La pregunta 24 de la encuesta pretende aportar a la comprensión de qué aspectos consideran productivos, provechosos o valiosos los formadores en relación con la diversidad de actividades que proponen en sus aulas.
Pregunta 24
1 Tarea 1. Explique por qué le resultó fértil. 2 Tarea 2. Explique por qué le resultó fértil.
Deliberadamente no incluimos en la pregunta una caracterización previa de actividad “fértil” que pudiera condicionar las respuestas de los formadores. Utilizamos la expresión fértil con la intención de acceder al significado que los formadores le atribuyen. Es claro que la respuesta de un formador no permite caracterizar el sentido completo de lo fértil para él, sino solamente una parte.
Lo que los profesores conciben como fértil está en estrecha relación con los modos en que cada uno de ellos se posiciona respecto del conocimiento matemático y con lo que esperan que sus estudiantes aprendan en sus clases14. En este sentido, el análisis de las respuestas a esta pregunta da elementos para acceder a los diferentes posicionamientos de los formadores.
Dado que la pregunta 24 era de respuesta abierta, para informar sobre los resultados se hizo necesario considerar algún criterio para agruparlas. Con este fin asociamos las respuestas teniendo en cuenta las razones por las cuales los formadores identifican una actividad como fértil. La actividad mencionada en la respuesta no constituyó un criterio de asociación.
De los 452 formadores que marcaron que enseñan materias con contenido disciplinar y que, por tanto, podían contestar esta pregunta, lo hicieron 382.
Con la intención de reflejar los distintos énfasis de los formadores en torno a las razones por las cuales consideran fértil una actividad, agrupamos las respuestas en ocho categorías que hacen foco en:
1.Respuestas que hacen foco en distintos aspectos de la “actividad matemática” desplegada en el aula.
2.Respuestas que hacen foco en la tarea del formador
3.Respuestas que hacen foco en el protagonismo de los estudiantes en la clase y en cambios en su relación con la Matemática
4.Respuestas que hacen foco en la experiencia sensible de los estudiantes del profesorado (por ejemplo, mirar, tocar, manipular)
5.Respuestas que hacen foco en las actitudes de los estudiantes en la clase sin mencionar su relación con la especificidad del conocimiento matemático
6.Respuestas que hacen foco en el futuro rol del estudiante del profesorado como docente de escuela secundaria
14Esta relación entre cómo piensan la matemática los formadores y cómo vive la matemática en el
7.Otros
8.No corresponde
A continuación presentamos un análisis de cada categoría y respuestas de los formadores.
1. Respuestas que hacen foco en distintos aspectos de la “actividad matemática” desplegada en el aula.
En algunas respuestas se enfatiza que la actividad permitió a los estudiantes producir relaciones matemáticas para dar lugar a la introducción de nuevos conceptos. Por ejemplo:
“Proponer problemas para que discutieran y resolvieran con estrategias propias, antes de realizar ningún desarrollo teórico, dar definiciones o realizar la deducción de las fórmulas Al fin, las características de los conceptos se generaron del análisis de lo trabajado y las fórmulas sólo fueron una generalización de las estrategias que habían utilizado intuitivamente”
Otras veces se destaca que la actividad permitió relacionar y reorganizar conceptos. Por ejemplo:
“En el cálculo de raíces de números complejos, las diferentes expresiones que pudieron dar para un mismo resultado. Les permitió integrar conocimientos trigonométricos, geométricos y analíticos.”
En otros casos los formadores valoran la recuperación de conocimientos que los estudiantes deberían haber adquirido en la escuela secundaria como punto de partida para la enseñanza de nuevos temas en el profesorado. Los viejos conocimientos de la escuela secundaria se inscriben de este modo en una trama donde también se ubican los nuevos conocimientos y se revisan las antiguas significaciones construidas en la formación secundaria. Por ejemplo:
“Tema: Vectores. Modalidad: Los alumnos en forma individual y en grupos leyeron distintos subtemas en textos de nivel secundario, resolvieron las actividades y hacían exposiciones. Luego se realizaba una síntesis. En un momento posterior, formalizamos y generalizamos a espacios vectoriales a partir de exposiciones del profesor y el trabajo con textos de nivel superior. Los estudiantes lograron comenzar con un trabajo más autónomo, cubrir baches, intercambiar con sus pares y trabajar con la lectura de textos.”
Otros formadores valoran una actividad porque lo desplegado en ese momento será reinvertido en el futuro:
“En Geometría se propone la graficación de superficies cuadráticas rotadas o trasladadas a mano alzada. Si bien al comienzo la propuesta resulta complicada para los alumnos ya que no manejan una representación mental del espacio tridimensional y no tienen instrumentos de representación, la consecución de la tarea implica adquirir representaciones que se reinvierten y potencian a lo largo del curso.”
