A continuación se incluye un esquema que resume cómo está conformada la arquitectura del Método Directo (figura 3.5), detallando las etapas que forman parte del algoritmo.
Método Directo para análisis de observabilidad Capítulo 3 29 sí no no sí Etapa 0 Inicialización Etapa 1 Descomposición Gruesa Etapa 2 Descomposición Fina Etapa 3 Test de Admisión (para cada bloque)
Pasó el Test? Reasignación exitosa? Etapa 6 Reordenamiento Final Etapa 4 Reasignación Etapa 5 Reducción
Figura 3.5. Arquitectura del Método Directo
3.3.1 ETAPA 0: INICIALIZACIÓN
En esta etapa, se construye el grafo bipartito G = (R, C, A) asociado a la matriz N, de forma tal que los nodos en R representan a las filas de N, los nodos en C a las columnas, y las aristas en A los elementos no nulos de la matriz, respectivamente.
3.3.2 ETAPA 1: DESCOMPOSICIÓN GRUESA
En esta etapa se realiza el primer particionamiento y se busca un pareamiento maximal (Pm) de G por medio del algoritmo PMB, el cual fue presentado en la figura 3.4. Existen diferentes técnicas para llevar a cabo la permutación de matrices hacia la forma triangular en bloques. Algunas de ellas no resultaban aplicables a matrices rectangulares, estructuralmente singulares, mientras que otras llegaban a distribuciones de bloques que no resultaban útiles. Pothen y Fan (1990) introdujeron una técnica de particionamiento para matrices generales. Esta técnica consta de dos etapas diferentes. En primer lugar, se obtiene una descomposición gruesa por medio de la aplicación de la descomposición de Dulmage-Mendelsohn (Dulmage y Mendelsohn,1963). La descomposición de Dulmage-Mendelsohn es una de las técnicas más conocidas para permutar una matriz general a una forma triangular en bloques. Una vez que
Capítulo 3 Método Directo para análisis de observabilidad
esta técnica es aplicada, se utiliza el método de Pothen para llevar a cabo la descomposición fina.
La principal diferencia entre la descomposición de Dulmage-Mendelsohn y el Método Directo radica en el hecho de que la primera ubica en el mismo grupo todos los nodos en N1
que pertenecen tanto a VR como a SR1, mientras que la clasificación para diseño de instrumentación requiere que se realice una distinción entre ellos. La figura 3.6 muestra las diferencias obtenidas mediante ambas clasificaciones. En la figura 3.6.a se puede apreciar la clasificación de Dulmage-Mendelsohn mientras que la figura 3.6.b muestra cómo deben acomodarse los nodos para obtener una clasificación útil para el diseño de instrumentación. Además de ser cuadrados, una característica importante de los bloques (SC1, SR1) y (SC2,
SR2) es que tienen su transversal llena, debido a que los nodos SC1, SR1, SC2, y SR2
pertenecen al pareamiento maximal.
a) Clasificación de Dulmage-Mendelsohn b) Clasificación del Método Directo Figura 3.6. Clasificación de nodos y descomposición gruesa para ambas técnicas.
La tabla que se encuentra a continuación incluye la definición de cada uno de los términos en que se clasifica la matriz a partir del reordenamiento obtenido con el Método Directo.
Otra diferencia importante entre ambas propuestas es el hecho de que la descomposición de Pothen y Fan fue presentada para resolver sólo sistemas lineales, mientras que el Método Directo fue diseñado tanto para sistemas lineales como para no lineales. Es sabido que la mayoría de los modelos matemáticos resultantes de las plantas de procesos químicos son sistemas de ecuaciones fuertemente no lineales. Esto constituye una razón
VR HR VC SC HC SR HR VR SR1 HC SC2 SC1 SR2
Método Directo para análisis de observabilidad Capítulo 3
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descomposición, de manera de poder llevar a cabo el diseño de instrumentación asistido por computadora.
VR = ecuaciones redundantes: nodos no apareados de R
SR1 = ecuaciones asignadas: nodos apareados de R alcanzables desde algún nodo no apareado de R por medio de un camino alternante
HR = ecuaciones con variables indeterminables: nodos apareados de R alcanzables desde algún nodo no apareado de C mediante un camino alternante
SR2 = ecuaciones asignadas:R \ (VR ∪ SR1 ∪ HR)
SC1 = variables observables: nodos apareados de C alcanzables desde algún nodo no apareado de R mediante un camino alternante
HC = variables indeterminables: nodos de C tanto apareados como no apareados alcanzables desde algún nodo no apareado de C mediante un camino
alternante
SC2 = variables observables:C \ (SC1 ∪ HC)
Tabla 3.1. Definición de los términos en que se clasifican los nodos.
