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Un primer ejemplo de variedades parabólias son las variedades ompatas. En

efeto,sea

u

unafuniónsubarmóniasobreunavariedadompata

Σ

on

sup

Σu <

+∞

. Entones por laompaidad de

Σ

obtenemos

Z

Σ

∆u= 0.

De aquí que

∆u

= 0

sobre

Σ

. Por otro lado, dado que

∆u

2

_{= 2(u∆u}

_+|∇u|2₎

tenemos

∆u

2

_{= 2|∇u|}2

_≥

₀

. De nuevo, utilizando la ompaidad de la variedad se

sigue que

Z

Σ

∆u2

= 0.

Luego,

∆u

2

_{= 0}

esto implia que

∇u

= 0

. Por onsiguiente,

u

es onstante y esto pruebaque

Σ

es parabólia.

Otro ejemplo de variedadparabólia es

R

2

. Para probar esto seguiremos laidea

dadaporKazdanen[28,página155℄.Consideremos

u

una funiónnonegativasobre

R2

tal que

∆u

≤

0

y denotemos por

u(r)

el promedio de

u

sobre la irunferenia on entroen elorigen y radio

r

. Esto es,

u(r) =

1

2πr

Z

x2_+y2_=r2

u(x, y)ds.

Dadoque el laplaianoen oordenadas polares está dado por

∆u=

1

r(rur)r+

1

r2uθθ

vemos que

(ru

′₎′

_≤

₀

y

u

≥

0

. Analizando esta euaión diferenial ordinariaon- luimos que

u

es onstante. Entones

∆u

= ∆u

= 0

. Como

∆u

≤

0

esto implia

∆u

= 0

. Para mostrar que

u

es a su vez una onstante, sea

v

= 1−e

−u

. Entones

v

_≥0

y

∆v

= (∆u_{− |∇}u_|2_)e−u

_≤0.

Apliando el razonamiento anterior a la funión

v

enontramos que

∆v

= 0

. Pero de (2.22) vemos que

∇u= 0

y entones

u

esonstante.

A ontinuaión, enuniamos un riterio lásio dado por Ahlfors [8℄ y Blan-

Fiala-Huber[27℄ que nos permitedeterminar si una superiees parabólia.

Teorema2.2.2. Si

Σ

esunasuperieompletaonurvaturadeGaussnonegativa

K

≥0

entones

Σ

es parabólia.

Evidentemente, el teorema anterior nos permite argumentarde una formadife-

renteque

R

2

esparabólia.

Por otra parte,

R

n

on

n

≥

3

no es una variedad parabólia. Para ver esto es suiente on dar un ejemplo explíito de una funión superarmónia positiva que

nosea onstante. Porejemplo, esfáil verque lafunión

u(x) = (1 +_|x_|2)−(n−2)/2,

umplelosrequisitos.Nosfaltamenionar que

R

1

esparabólio,y para argumentar

esta armaiónpodemosutilizarla paraboliidadde

R

2

. Enefeto,sea

u:R

1

_→R1

una funión que satisfae

u

′′

_≤0

y

u≥0.

Ahora, onsideremos lafunión

v

:R

2

_→

R1

dada por

v(x, y) =u(x),

para todo

(x, y)∈R

2

. Observe que

v

esuna funión no negativapues

u

también es nonegativa.Además

∆v

=

∂

2_v

∂x2

+

∂2_v

∂y2

=u

′′_(x)

≤0.

Así que,

v

es una funión superarmónia no negativa, pero omo

R

2

es parabólio

tenemos que

v

es onstante. Luego

u

también esonstante.

En la siguiente proposiión probaremos que la paraboliidad es un invariante

onforme en dimensión

n= 2

.

Proposiión 2.2.3. Sea

(Σ, g)

una superie riemanniana y

eg

=e

2u_g

una métria

onforme a

g

, donde

u∈C

∞_(Σ)

. Entones

(Σ, g)

es parabólia siy sólo si

(Σ,eg)

es parabólia.

