Chapter 7 Overhead-Conscious Sparse Matrix Format Selection
8.2 Future Studies
Los motivos por los que falta información en un registro son por el error del equipo técnico encargado de la estación, eliminación de la información que se consideraba un valor atípico, la estación dejó de funcionar por un cierto tiempo o permanentemente, la estación fue traslada a otra ubicación, entre otros.
Sea la razón por la que falta información de los registros es necesario completar y extenderla. El proceso de completar y extender información hidrometeorológica mensual de los registros de las estaciones utilizadas para el estudio en la cuenca Río Verde es realizado con el programa HEC–4 Monthly Streamflow Simulation. El programa fue elaborado por US Army Corps de Engineers.
Completar y extender el registro de la variable hidrometeorológica de una estación es usar la información de los registros de una misma estación o de otras estaciones para determinar la información faltante del registro y se hace mediante los modelos de regresión lineal simple y/o múltiple. Para completar y extender el registro de una estación en base a otra, se debe considerar las siguientes condiciones:
1) Seleccionar estaciones que tengan buena relación con la estación que se quiere completar su registro.
2) Evitar juntar datos de épocas secas con datos de épocas húmedas, debido a que las correlaciones no serán muy elevadas.
3) Verificar de que las características de la unidad hidrográfica donde pertenecen las estaciones sean similares en su comportamiento hidrológico. En general, las correlaciones entre estaciones cercanas de un mismo río son relativamente buenas.
3.6.1. Método de cálculo HEC – 4.
El programa HEC–4 se basa en regresiones lineales y múltiples simples para completar y extender información hidrometeorológica de los registros de las estaciones (US Army Corps de Engineers, 1971). A continuación, se muestra las ecuaciones que utiliza el
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programa HEC–4 Monthly Streamflow Simulation, según US Army Corps de Engineers (1971, pp. 1 – 7):
1) En la parte del análisis estadístico de este programa, los caudales de cada mes para cada estación se incrementan primero en uno por ciento de su promedio de mes, para evitar logaritmos negativos infinitos. Este incremento se resta posteriormente. Se calculan entonces la media, la desviación estándar y los coeficientes de sesgo para cada estación y cada mes de calendario. Esto implica las siguientes ecuaciones:
𝑋𝑖,𝑚 = log (𝑄𝑖,𝑚+ 𝑞𝑖) 𝑋𝑖 = 1 𝑁∙ ∑ 𝑋𝑖,𝑚 𝑁 𝑚=1 𝑆𝑖 = √∑ (𝑋𝑖,𝑚− 𝑋𝑖) 2 𝑁 𝑚=1 𝑁 − 1 𝑔𝑖 = 1 𝑆𝑖3∙ 𝑁 (𝑁 − 1) ∙ (𝑁 − 2)∙ ∑ (𝑋𝑖,𝑚− 𝑋𝑖) 3 𝑁 𝑚=1 En el cual:
𝑋 : Logaritmo del caudal mensual incrementado.
𝑄 : Caudal mensual registrado.
𝑞 : Pequeño incremento de caudal utilizado para prevenir logaritmos infinitos por meses de caudal cero.
𝑋 : Logaritmo medio de caudales mensuales incrementados.
𝑁 : Total de años de registro.
𝑆 : Estimación imparcial de la desviación estándar de la población.
𝑔 : Estimación imparcial del coeficiente de sesgo de la población.
𝑖 : Número del mes.
𝑚 : Número del año.
2) Si existiera un caudal negativo (𝑄𝑚𝑖𝑛< 0) para cierto mes, primero se añade el valor de −𝑄𝑚𝑖𝑛 a todos los caudales de ese mes y luego se determina el pequeño incremento de caudal 𝑞. Se ajusta el coeficiente de sesgo si |𝑔| > 3.
3) Para cada estación y mes con registro incompleto, se hace una búsqueda de registros mensuales más largos entre las estaciones utilizadas, para encontrar aquel registro que contribuirá más a aumentar la confiabilidad de las estadísticas calculadas del registro incompleto. (𝑁1′)𝑐 = 𝑁1 1 −𝑁2 ′− 𝑁 1 𝑁2′ ∙ 𝑅2
Ésta expresión se utiliza para calcular el registro equivalente requerido que ayudará a aumentar la confiabilidad de las estadísticas del registro incompleto. Las ecuaciones
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de ajuste, mostradas a continuación, son utilizadas sólo si (𝑁1′)𝑐 > 𝑁1′; cuando no ocurre lo anterior no se ajusta ningún estadístico. Además, el ajuste se realiza sólo con la información con la que se logra obtener el mayor valor de (𝑁1′)𝑐.
