio es un elemento del evento, ello permite inferir que existen eventos formados por asociacio- nes de otros. Para el último ejemplo tenemos un espacio muestral de 36 eventos.
El siguiente paso en la construcción de un mo- delo matemático para un experimento es asig- narle a los eventos números que representen las frecuencias relativas con que se espera que estos ocurran. Aparte del espacio muestral, en cada experimento aleatorio hay una asignación primaria de probabilidades. Basados en la ex- periencia o en razonamientos de simetría, a cada elemento del espacio muestral le asignamos una evaluación de qué tan factible es. Esta evalua- ción se refleja en un porcentaje (número entre 0 y 1). Entre más factible sea el resultado, ma- yor es el porcentaje que se le asigna. Los casos extremos son:
Un evento que no puede suceder (evento nulo), tiene probabilidad cero. Muchas veces estos eventos con probabilidad cero son imposibles por alguna contradicción lógica en su definición. Por ejemplo: “que la suma de dos dados sea nón y los dos dados tengan el mismo núme- ro’’. En el otro extremo hay eventos que siem- pre suceden y estos tienen probabilidad uno (eventos seguros). Por ejemplo: “que el núme-
ro de caras en dos cara y sellos sea menor o igual a 7.8'’, aunque el evento pueda resultar extraño en su definición, siempre sucede y tiene probabilidad igual a 1.
La asignación toma la forma matemática de una fun- ción y se llama función de probabilidad. El dominio de esta función es el espacio muestral y su codominio es el intervalo real [0, 1].
Esta función nos da las probabilidades de los eventos simples. Para un evento compuesto, simplemente su- mamos las probabilidades de los elementos que lo com- ponen.
Si el experimento de lanzar tres veces la moneda el aire se repitiera un gran número de veces y se registrara acu- mulativamente la proporción de los experimentos que dieran por resultado, por ejemplo, tres caras, podría esperarse una proporción aproximada a 1/8, por que se espera que cada uno de los ocho resultados ocurra con la misma frecuencia. En la práctica, los experimentos de esta clase, por lo general muestran que dichas espe- ranzas son justificadas, siempre y cuando la moneda
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Probabilidadesté bien balanceada y que además se lance al aire vigo- rosamente. En virtud de estas consideraciones debe asig- narse el número 1/
8a cada uno de los eventos del espa-
cio muestral. En el espacio muestral se llama probabilidad del evento eial número que se le asigna a tal evento y se representa como P{e
i
}. Así, en el experimento de lanzar
tres monedas al aire, cada uno de los eventos e1, e 2 , e 3 , ... e8, posee la probabilidad 1/ 8 .
Si el experimento de seleccionar un número dígito de una tabla de números aleatorios, se hallará que cada no de los diez dígitos 0, 1, 2, ...9 aparece aproximadamen- te con la misma frecuencia relativa, y por consiguiente, que la frecuencia relativa experimental para cada uno de los dígitos tiende a 1/
10
. Con base en dicho experimen-
to, deberá asignársele la probabilidad de 1/
10a cada uno
de los eventos del espacio muestral.
El experimento de lanzar dos dados se trata casi de la misma manera que el de lanzamiento de da- dos. ¿qué probabilidad le corresponde en este caso a cada evento del espacio muestral?
La simetría y la experiencia sugieren que a cada punto del espacio de muestreo debe asignársele una probabili- dad de 1/
36 .
Para el experimento de sacar bolas de colores, la situación es un poco distinta de las anteriores. ¿Por qué podemos decir esto?
¿se espera en este caso que cada uno de los resultados ocurra con la misma frecuencia relativa? Explique por que.
Si las bolas se mezclan bien dentro de la caja antes de cada extracción y además, siempre se vuelve a introdu- cir entre la caja la bola extraída, de tal manera que el contenido de la caja no cambie, puede esperarse obte- ner una bola negra con el doble de frecuencia que una bola verde y una bola roja con el triple de frecuencia que una bola verde. Esto significa que si se repitiera el
?
sistentes en sacar colores rojo, negro y verde tendieran a 3/ 6 , 2/ 6 y 1/ 6 , respectivamente.