En algunos casos la fertilidad se atribuye a que se generaron buenas condiciones para que los estudiantes desarrollen fundamentaciones y demostraciones. Por ejemplo:
“El trabajo relativo al desarrollo de procesos de pensamientos a través de la demostración de propiedades con grado de complejidad progresiva, fundamentalmente en el área de geometría. Porque los alumnos pudieron ordenar sus fundamentaciones y a través de las mismas ir logrando una cadena de conclusiones, para arribar a demostraciones de propiedades más complejas.”
En otros casos se enfatiza que la actividad permitió fundamentar y demostrar conocimientos adquiridos previamente en otras materias, en otra institución. Por ejemplo:
“Los casos de factoreo desde el marco geométrico. Los alumnos a pesar de que sabían los casos de factores comprendieron el porqué de la igualdad algebraica, y manifiestan siempre que no lo vieron así.”
Otras veces se valora un trabajo exploratorio en torno a propiedades. Por ejemplo:
“La exploración de la validez de ciertas propiedades: ¿es posible cambiar las hipótesis de un teorema y que siga teniendo validez? Permitió una mayor comprensión de la idea detrás de las propiedades estudiadas, que dejaron de ser reglas arbitrarias.”
Hay respuestas que mencionan la posibilidad de reflexionar sobre la disciplina Matemática:
“Debate acerca de las diferentes corrientes epistemológicas matemáticas a través de la lectura de un texto de Gregorio Klimovsky. Permitió introducir al estudiantado en las diferentes concepciones acerca de la Matemática, su estudio, su enseñanza y su investigación, mostrando así que la Matemática es también un constructo histórico y social cosa que hasta ese momento los estudiantes del profesorado no se habían planteado.”
Nos resulta importante señalar la relevancia que para nosotros tiene el siguiente subgrupo de respuestas al interior de esta categoría, las cuales toman en consideración las aplicaciones de la Matemática con relación a la enseñanza. Dentro de este subgrupo podemos subrayar algunas diferencias en las respuestas.
Hay respuestas que hacen foco en el carácter de herramienta de la Matemática para predecir y estudiar problemas de la realidad o de otras áreas (por ejemplo Física, Biología). En la que citamos a continuación el procedimiento de interpolación adquiere un sentido en la situación y responde a una pregunta que se produce en el contexto de aplicación:
“Interpolación numérica para estudiar la evolución de la gripe A. Permitió hacer predicciones.”
En otras la actividad de modelización está valorada porque permite a los estudiantes un re- trabajo sobre las herramientas matemáticas puestas en juego. Por ejemplo:
“Aplicación de contenidos a situaciones reales. Permite comprender al alumno el alcance del contenido matemático en situaciones reales y la dimensión del mismo.”
Hasta aquí la lectura en conjunto de las voces de los formadores, nos permite hacer un recorte de características presentes en esta categoría:
Las expresiones de lo fértil se relacionan, en un sentido,-con una visualización de la Matemática como red de conceptos, como trama de relaciones; en otro sentido, la fertilidad está en las posibilidades de acceso en el aula al carácter modelizador de la Matemática, a su costado de herramienta. Finalmente, para los formadores la fertilidad también radica en las posibilidades de abordaje del estudio de resultados matemáticos: ¿Cómo se estudia una proposición matemática? ¿Se explora? ¿Se debe encontrar una demostración?
En toda su dimensión esta categoría incluye la producción de teoría en el aula a partir de la actividad de los estudiantes, y diferentes situaciones: las que permitan relacionar y reorganizar conceptos, las que permitan recuperar conocimientos de la escuela secundaria y revisarlos enriqueciendo significados, las que permitan acceder a conocimientos que se podrán reinvertir a futuro, las que den lugar a que los estudiantes desarrollen fundamentaciones y demostraciones (de nuevos o viejos resultados matemáticos), las que den lugar al despliegue de los contenidos en tanto herramientas para responder a preguntas del contexto real o de otras disciplinas.
2. Respuestas que hacen foco en la tarea del formador
En las respuestas agrupadas en esta categoría el formador destaca la riqueza de la actividad propuesta en tanto le ha permitido acceder a los modos de producción de sus estudiantes y a los avances que experimentan como insumos necesarios para revisar y enriquecer su propia propuesta de enseñanza. Si bien las respuestas de esta categoría son pocas, nos pareció importante destacarlas porque muestran un aspecto esencial de la tarea docente. Por ejemplo:
“Trabajar con guías teórico-prácticas, donde entre todos se analizan los conceptos propuestos, se completan demostraciones, se resuelven ejemplos, y cada uno propone, discute, busca otras alternativas, contraejemplos, promoviendo la participación de todos los alumnos. También al escucharlos, en base a sus afirmaciones e interrogantes, puedo tener un diagnóstico permanente, para la planificación y revisión de mi práctica docente.”