(𝑋1′)𝑐 = 𝑋1+ (𝑋2′ − 𝑋2) ∙𝑆1 𝑆2∙ 𝑅 (𝑆1′)𝑐 = 𝑆1+ (𝑆2′ − 𝑆2) ∙𝑆1
𝑆2∙ 𝑅
2
Las primas indican los valores de periodo largo y aquellos sin primas se basan en el mismo periodo corto para ambas estaciones 1 y 2, y:
𝑁 : Longitud de registro.
𝑅 : Coeficiente de correlación bruta (simple).
𝑐 : Variable ajustada.
4) El coeficiente de correlación bruta (simple) 𝑅 para el ajuste de los estadísticos se calcula utilizando la siguiente fórmula:
𝑅 = √1 − [1 − (∑ 𝑥1,𝑚∙ 𝑥2,𝑚 𝑁 𝑚=1 ) 2 ∑𝑁 𝑥1,𝑚2 𝑚=1 ∙ ∑𝑁𝑚=1𝑥2,𝑚2 ] ∙𝑁 − 1 𝑁 − 2 En el cual: 𝑥 = 𝑋 − 𝑋
5) Después de ajustar los estadísticos de la media 𝑋 y desviación estándar 𝑆 de cada mes de los registros incompletos, los caudales individuales se convertirán a una variable estándar normalizada, utilizando la siguiente aproximación de la distribución de Pearson Tipo III:
𝑡𝑖,𝑚= 𝑋𝑖,𝑚− 𝑋𝑖 𝑆𝑖 𝐾𝑖,𝑚 = 6 𝑔𝑖∙ [ √ 𝑔𝑖 ∙ 𝑡𝑖,𝑚 2 + 1 3 − 1] +𝑔𝑖 6 𝑡 : Variable estándar de Pearson tipo III.
𝐾 : Variable estándar normal.
Este proceso de transformar todos los caudales a una variable estándar normal es porque la regresión lineal y múltiple simple sólo cumple para información con distribución normal, pues, el residuo (determinado a partir de los valores del registro y de los estimados por la regresión) cumple las siguientes tres hipótesis:
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homocedásticidad, independencia y normalidad. Principalmente, por la última hipótesis de los residuos es que la regresión sólo es para variables que pertenecen a una distribución normal estándar.
6) Se calcula los nuevos coeficientes de correlación, para la regresión lineal simple, entre los meses de cada estación con las variables estándar normalizada. Estos coeficientes de correlación son determinados entre los mismos meses de las diferentes estaciones y también se hace con el mes anterior y variando la estación. Por ejemplo, si se dispone de 4 estaciones (4 meses de enero y diciembre) entonces habrá 6 coeficientes de correlación diferentes sólo para el mes de enero y 16 coeficientes de correlación entre enero y diciembre.
7) Si hay insuficientes observaciones simultáneas de algunos pares de variables para calcular un coeficiente de correlación requerido, aquel valor deberá ser estimado. Cada valor faltante se estima examinando su relación con pares de valores relacionados en el mes actual y el mes precedente mediante el uso de los siguientes subíndices de las fórmulas i, j y k para indicar las variables utilizadas en la correlación.
𝑅𝑖,𝑗 = 𝑅𝑘,𝑖 ∙ 𝑅𝑘,𝑗± √(1 − 𝑅𝑘,𝑖2 ) ∙ (1 − 𝑅 𝑘,𝑗2 )
Puesto que, para ser consistentes con los dos coeficientes de correlación relacionados, el coeficiente de correlación debe situarse entre los límites dados por la ecuación anterior, el límite superior más bajo y el límite inferior más altos son establecidos para todos los pares relacionados, y el promedio de estos dos límites es tomado como coeficiente de correlación estimado.
8) Los caudales mensuales faltantes de los registros de las distintas estaciones son estimadas para todas las estaciones para cada mes en turno. Por lo tanto, siempre que se está reconstituyendo un caudal que falta, siempre existe un valor válido para todas las estaciones ya examinadas en ese mes y para todas las estaciones restantes en el mes actual o anterior.