A partir de los experimentos anteriores eviden- ciamos la forma general de proceder para asig- nar probabilidades a cada uno de los eventos del espacio muestral. Si el experimento es de tal naturaleza que la simetría y otras considera-
tivas se esperan para los diferentes resultados, entonces se esco- gen estas como probabilidades para los eventos correspondien- tes. Estas fueron las bases para la asignación de probabilidades en el experimento del cara y sello, en el de las bolas de colores y en el de los dados. Si no hay consideraciones de simetría aplicables al caso, pero si se encuentran los resultados experimentales, enton- ces pueden emplearse como probabilidades las frecuencias relati- vas obtenidas en dicha experiencia.
La asignación de probabilidades para los eventos del espacio mues- tral conformado por la selección aleatoria de dígitos estuvo basa- da parcialmente en la experiencia y también en forma parcial en la confianza que se tiene en el criterio de quienes hayan construido la tabla de números aleatorios. Hay varios métodos para construir tablas de números aleatorios, siendo algunos de ellos muy com- plicados. En todas estas tablas debe esperarse que cada dígito aparezca el mismo número de veces y que no existan patrones de secuencia de dígitos. Sin embargo, como a menudo tales conjun- tos de dígitos están basados en dispositivos físicos, que se supone producen dígitos que poseen dichas propiedades, no es razonable esperar de un conjunto de tales dígitos que se comporten de esta manera ideal. Todo lo que puede esperarse es una buena aproxi- mación.
Invente una regla o truco para generar números de una cifra, de tal forma que parezcan lo más aleatorios posibles, que cada uno de los dígitos tenga la mis- ma probabilidad de salir generado y que no se presente ningún patrón de secuen- cia.
Que fundamento tiene la fe del apostador de chance en coger “la muela” (es decir el número terminado en el dígito que lleva más tiempo sin salir en dicha posición). Verifique si se cumple tal situación con los números con que terminaron las loterías de la última semana e improvise una conclusión.
Lance una moneda que no esté deforme, veinticinco veces y contabilice los resultados. Láncela nuevamente 5 veces. ¿Tendieron los resultados de estos últimos intentos a compensar el evento que tuvo menos ocurrencia en los prime- ros 25 intentos? Repita el experimento tres veces o más si tiene dudas y escriba una frase concluyente al respecto.
En un juego de cara y sello se obtuvieron 6 caras consecutivas, el jugador que va perdiendo apuesta nuevamente al sello por que considera que este ahora tiene más probabilidad de salir. ¿Es el azar un proceso autocorrectivo? ¿Qué validez tiene el razonamiento del jugador que aspira a recuperarse en el juego?
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ProbabilidadComo las probabilidades asignadas a los eventos (los eventos equivalen a puntos en términos geométricos dentro de un es- pacio de muestreo) son las frecuencias relativas esperadas con base en consideraciones de simetría, o bien las frecuencias relativas de una larga serie de experimentos prácticos, las pro- babilidades deben ser números comprendidos entre 0 y 1 y la suma de todas ellas debe ser 1, porque la suma de un conjunto completo de frecuencias relativas siempre es uno. En los expe- rimentos relativos a lanzar monedas al aire, extraer de una urna bolas de colores, o lanzar dados, obviamente las probabilida- des deben sumar uno, puesto que se construyeron para que así fuera. Si las probabilidades para el experimento de los nú- meros aleatorios se hubieran basado totalmente en las frecuen- cias relativas obtenidas en una larga serie de experimentos, entonces esas probabilidades sumarán uno.