Demostraión. Si

eg

es una métria onforme a

g

, es laro que

g

es una métria onforme a

eg

(pues

g

=

e

−2u_eg

). Por lo tanto, para demostrar esta proposiión sólo

es neesario probaruna impliaión.

Veamos entones que la ondiión es suiente. Consideremos una funión

f

sobre

Σ

talque

f

_≤0

y

∆fe

≥0,

donde

∆e

es el laplaiano on respeto a la métria

eg

. Como

eg

=

e

2u_g

tenemos

e

∆ =e−2u_∆

y porlotanto

f

≤0

y

∆f

≥0

.Sabemos que

(Σ, g)

esparabólia, luego

Del heho que

R

1

esparabólio y

H

1

isométrio a

R

1

tenemos que otro ejemplo

de variedad parabólia es

H

1

. Pero a diferenia del plano eulídeo

R

2

, el plano

hiperbólio

H

2

on sumétriaestándar noesparabólio.Enefeto, onsideremosel

plano hiperbólio en elmodelo deldiso unidad on su métriaestándar

e

g

=

4

(1−r2₎2(dx

2_+dy2_),

donde

r

2_=x2_+y2

. Estees onformealamétriallana

g

=dx

2_+dy2

sobreeldiso

unidad,asíquesus laplaianosson proporionales.Entones lasdos métriastienen

las mismas funiones subarmónias (o superarmónias). Conluimos que hay mu-

has funionessubarmóniasaotadas sobreelplanohiperbóliodadoqueualquier

funiónsubarmóniarespetoalamétria

g

eneldisoderadio2esiertamenteao- tada en el diso unitarioy por lotantoen el planohiperbólio. Conseuentemente,

H2

nopuede ser parabólio.

Al ver algunos de los ejemplos estamos tentados a pensar que la paraboliidad

depende de la dimensión de la variedad. Esto es engañoso, pues en la siguiente

proposiión podemos ver uando un produto es parabólio sin preouparnos que

tan grande sea sudimensión.

Proposiión 2.2.4. Si

(Σ, g1)

es una variedad ompata y

(N, g2)

es una variedad parabólia, entones

Σ×N

on la métria produto es también parabólia.

Demostraión. Sea

u: Σ×N

→R

una funión superarmónia nonegativa,esto es,

∆u_≤0

y

u≥0.

Consideremos la funión

v

:N

→R

dada por

v(y) =

Z

Σ

u(x, y)dx,

para todo

x

∈

Σ

. Note que

v

≥

0

(pues

u

≥

0

) y dado que

Σ

es ompata por el teoremade ladivergenia tenemos que

Z

Σ

∆u=

Z

Σ

∆Σu+

Z

Σ

∆Nu=

Z

Σ

∆Nu.

Luego,

∆Nv

=

Z

Σ

∆Nu(x, y)dx=

Z

Σ

∆u(x, y)dx_≤0.

(2.23) Entones

v

es una funión no negativa y superarmónia, y omo

N

es parabólia entones

v

debe ser onstante. Por lo tanto,

∆Nv

= 0

. Luego, por (2.23) y elheho que

∆u≤0

tenemos que

Consideremos

w= 1₋e−u

y observemos que

w

esuna funiónnonegativapues

u≥0

.Como

w

esuna funión de

u

, esto es,

w=f(u)

donde

f(t) = 1−e

−t

.Entones

∆Nw=f′(u)∆Nu+f′′(u)|∇u|2,

notemosque

f

′_{(t) =e}−t

y

f

′′_{(t) =}

_−e−t

. Luego,

∆Nw=e−u(∆Nu− |∇u|2) =−e−u|∇u|2

≤0.

Demaneraque

w

esunafunión superarmóniaynonegativa.Dadoque

N

espara- bólia,entones

w

esonstante,estoimpliaque

∆Nw= 0

,esdeir,

−e

−u_|∇u|2

_{= 0}

,

pero omo

e

−u

_>0

tenemos que

∇u= 0

, porlo tanto

u

es onstante. En partiular,

Σ×R

2

on

Σ

ompata esparabólia.

