Variable Groups 24

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¿De dónde vienen los datos? ¿La fuente es parcial? ¿Es posible que haya un interés en proporcionar datos que conduzcan a una cierta conclusión más que a otras? ¿Los datos comprueban o contradicen otras evidencias que se poseen? ¿Hace falta alguna evidencia cuya au- sencia podría ocasionar que se llegue a una conclusión diferente? ¿Cuántas observaciones se tienen? ¿Repre- sentan a todos los grupos que se desea estudiar? ¿La conclusión es lógica? ¿Se ha llegado a conclusiones que nuestros datos no confirman? ¿Vale la pena usar los datos o debemos esperar y recabar más información antes de actuar?

Con respecto a las muestras y poblaciones vimos que:

Muestra y población son términos relativos. Una pobla- ción es un todo y una muestra es una fracción o seg- mento de ese todo. El estudio de muestras es más sen- cillo que el estudio de la población completa, cuesta menos y lleva menos tiempo. Además, se ha probado que el examen de una población entera todavía permite la aceptación de elementos defectuosos, por tanto, en algunos casos, el muestreo puede elevar el nivel de ca- lidad.

Una población es un conjunto de todos los elementos que estamos estudiando, acerca de los cuales intenta- mos sacar conclusiones. Debemos definir dicha pobla- ción de modo que quede claro cuándo un cierto ele- mento pertenece o no a la población.

Una muestra es una colección de algunos elementos de la población, pero no de todos. Cualquier grupo que cumple con los requisitos de la población, puede cons- tituir una muestra, siempre y cuando el grupo sea una fracción de la población completa. Una muestra repre- sentativa contiene las características relevantes de la

Recapitulación

En las dos unidades anteriores vimos que:

Los datos son colecciones de cualquier can- tidad de observaciones relacionadas. Una colección de datos se conoce como conjunto de datos, y una sola observación es un pun- to de dato. Para que los datos sean útiles, necesitamos organizar nuestras observacio- nes, de modo que podamos distinguir pa- trones y llegar a conclusiones lógicas.

Los especialistas en estadística seleccionan sus observaciones de manera que todos los grupos relevantes estén representados en los datos. Los datos pueden provenir de obser- vaciones reales o de registros que se man- tienen para otros propósitos.

Los datos pueden ayudar a los responsables de tomar decisiones a hacer suposiciones bien pensadas acerca de las causas y, por tanto, de los efectos probables de ciertas características en situaciones dadas. Tam- bién el conocimiento de tendencias adquiri- do de la experiencia previa puede permitir estar al tanto de posibles resultados y ac- tuar en consecuencia.

Cuando los datos son ordenados de mane- ra compacta y útil, los responsables de to- mar decisiones pueden obtener información confiable sobre el ambiente y usarla para tomar decisiones inteligentes. Los adminis- tradores deben tener mucho cuidado y ase- gurar que los datos utilizados están basados en suposiciones e interpretaciones correc- tas. Para ello, se utilizan las pruebas para datos:

Datos tratados: conjunto de datos que ha sido objeto de algún tipo de ordenamiento o procesamiento.

La forma más básica de organizar los datos es la tabla. Esta se compone de líneas y co- lumnas y los elementos esenciales en esta son:

* Título, en el que se destaca el ob- jeto de la tabla. Respondemos aquí a que, cuando y donde; si es necesario se agregan notas con explicaciones.

* Columna principal en que se ano- tan las categorías.

* Encabezado de las columnas en el que se explica el objeto de cada una. * Cuerpo, es decir la parte que con- tiene la información.

* Notas al pie con el objeto de acla- rar ciertas operaciones y relaciones que se utilizan en la tabla; también se debe indicar en ella la fuente de información.

Supongamos que el contador de una em- presa comunitaria que produce y comercia- liza abrigos en cuero, presenta in informe semestral así: semestre enero – junio de 2001. Unidades vendidas: 38.810. Distribui- das así: ventas en Bogotá 17.850 unidades a $370.000 c/u por un total de $6.604.500.000; ventas a otras ciudades: 12.560 unidades a $410.000 c/u con un total de $5.149.600.000; ventas de expor- tación: 8.400 unidades a $480.000 c/u con un total de $4.032.000.000. Total de ven- tas: $15.786.100.000.

ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS Búsqueda de un patrón significativo en los datos:

Existen muchas formas de organizar los datos. Pode- mos sólo colectarlos y mantenerlos en orden; o si las observaciones están hechas con números, entonces podemos hacer una lista de los puntos de dato de me- nor a mayor según su valor numérico. Pero si los datos son trabajadores especializados o los distintos tipos de automóviles que ensamblan todos los fabricantes, de- bemos organizarlos de manera distinta. Necesitaremos presentar los puntos de dato en orden alfabético o me- diante algún principio de organización. Una forma co- mún de organizar los datos consiste en dividirlos en ca- tegorías o clases parecidas y luego contar el número de observaciones que quedan dentro de cada categoría. Este método produce una distribución de frecuencias.

El objetivo de organizar los datos es permitirnos ver rá- pidamente algunas de las características de los datos que hemos recogido: el alcance (los valores mayor y menor), patrones evidentes, alrededor de qué valores tienden a agruparse los datos, qué valores aparecen con mayor frecuencia, etc.

Datos sin procesar (Datos no ordenados):

La información obtenida, antes de ser organizada y ana- lizada, se conoce como datos sin procesar puesto que aún no han sido tratados mediante ningún método es- tadístico.

La cantidad de datos más grande y los detalles más mi- nuciosos pueden no contener la información más útil para la toma de decisiones administrativa. Una parte importante de la planeación de sistemas de información administrativa consiste en resumir y presentar los datos de modo que se pueda obtener la información crítica de manera rápida y sencilla.

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¿Como son las cifras del informe? ¿Se captan con facilidad en una simple lectura?.

Ahora si los organizamos en una tabla, preferiblemente, haciendo uso de una hoja de calculo tendremos lo siguiente:

Figura No. 3.1 Uso de la hoja de cálculo para elaborar tablas con facilidad.

Como se puede ver, la información aparece mucho más organizada y nos aho- rramos muchos cálculos. Veamos ahora las formulas que se utilizan en la hoja de calculo y notemos como, sólo requerimos introducir los datos básicos del problema: precio unitario y cantidad:

Otro aspecto importante es la elección de las unidades de medida de las magnitudes, se debe indicar si se trabaja con cientos, miles o millones. La buena elección de las unidades determina la clari- dad y el tamaño del cuadro.

Un tipo especial y muy útil de tablas es el de arreglo cronológico o histórico, se utilizan para mostrar variaciones periodo a periodo ya sea de producción, poblaciones, agentes climáticos, etc. El perio- do de tiempo depende de lo que se desee mostrar o comparar. Por ejemplo el siguiente cuadro mues- tra la variación del Índice de Pre- cios al Consumidor en Colombia durante los primeros siete meses de 2.001.

Figura 3.3. Hoja de cálculo con tabla de arreglo cronológico.

Los incrementos se calculan así:

(Índice de período actual – índice de período base)/(índice de perío- do base)

Revisemos como se realizan los cál- culos en la hoja y comparemos con la fórmula anterior.

Figura 3.4. Formulas usadas en la hoja de cálculo para tablas históricas

Ordenamiento de datos utilizando su arreglo y distribución de frecuencias:

Arreglo de datos: organización de los datos sin procesar por observación, tomados en orden ascendente o descendente.

La ordenación de datos es una de las formas más sencillas de presentarlos, los forma en orden ascendente o descendente.

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Ventajas:

* Podemos notar rápidamente los valores mayor y menor de los datos.

* Podemos dividir fácilmente los datos en seccio- nes.

* Podemos ver si algunos de los valores aparecen más de una vez en ese ordenamiento.

* Podemos observar la distancia entre valores su- cesivos de datos.

En ocasiones, un ordenamiento de datos no resulta útil. Debido a que da una lista de todos los valores, es una forma incómoda de mostrar grandes cantidades de datos. Cuando se tie- nen estas tablas numerosas en hojas de cálculo se puede recurrir al uso de las tablas dinámi- cas.

La distribución de frecuencias.

Una forma en que podemos comprimir los da- tos es la tabla de frecuencias o distribución de frecuencias. Las distribuciones de frecuencias sacrifican algunos detalles, pero ofrecen nue- vas perspectivas sobre los patrones de datos. Consisten en despliegues organizados de datos que muestran el número de observaciones del conjunto de datos que entran en cada una de las clases de un conjunto de clases mutuamen- te exclusivas y colectivamente exhaustivas. Asig- nación de frecuencias a cada uno de los valo- res de una variable o atributo.

Se trabajan en estadística cuatro tipos de fre- cuencia, que se refieren a la misma característi- ca pero nos brindan información diferente. Es- tas son: la frecuencia absoluta o número de

una variable o atributo, la frecuencia relativa o porcentaje de veces que se repite un valor, la frecuencia acumulada o numero de datos que están por encima o por debajo de cierto valor y las frecuencias relativo-acumuladas o acu- mulado-relativas o porcentajes de la frecuencia acumula- da respecto del total de datos.