3. Respuestas que hacen foco en el protagonismo de los estudiantes en la clase y en cambios en su relación con la Matemática
Las respuestas que aquí agrupamos hacen énfasis en el trabajo de los estudiantes- argumentando, discutiendo con otros, proponiendo problemas, evaluando su proceso-y en los cambios en las posiciones que se ocupan en el aula de Matemática.
Muchas respuestas valoran un momento de la clase de reflexión y reelaboración colectiva entorno a las resoluciones de un determinado problema. Los formadores lo expresan de distintas maneras:
“Resolver un problema en pequeños grupos de alumnos y luego que expongan lo que pensaron, argumentando y promoviendo la discusión con el resto de los alumnos. El debate en el aula de Matemática es fértil para que los alumnos sometan sus ideas a discusión, aprendan a argumentar con precisión, manejo del lenguaje matemático, etc.”
En otros casos se aprecia la movilidad de los lugares que estudiantes y docentes ocupan en un aula. Por ejemplo, el formador valora haber incorporado en el programa el tratamiento de ciertos temas para atender a inquietudes específicas de los estudiantes, que participan de ese modo en las decisiones sobre qué se enseña.
Otro formador estima las herramientas que brinda al alumno para reflexionar y actuar sobre su propio aprendizaje:
“Que los alumnos redacten y produzcan problemas. Al tener que crear una situación logran darse cuenta de los temas que aún no han aprehendido.”
En otras respuestas se valora que los estudiantes puedan sentirse productores de Matemática. Por ejemplo:
“Contraste de métodos y procedimientos usados por los alumnos. Los alumnos pueden ver que la Matemática no es una ciencia acabada y rígida, sino que pueden crear ellos también.”
En la respuesta que sigue el formador expresa la importancia de provocar en la clase un movimiento que permita interpelar su propio rol como único garante del saber en el aula, colaborando con la construcción de autonomía de los futuros profesores:
“Trabajan grupalmente en la resolución de un trabajo práctico. Un grupo pasa al pizarrón y presenta sus interpretaciones y estrategias de resolución de una situación. Porque el docente obra de organizador del trabajo de corrección, son los alumnos los que argumentan, piden explicaciones, validan.”15
Nos resulta importante retener esta intención del formador, ya que se trata de formar profesores que puedan ellos mismos colaborar en la construcción de autonomía en el trabajo de los adolescentes en la clase de matemática de la escuela secundaria.
4. Respuestas que hacen foco en la experiencia sensible de los estudiantes del profesorado (por ejemplo, mirar, tocar, manipular)
Las respuestas enmarcadas en esta categoría hacen mención con muy diferentes matices a la movilización de los sentidos de los estudiantes durante la tarea que se realiza.
En algunos casos se menciona el estudio de fenómenos presentes en el aula. La presencia del fenómeno juega papeles bien diferentes.
En ocasiones, si bien los alumnos pueden mirar tocar y manipular objetos sensibles, se los convoca a un juego de anticipación y verificación que los obliga a establecer relaciones que trascienden el plano de lo sensible. Por ejemplo:
“En presencia material de un número determinado de envases vacíos de la más variada forma y tamaño predecir y graficar el nivel alcanzado por un líquido cuando este entra en el recipiente con velocidad constante, en función al tiempo. Se analizaron intervalos de experimentos; de convexidad y concavidad; punto de inflexión de la curva y en él dónde la velocidad del nivel es máxima o mínima. Luego con el recipiente lleno y haciendo salir el agua con velocidad constante los alumnos dieron hipótesis sobre los mismos ítems y procedieron a la resolución gráfica y discutieron diferentes opiniones.”
En otros casos, no aparece en las respuestas si hay o no lugar en la clase para que los estudiantes validen con argumentos matemáticos las propiedades que pudieron comprobar empíricamente:
“Construir cintas de Moebius con papel y estudiar sus propiedades. Estudiar el cubrimiento del plano con polígonos hechos en moldes de cartón. Porque los alumnos se distienden y se interesan en el trabajo manual y en la comprobación empírica.”
En otras repuestas se menciona la riqueza de la representación gráfica (de funciones o de figuras geométricas), construida por los estudiantes o por un programa de computadora. En estos casos el objeto sensible (dibujo) es representación del objeto matemático y soporte para la visualización o la verificación de propiedades del objeto. Muchas veces la actividad incluye un trabajo de articulación entre diferentes registros de representación. Por ejemplo:
“En funciones de varias variables las representaciones gráficas de trazas y curvas de nivel de distintas superficies, Pues pudieron comprobar la correspondencia de las gráficas y los cálculos analíticos.”