2.3. Completitud estoástia y el prinipio débil del

máximo de Omori-Yau

Reordemos que la ompletitud estoástia es la propiedad de que un proeso

estoástiotengatiempodevida(intrínseo)innito.Unaondiiónanalítialásia

para expresar laompletitud estoástiaes lasiguiente.

Deniión 2.3.1. Una variedad riemanniana

Σ

se die que es estoástiamente ompleta si para algún(y porlo tanto, ualquier)

(x, t)∈Σ×(0,+∞)

Z

Σ

p(x, y, t)dy= 1,

(2.24)

donde

p(x, y, t)

es elnúleo de alor (minimal)deloperador laplaiano

∆

.

Notemos que en la deniión anterior la variedad riemanniana

Σ

no se supone que sea geodésiamente ompleta. En verdad, siguiendo a Dodziuk [21℄, podemos

onstruir un núleo de alor minimalsobreuna variedadriemanniana arbitrariao-

moelsupremo de losnúleosde alor de Dirihlet sobreuna suesión exhaustivade

dominiosrelativamenteompatoson fronteradifereniable.Laondiión analítia

expresada en(2.24)esequivalenteaotronúmerode propiedades.Porejemplo,tene-

mosquelassiguientesaraterizaionessonequivalentesalaompletitudestoástia

(para una prueba, véase [23, Teorema6.2℄).

Teorema 2.3.2. Sea

Σ

una variedad riemanniana.Entones las siguientesarma- iones son equivalentes:

(i)

Σ

es estoástiamente ompleta.

(ii) Para todo

λ >0

, laúnia soluión difereniable aotada no negativa de

∆u≥

λu

sobre

Σ

es

u≡0

.

(iii) Para todo

λ >0

, la únia soluión difereniable aotada no negativa de

∆u=

λu

sobre

Σ

es

u≡0

.

(iv) Para todo

T >0

, la únia soluión aotadasobre

Σ×(0,+T)

delproblema de Cauhy







∂u

∂t

=

1

2∆u

u_|t=0+

= 0

en el sentido

L

1

lo

(Σ)

es

u≡0

.

Observemos que toda variedad riemanniana parabólia laramente satisfae la

ondiión

(ii)

en el Teorema 2.3.2 y por lotanto es estoástiamente ompleta. En [43℄,Pigola,RigoliySettienontraronlasiguientearaterizaióndelaompletitud

estoástia.

Teorema 2.3.3. Sea

Σ

una variedad riemanniana. Entones lassiguientes arma- iones son equivalentes:

(a)

Σ

es estoástiamente ompleta. (b) Paratoda funióndifereniable

u∈ C

2_(Σ)

on

u

∗

_{= sup}

Σu <+∞

, y para todo

ε >0

,

´ınf

Ωε

∆u_≤0

donde

Ωε

={x∈Σ :u(x)> u

∗_−ε}

.

() Para toda funión difereniable

u

∈ C

2_(Σ)

on

u

∗

_{= sup}

Σu <

+∞

existe una suesión de puntos

{xk}k∈N⊂Σ

que satisfae, para ada

k

∈N

,

(i)

u(xk)> u

∗₋

1

k,

y (ii)

∆u(xk)<

1

k.

(d) Para toda funión difereniable

u

∈ C

2_(Σ)

on

u

∗

_{= sup}

Σu <

+∞

y toda

f

∈ C0_(R)

, si

∆u

≥f(u)

sobre el subonjunto

Ωε

={x∈

Σ :u(x)> u

∗_−ε}

,

para algún

ε >0

, entones

f(u

∗_)≤0

.

Deniión 2.3.4. Sea

Σ

unavariedadriemanniana(no neesariamente ompleta). Se die que el prinipiodébil del máximode Omori-Yause veriasobre

Σ

si, para ualquierfunióndifereniable

u∈ C

2_(Σ)

on

u

∗

_{= sup}

Σu <+∞

existeunasuesión de puntos

{xk}k∈N

en

Σ

que satisfae

(i)

u(xk)> u∗−

1

k,

y (iii) ∆u(xk)<

1

Similarmente,paraualquierfunióndifereniable

u∈ C

2_(Σ)

on

u∗= ´ınfΣu >−∞

existe una suesión de puntos

{xk}k∈N

en

Σ

on laspropiedades

(i)

u(xk)< u∗+

1

k,

y (iii) ∆u(xk)>−

1

k.