Características de las distribuciones de frecuencias relativas.

Podemos expresar la frecuencia de cada valor como una fracción o un porcentaje del número total de observacio- nes. Para obtener este valor, dividimos la frecuencia de esa clase entre el número total de observaciones del con- junto de datos. La respuesta se puede expresar como una fracción, un número decimal o un porcentaje.

La suma de todas las frecuencias relativas es igual a 1,00 o a 100%. Esto es así debido a que una distribución de frecuencias relativas aparea a cada clase con su fracción o porcentaje apropiados del total de datos. Por consi- guiente, las clases que aparecen en cualquier distribución de frecuencias, ya sean relativas o simples, son completa- mente inclusivas. Todos los datos caen en una u otra ca- tegoría. Las clases son mutuamente exclusivas, es decir, ningún punto de dato cae en más de una categoría.

En las distribuciones de frecuencias no aparecen clases que se traslapen.

Podemos, también, clasificar la información de acuerdo con características cualitativas, como raza, religión y sexo, que no entran de manera natural en clasificaciones numéricas. Como clases de atributos cuantitativos, éstas deben ser com- pletamente inclusivas y mutuamente exclusivas.

La categoría «otros» se conoce como clase de extremo abier- to cuando permite que el extremo inferior o el superior de una clasificación cuantitativa no estén limitados.

Los esquemas de clasificación pueden ser tanto cuantitati- vos como cualitativos y tanto discretos como continuos. Las clases discretas son entidades separadas que no pasan de una clase discreta a otra sin que haya un rompimiento. Los datos discretos son aquellos que pueden tomar sólo un número limitado de valores.

Los datos continuos pasan de una clase a otra sin que haya un rompimiento. Implican mediciones numéricas. Recorde- mos que, los datos continuos pueden expresarse con nú- meros fraccionarios o con enteros y las variables discretas son cosas que se pueden contar y las continuas son cosas que aparecen en algún punto de una escala.

Construcción de una distribución de frecuencias:

Lo primero es decidir el tipo y número de clases para dividir los datos. De acuerdo con la medida cuantitativa o un atri- buto cualitativo. Necesitamos decidir cuántos in-

tervalos de clase distintos usar y el ancho de cada uno. Un intervalo de clase es un agrupamiento de valores de una variable.

El número intervalos de clase depende del núme- ro de puntos de dato y del rango de los datos recolectados. Cuantos más puntos de dato se ten- gan o cuanto más grande sea el rango, más clases se necesitarán para dividir los datos. Como regla general, los estadísticos rara vez utilizan menos de 6 y más de 15 clases.

Debido a que necesitamos hacer los inter- valos de clase de igual tamaño, el número de clases determina el ancho de cada clase, salvo cuando se requieran clases de extre- mo abierto. Una clase de extremo abierto es la que permite que el extremo superior o in- ferior de un esquema de clasificación cuan- titativo no tenga límite.

Ejemplo. Si tenemos que el instructor físico de una institución de formación deportiva tiene a su cargo 108 deportistas de 11 a 15 años; para analizar el comportamiento de las estaturas de estos los mide redondeando las alturas al centímetro más próximo y las anota en la ficha de registro de cada uno. Con los datos de las fichas elabora un listado en el que aparecen sin ningún orden. Estos co- rresponden a datos no ordenados.

Luego procede a ordenar los datos elabo- rando un cuadro en el que aparecen las es- taturas de menor a mayor, de manera que por cada dato que va contando coloca una raya al frente, haciendo con las rayas cua- dros con una raya al través de manera que cada uno completo quedará formado por 5 rayas. Esto facilitará el conteo final de las rayas.

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Alcance o rango de los datos: diferencia en- tre el mayor y menor valor de la serie. Rango = 162 – 125 = 37

Ancho de los intervalos de clase = (valor unitario siguiente después del valor más gran- de de los datos – valor más pequeño de los datos) / número total de intervalos

Debemos utilizar el siguiente valor más alto de las mismas unidades, ya que estamos midiendo el intervalo entre el primer valor de una clase y el primer valor de la siguien- te.

Ancho de clase = (163 - 125) / 8 = 4,75 Hemos optado por tomar 8 clases. Redon- deamos el ancho de clase a 5, quedando con un rango ajustado de 40. El exceso del ran- go ajustado lo distribuimos en el primero y el último intervalo. Así, los intervalos parti- rán desde 124 hasta 164.