3.3.3 ETAPA 2: DESCOMPOSICIÓN FINA
En esta etapa se particionan los bloques obtenidos en subsistemas cuadrados no reducibles, por medio del algoritmo SCC(Detección de Componentes Fuertes de un Digrafo), el cual se encuentra detallado en Ponzoni y co.(2004). En primer lugar, se realiza la descomposición de G(N1) donde N1 = (SR1, SC1), y en segunda instancia G(N2), con N2 =
(SR2, SC2). Cada una de las componentes fuertes resultantes representa un subconjunto de asignación de FTiB.
3.3.4 ETAPAS 3, 4 Y 5: TEST DE ADMISIÓN, REASIGNACIÓN Y REDUCCIÓN
El Test de Admisión verifica la aceptación de cada uno de los subconjuntos de asignación generados en la descomposición fina. Es decir, chequea cada bloque para comprobar que no pertenece al conjunto de restricciones R, donde R indica los subsistemas de N que por alguna razón no resultan admisibles.
Capítulo 3 Método Directo para análisis de observabilidad
Primero examina los bloques N1i, con i = 1..p, de la submatriz N = (SR1, SC1). Si
algún bloque N1j, con 1 ≤ j ≤ p contiene un subconjunto prohibido, el algoritmo pasa a la
etapa de Reasignación, en donde intercambia una de las ecuaciones del subsistema que fue rechazada por el test de admisión por una de las ecuaciones redundantes. En otras palabras, la reasignación permuta una de las filas de SR1 con una de las filas de VR. Luego, el digrafo correspondiente a N1se construye nuevamente y se reitera la descomposición fina del bloque.
Esta permutación evita que se generen los mismos bloques prohibidos una y otra vez (Ponzoni
y co., 1998b).
Cuando la reasignación del bloque N1j es imposible de realizar, el algoritmo procede a
la etapa de Reducción del bigrafo, en donde los bloques N1i, con i < j, se eliminan del bigrafo G(N), y se agregan a los subconjuntos de asignación válidos. Aquí se escoge un nodo fila de
N1j, llamado fila especial e y se elimina temporalmente de G(N). Luego se vuelva a la etapa de Descomposición Gruesa.
El propósito de seleccionar una fila especial y eliminarla del bigrafo G(N), radica en que se debe hallar un pareamiento maximal Pm’ distinto al pareamiento generado en la etapa de Descomposición Gruesa. Si no se eliminara temporalmente algún nodo fila de G(N), en la siguiente iteración, el algoritmo construiría un pareamiento maximal Pm’ exactamente igual al original, pero con la salvedad que no contendría los nodos de los bloques N1i eliminados de G(N).
Una vez que el pareamiento maximal Pm’es generado, la fila especial e se reincorpora al bigrafo, y se clasifica según las siguientes reglas:
• e ∈ VR si todas sus aristas conducen a columnas de SC1 ó SC2.
• e ∈ SR1 si está conectada a una única columna de HC y a ninguna columna de SC2
(en este caso dicha columna y e forman un bloque de orden 1).
• e ∈ SR2 si e está conectada a una única columna de HC y al menos a una columna de SC2 (en este caso la columna y e forman un bloque de orden 1).
Método Directo para análisis de observabilidad Capítulo 3
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Una vez que todos los bloques de N1 hayan superado en forma exitosa la
comprobación, se realiza el Test de Admisión sobre el bloque N2 = (SR2, SC2). A diferencia
del test efectuado sobre el bloque N1, los bloques rechazados de N2 no pueden reasignarse; si
se detecta un bloque N2i que no supera el test, el algoritmo avanza directamente a la etapa de
Reducción. Esto se ve claramente al observar la figura 3.6.a, puesto que las filas redundantes en el patrón FTiB sólo tienen elementos no nulos en las columnas correspondientes a SR1. Es por ello que la reasignación carece de sentido para N2.
Existen casos particulares, en donde el hecho de eliminar una única fila especial no resulta suficiente para hallar nuevos bloques admisibles. En estos casos, se deben eliminar temporalmente varias filas especiales hasta lograr un avance en la descomposición. Una vez que se encuentra un nuevo pareamiento maximal, se reincorporan al bigrafo las filas especiales eliminadas y luego se clasifican.
El algoritmo finaliza cuando se aceptaron todos los bloques de N2 por el test de admisión
o cuando los conjuntos SR1 y SR2 retornados por la Descomposición Gruesa están vacíos.
3.3.5 ETAPA 6: REORDENAMIENTO FINAL
El algoritmo reordena a la matriz N de la forma adecuada para alcanzar la FTiB.