(2.26)

Enpartiular, elprinipiodébildelmáximode Omori-Yauseveriasobretoda

variedad riemannianaparabólia.

Proposiión2.3.5. Noexistensubvariedadesminimalesyaotadasen

R

m

quesean

estoástiamente ompletas.

Demostraión. Porontradiiónsupongamosque

ψ

: Σ

n_→Rm

esunasubvariedad

estoástiamenteompleta, minimalyaotada, esto es, existe

r >0

talque

ψ(Σ)⊂

B(0, r)

. Consideremos la funión

u: Σ→R

dada por

u=

1

2|ψ|

2

y observemos que

u

≤

(1/2)r

2

_<

_+∞

entones

u

∗

_<

_+∞

. Además, para todo

X

∈ X(Σ)

tenemos que

X(u) =

1

2X(hψ, ψi) =h∇Xψ, ψi=

X, ψ⊤

Luego,

∇u=ψ

⊤

.

Por otra parte,

X

=

∇Xψ

=

∇Xψ

⊤

_+∇

Xψ⊥

. Apliando las fórmulas de Gauss y Weingarten obtenemos

X

=

∇Xψ

⊤

_{+σ(X, ψ}⊤_)−A

ψ⊤X

+∇⊥_Xψ⊥

. De aquí que

∇X∇u=X+Aψ⊥X

y

∇

⊥_ψ⊥

_{=−σ(X, ψ}⊤₎

. Portantoel laplaianode

u

está dado por

∆u=

n

X

i=1

h∇Ei∇u, Eii=n+

n

X

i=1

Aψ⊥Ei, Ei

=n+ tr(Aψ⊥) =n+nh

H

, ψi.

Porotro lado,omo

Σ

veriaelprinipiodébildelmáximode Omori-Yauentones existe

{xk} ⊂Σ

tal que

u(xk)< u∗−

1

k

y

∆u(xk)<

1

k.

De maneraque

1

k

>∆u(xk) =n(1 +h

H

(xk), ψ(xk)i)

y dado que para ualquier

x

se tiene

h

H

(x), ψ(x)i ≥ −| h

H

(x), ψ(x)i | ≥ −|

H

||ψ(x)| ≥ −sup

Σ

|

H

|r

onluimos que

1/k > n(1−sup

Σ|

H

|r)

.Tomando ellímite uando

k

→ ∞

obtene- mos

0≥1−sup

Σ

|

H

|r

o lo que es lo mismo

sup

Σ|

H

| ≥

1/r

, pero esto es una ontradiión pues

Σ

es minimal.

2.4. Fórmula tipo Simons y apliaión a subvarie-

dades

En esta seión presentamos una fórmula de tipo Simons para el laplaiano de

las funiones

|Φe|

2

y

|φ1|

2

sobre subvariedades on vetor urvatura media paralelo,

la ual ha sido utilizadapor muhos autores. Pero antes de presentarla analiemos

lasiguienteobservaión.

Observaión 2.4.1.SiH

6=

0podemosesoger

{ξ1, . . . , ξp}

unabaseloalortonormal y normala

Σ

talque

H

=Hξ1.

Obviamente,

φ1

=

A1−HI

y

φα

=Aα

para todo

α

≥

2

. En onseuenia,

|φ1|

2

=

|A1|2−nH2

y

|φα|

2

=_|Aα|2

paratodo

α

≥2

. Diremos que

Σ

n

espseudoumbilial si

y solosi

|φ1|= 0

.

Además, si elvetor urvatura media es paralelo,es deir,

∇

⊥

In document Programmes at the turning point. Challenges, activities and developments for partner regions : September 2003-March 2004 (Page 52-58)