Ahora bien, en toda situación experimental, ya sea académica o real, es privilegio del estadígrafo el asignar las probabilidades que él desee a los posibles resultados del experimento, siem- pre y cuando sean números entre cero y uno y, además, la suma total de ellos sea uno. Al asignar estos números, se guia- rá por la naturaleza de la situación y por su conocimiento de ella. Generalmente, es muy sencillo asignar probabilidades sa- tisfactorias a los resultados posibles de los juegos de azar; sin embargo, éste no es el caso para la mayoría
de los fenómenos que pueden estudiarse en la vida real. Por ejemplo, si el experimento consiste en seleccionar un individuo al azar de entre la población de una ciudad y el inte- rés está enfocado en saber si el individuo morirá o no durante el siguiente año, enton- ces la única forma satisfactoria de asignar probabilidades aquí es aplicando la experien- cia de las compañías aseguradoras. Si uno es- tuviera interesado en determinar correcta- mente las primas de seguros, sería necesario asignar las probabilidades de muerte para cada una de las edades. Generalmente estas probabilidades se toman iguales a los valores
los años. Como las tasas de mortalidad han ido decreciendo a medida que transcurren los años, para casi todos los grupos de eda- des, toda tabla de mortalidad con base en la experiencia del pasado resultará obsoleta para predecir el futuro. Así pues, las proba- bilidades que se asignan con base en experiencias del pasado pueden no aproxi- marse mucho a las verdaderas fre- cuencias relativas existentes ac- tualmente y, en consecuencia, las primas calculadas a partir de ellas no son muy exactas. Afortunada- mente para las compañías de se- guros, las primas calculadas con base en experiencias del pasado siempre son mayores que las que podrían obtenerse a partir de da- tos más recientes.
En muchas situaciones de la ad- ministración pública existe muy poca experiencia sobre la cual se
situación que se presenta frecuentemente, la experiencia pasada puede no estar al día, como en el caso de las tasas de seguros que debe cobrar una aseguradora como la Pre- visora (empresa comercial del Estado). Para situaciones nuevas en los negocios puede no existir experiencia comparable que sirva de ayuda en la selección de las probabilida- des. Cuando se presente
cualquiera de estas dos situa- ciones, la asignación se fun- dará en el criterio del hom- bre de negocios, respecto de los diferentes posibles resul- tados por ocurrir. Una vez que estas probabilidades han sido asignadas, pueden tra- tarse matemáticamente como probabilidades verda- deras de la misma manera que las probabilidades que son asignadas por el uso de la simetría y de la experien- cia para juegos de azar. La confiabilidad de un modelo
matemático basado en un conjunto de probabilidades depen- derá, por cierto, del realismo con que se asignen dichas pro- babilidades. El papel principal del estadístico es usar las proba- bilidades dadas para calcular las probabilidades de diferentes acciones consideradas, y contribuir a la interpretación de esas probabilidades. El gerente público que provee las probabilida- des iniciales debe tomar la decisión final, basado en las proba- bilidades calculadas de las diferentes acciones posibles y en su confianza en la exactitud de sus juicios de probabilidad origina- les.
De acuerdo con la discusión anterior, concluimos que la pro- babilidad de un evento simple se interpreta como la frecuencia relativa teórica o ideal delevento o como la medida que da un individuo de su esperanza en la ocurrencia del evento. Esto no implica de modo necesario que la frecuencia relativa observa- da en la ocurrencia del evento tienda a su probabilidad para un número suficientemente grande de experimentos, ya que pue- de no haberse escogido en forma correcta el modelo; sin em- bargo, se espera que sea así. En esta forma, si suponemos que se tiene un dado homogéneo, podemos esperar que la frecuen- cia relativa observada de, digamos, que aparezca un 4, mues- tre tendencia hacia la probabilidad 1/
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a medida que se hace un
mayor número de tiradas del dado; sin embargo, no debe uno preocuparse demasiado si no tiende a 1/
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, debido a
las imperfecciones en cualquier artículo manufac- turado y debido a la dificultad de simular un expe- rimento ideal. En este sentido, debe notarse que los operadores de casas de juego han tenido éxito financiero suponiendo que los dados se compor- tan tal como se espera. Es indudable que ellos han lanzado los dados un número de veces bastante alto para comprobar tales suposiciones. Desde lue- go que si la experiencia muestra que un dado no se comporta en la forma esperada, rápidamente se sustituye por otro.
La construcción de modelos teóricos para explicar la naturaleza es la principal función de los hombres de ciencia. Si los modelos son realistas, las conclu- siones derivadas de ellos serán probablemente rea-
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Probabilidadlistas también. Es relativamente sencillo construir un modelo de probabilidad para juegos de azar, pero es más difícil cons- truirlo para situaciones del ámbito de la administración pública donde existe muy poca experiencia sobre la cual fundar el modelo. La confiabilidad de un modelo de probabilidad para la gerencia pública dependerá obviamente de la cantidad de cono- cimiento que se tenga de la situación en cuestión.