Ahora formamos intervalos de clase de an- cho 5 con límites reales que se ubican en el punto medio entre el límite superior de una clase y el límite inferior de la siguiente. Lue- go observamos si hay ambigüedad en los datos, en este caso no la hay por que se redondearon las medidas al

centímetro más cercano aplicando la regla del redon- deo y así los datos son en- teros. Cuando se presentan las ambigüedades utilizamos la expresión menor que el lí- mite superior, de manera que este no quedará inclui- do en el intervalo, mientras el límite inferior si.

de clase y su valor es igual a la mitad de la suma de los límites superior e inferior de la clase. Luego de clasificar los datos en clases, contamos el número de datos que hay en cada clase y elaboramos la tabla siguiente.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS

Representación gráfica de las distribuciones de frecuencias:

Las gráficas dan los datos en un diagrama de dos dimensiones. Sobre el eje horizontal podemos mostrar los valores de la va- riable (la característica que estamos midiendo). Sobre el eje vertical señalamos las frecuencias de las clases mostradas en el eje horizontal.

Las gráficas de distribuciones de frecuencias simples y de dis- tribuciones de frecuencias relativas son de utilidad debido a que resaltan y aclaran los patrones que no se pueden distinguir fácilmente en las tablas. Atraen la atención del que las observa hacia los patrones existentes en los datos. Las gráficas pueden también ayudarnos a resolver problemas concernientes a las distribuciones de frecuencias. Nos permitirán estimar algunos valores con sólo una mirada y nos proporcionarán una verifi- cación visual sobre la precisión de nuestras soluciones.

Histogramas.

Un histograma consiste en una serie de rectángulos, cuyo an- cho es proporcional al alcance de los datos que se encuentran dentro de una clase, y cuya altura es proporcional al número de elementos que caen dentro de cada clase. Si las clases que utilizamos en la distribución de frecuencias son del mismo an- cho, entonces las barras verticales del histograma también tie- nen el mismo ancho. La altura de la barra correspondiente a cada clase representa el número de observaciones de la clase. Como consecuencia, el área contenida en cada rectángulo (an- cho por altura) ocupa un porcentaje del área total de todos los rectángulos igual al porcentaje de la frecuencia de la clase co- rrespondiente con respecto a todas las observaciones hechas.

Un histograma que utiliza las frecuencias relativas de los pun- tos de dato de cada una de las clases, en lugar de usar el nú- mero real de puntos, se conoce como histograma de frecuen- cias relativas. Este tipo de histograma tiene la misma forma que un histograma de frecuencias absolutas construido a par- tir del mismo conjunto de datos. Esto es así debido a que en ambos, el tamaño relativo de cada rectángulo es la frecuencia de esa clase comparada con el número total de observaciones.

Polígono de frecuencias:

Representación gráfica de la distribución de frecuencias en forma suavizada de una va- riable contínua con una línea que une los puntos medios de cada clase de un conjun- to de datos, trazada a la altura correspon- diente a la frecuencia de datos.

Son otra forma de representar gráficamente distribuciones tanto de frecuencias simples como relativas. Para construir un polígono de frecuencias señalamos éstas en el eje ver- tical y los valores de la variable que estamos midiendo en el eje horizontal. A continua- ción, graficamos cada frecuencia de clase trazando un punto sobre su punto medio y conectamos los resultantes puntos sucesi- vos con una línea recta para formar un polí- gono.

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Se añaden dos clases, una en cada extremo de la escala de valores observados. Estas dos nuevas clases que contienen cero observa- ciones permiten que el polígono alcance el eje horizontal en ambos extremos de la dis- tribución.

Un polígono de frecuencias es sólo una línea que conecta los puntos medios de todas las barras de un histograma. Por consiguiente, podemos reproducir el histograma mediante el trazado de lí- neas verticales desde los límites de cla- se y luego conectando tales líneas con rectas horizontales a la altura de los pun- tos medios del polígono.

Un polígono de frecuencias que utiliza frecuencias relativas de puntos de dato

mero real de puntos, se conoce como polígono de frecuencias relativas. Este polígono tiene la misma forma que el polígono de frecuencias construido a partir del mismo conjunto de da- tos, pero con una escala diferente en los valores del eje verti- cal.

Ventajas de los histogramas:

Los rectángulos muestran cada clase de la distribución por se- parado. El área de cada rectángulo, en relación con el resto, muestra la proporción del número total de observaciones que se encuentran en esa clase.

Ventajas de los polígonos de frecuencias:

Es más sencillo que su correspondiente histograma. Traza con más claridad el perfil del patrón de datos. Se vuelve cada vez

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