En las repuestas encontramos diferentes matices respecto del papel que juegan los gráficos cuando se trata de aceptar propiedades como válidas. Presentamos dos respuestas que ilustran estas diferencias:
“Resolución de una guía de autoaprendizaje sobre gráficas polares usando el software Winplot. Los alumnos pudieron realizar gráficas polares, descubrir los conceptos involucrados, formular propiedades a partir de las gráficas realizadas con el software.”
“El estudio de la ecuación general de segundo grado, realizado: analíticamente, gráficamente y en PC. El estudio analítico se vio reforzado con la construcción del gráfico; la visualización posterior en PC enriqueció el trabajo, posibilitando el planteo de hipótesis (qué pasaría si...), la discusión y la validación de las mismas.”
A diferencia del primer formador que enfatiza que hay propiedades que pueden ser descubiertas visualmente en los gráficos, este último formador menciona explícitamente que las propiedades observadas en los gráficos se consideran hipótesis que requieren una validación.
Cabe señalar que se ha debatido mucho acerca de las ventajas y las desventajas del uso de material concreto en el aula de Matemática; hay quienes sostienen su uso imprescindible con
niños y quienes discuten con fundamento esa posición. Algunas respuestas de los formadores a la pregunta 24 permiten retomar este debate y reubicarlo en el uso de material sensible para dar lugar a un trabajo matemático que trascienda lo sensible y lo manual. Muchos formadores parecen expresar la opción que formulamos en la pregunta 16 h): “El trabajo exploratorio y artesanal sobre las propiedades, relaciones y nociones matemáticas está fuertemente relacionado con los procesos de formalización”.
5. Respuestas que hacen foco en las actitudes de los estudiantes en la clase sin mencionar su relación con la especificidad del conocimiento matemático
Las actitudes de los estudiantes que se mencionan son por ejemplo compromiso, interés, concentración, entusiasmo, grado de participación. No hay mención a ningún aspecto específico del proceso de construcción de conocimiento matemático en el aula del profesorado. Por ejemplo,
“Consulta bibliográfica de un contenido, y posterior exposición grupal. La consulta bibliográfica enfrenta al alumno a la situación de encarar el estudio por sí solo. La exposición grupal le otorga soltura, y el soporte del grupo contribuye a tener más seguridad en la misma.”
Otra respuesta de un formador intenta atender el problema de la inseguridad de los ingresantes:
“En primer año fomento el trabajo grupal para la resolución de ejercicios y problemas. Se ve mucha inseguridad en los alumnos que ingresan, el trabajar grupalmente fomenta: perder el miedo o la timidez, el ayudarse con explicaciones entre los mismos alumnos (van adoptando lenguaje, formas sencillas de explicar, crean nuevos ejercicios para mostrar a sus compañeros).”
Si bien ambas respuestas mencionan una cierta potencia de lo grupal y del trabajo cooperativo, la riqueza que los formadores enfatizan está en la fertilidad de la colaboración como modeladora del carácter humano, sin ahondar en cómo la producción social y colectiva del aula incide en el avance de aspectos específicos de La Matemática.
6. Respuestas que hacen foco en el futuro rol del estudiante del profesorado como docente de escuela secundaria
Las respuestas de este grupo incluyen una consideración explícita de algún aspecto que deberá desarrollar el alumno del profesorado en su rol futuro como profesor.
En algunas respuestas se valora la oportunidad de relacionar los aprendizajes matemáticos que tienen lugar en el profesorado con lo que los futuros profesores deberán enseñar en la escuela secundaria. Por ejemplo:
“Comenzamos Integración con cálculo de áreas, luego con dos textos de secundaria analizando y resolviendo las actividades que son de tipo constructivo, después las demostraciones de los teoremas, integrales indefinidas y aplicaciones a nivel superior. Así abordamos todos los temas y siempre a partir de su aplicación en la realidad. Porque parten del sentido del conocimiento, lo
entienden mejor, lo relacionan con lo que va a ser su actuación como docentes de nivel medio, y partiendo de lo más sencillo me permite llegar a niveles más altos de conocimiento.”
En otras respuestas la fertilidad de la actividad se localiza en que permite abordar cuestiones de orden matemático-didáctico. La variedad es amplia: por ejemplo, que los estudiantes vivan una clase en la que se discuten procedimientos, que mejoren su capacidad de expresión o sus explicaciones, que elaboren una propuesta de aula, que analicen libros de texto de escuela secundaria.
En particular, algunas respuestas aprecian que los estudiantes, en tanto alumnos del profesorado, transiten por experiencias que deberán sostener en el aula de escuela secundaria. Por ejemplo:
“Proponer a los alumnos taller de resolución de problemas intra-matemáticos. Los estudiantes- futuros docentes- "viven" el medio resistente como sus futuros alumnos del secundario.”