Para estas estaciones restantes, el valor actual se selecciona cuando está disponible; de lo contrario se utiliza el valor anterior. Para reconstituir el valor faltante, se calcula una ecuación de regresión en términos de las variables estándar normales seleccionando los coeficientes requeridos de la matriz de correlación completa para ese mes y resolviéndolos por el método de Crout, éste sirve para solucionar sistema de ecuaciones.
El valor faltante se calcula de esta ecuación de regresión, introduciendo un componente aleatorio igual a la no determinación de la ecuación, como se discute en el procedimiento de generación de caudal.
9) Se ha encontrado que el uso válido de la técnica de regresión requiere que todos los coeficientes de correlación estén de acuerdo con los datos que serán sustituidos en las ecuaciones y que los coeficientes de correlación sean mutuamente consistentes.
La incoherencia en los coeficientes de correlación causa que la variable dependiente sea sobre-definida y se evidencia por un coeficiente de determinación mayor que 1. Si esto ocurre (debido a datos incompletos), la variable independiente que menos
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contribuye a la correlación se deja, y una nueva ecuación de regresión es calculada. Este proceso se repite como sea necesario hasta que se alcance la consistencia (que debe ocurrir en el momento que solo quede una variable independiente). A fin de hacer la matriz de correlación consistente con la matriz de datos, todos los coeficientes de correlación afectados se recalculan después de cada estimación de los datos que faltan.
10) Las variables estándar normales son entonces convertidas a caudales mediante el uso de las siguientes ecuaciones:
𝑡𝑖,𝑚 = {[ 𝑔𝑖 6 ∙ (𝐾𝑖,𝑚 ′ −𝑔𝑖 6) + 1] 3 − 1} ∙ 2 𝑔𝑖 𝑋𝑖,𝑚 = 𝑋𝑖 + 𝑡𝑖,𝑚∙ 𝑆𝑖 𝑄𝑖,𝑚= antilog(𝑋𝑖,𝑚) − 𝑞𝑖 Imponiendo la restricción: 𝑄𝑖,𝑚 ≥ 0
11) La generación de caudales hipotéticos es realizada computando una ecuación de regresión, por el método de Crout para cada estación y mes, luego calculando el caudal para cada estación en turno para un mes a la vez utilizando la siguiente ecuación. Este proceso se inicia con valores medios (desviación cero) para todas las estaciones en el primer mes y descartando los 2 primeros años de flujos generados.
𝐾𝑖,𝑗′ = ∑ 𝛽𝑟∙ 𝐾𝑖,𝑟′ 𝑗−1 𝑟=1 + ∑ 𝛽𝑠∙ 𝐾𝑖−1,𝑠′ 𝑛 𝑠=𝑗 + √1 − 𝑅𝑖,𝑗2 ∙ 𝑍𝑖,𝑗 En el cual:
𝐾′ : Logaritmo de caudal mensual, expresado como un variable estándar normal.
𝛽 : Coeficiente Beta calculado a partir de la matriz de correlación.
𝑖 : Número del mes.
𝑗 : Número de estación.
𝑛 : Número de estaciones interrelacionadas.
𝑅 : Coeficiente de correlación múltiple.
𝑍 : Número aleatorio de la población estándar normal.
Los caudales máximo, mínimo y promedio son obtenidos por el período completo de caudales registrados y para periodos especificados de caudales reconstituidos y generados mediante la técnica de búsqueda de rutina.
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Con esto ya se tendrá los registros completos y extendidos de cada estación y para cada variable hidrometeorológica: caudal promedio, precipitación total, temperatura máxima y temperatura mínima; en todos los casos es mensual.
El siguiente paso es añadir las tendencias respectivas de cada registro para hacer el modelamiento de la cuenca Río Verde.
Por último, a partir de los registros completos y extendidos que no presentan ni saltos ni tendencias, porque se les fue extraída, se deben de hacer las predicciones para el periodo 2013 – 2050 y según sea el caso verisímil a analizar se le tendrá que añadir la tendencia local, nacional o mundial y por último no se añade ni un tipo de tendencia. Aclaración, tendencial local es la tendencia que posea cada registro y las tendencias nacional o mundial serán mejor definidas en el capítulo correspondiente.