CHAPTER 8 Conclusions and Future Study
8.2 Future works
Para abordar las limitaciones de la metodología de esta investigación, se sugiere considerar las siguientes propuestas para futuras investigaciones:
- Incluir una herramienta de predicción de demanda por vuelo para evitar el supuesto de que el 20% de las peticiones de reserva son rechazadas por la aerolínea. Para ello, de tener los datos necesarios, se pueden utilizar herramientas como el Support
Vector Machine (Heng et al., 2009) y el Weighted Majority Algorithm (Totamane et al., 2009).
- Establecer una dependencia entre la tarifa allotment y la demanda que se espera en un vuelo. Por ejemplo, que la demanda tenga tendencia a ser mayor cuando disminuya la tarifa y viceversa.
- Considerar el efecto red en donde la demanda que recibe un vuelo es dependiente de la demanda que reciben otros vuelos. De esta manera se pueden tomar en cuenta situaciones como que la carga que se deja abajo de un vuelo debe ser transportada en el vuelo siguiente.
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ANEXO A: PROGRAMACIÓN ESTOCÁSTICA
El problema básico de programación estocástica se presenta en la expresión (27). min
𝑥∈𝑋{𝑓(𝑥) ≔ 𝔼𝑃[𝐹(𝑥, 𝜉(𝜔))]}, (27)
donde 𝐹(𝑥, 𝜉(𝜔)) es una función de valor real de dos variables vectoriales 𝑥 ∈ ℝ𝑛 y 𝜉 ∈
ℝ𝑑, 𝑋 es un subconjunto de ℝ𝑛, y 𝜉(𝜔) es un vector aleatorio con distribución de
probabilidad 𝑃 que se asume como conocida.
Dentro de la familia de problemas de programación estocástica, es de particular interés la clase de modelos conocidos como modelos de programación lineal de dos etapas (PLEDE). En éstos, las variables de decisión son divididas en dos grupos: variables de primera y de segunda etapa. Las variables de primera etapa son decididas antes de que las realizaciones de los parámetros estocásticos sean conocidas. Por otro lado, los valores de las variables de segunda etapa pueden ser calculados una vez que el resultado de los eventos estocásticos se haya desencadenado. Haciendo un paralelo con esta investigación, la variable de primera etapa en este caso sería el espacio dedicado para contratos allotment, el cual debe ser determinado antes de conocer al comportamiento del mercado en el free. Al igual que en Kall & Wallace (2003), el modelo básico de PLEDE puede ser expresado de la siguiente forma: min 𝑥 {𝑓(𝑥, 𝜉) ≔ 𝑐 𝑇𝑥 + 𝔼[𝑄(𝑥, 𝜉(𝜔))]} 𝑠. 𝑎 𝐴𝑥 = 𝑏 𝑥 ≥ 0 (28)
min 𝑦 𝑑 𝑇𝑦 𝑠. 𝑎 𝑇𝑥 + 𝑊𝑦 = ℎ 𝑦 ≥ 0 (29)
En lo anterior, 𝔼 es la esperanza con respecto a la distribución de probabilidad de 𝜉(𝜔), mientras que las variables 𝑥 e 𝑦 corresponden a las variables de primera y segunda etapa, respectivamente. El problema de segunda etapa depende de los parámetros 𝜉 = (𝑑, ℎ, 𝑇, 𝑊), los cuáles pueden ser aleatorios o no.
Siguiendo a Al-Qahtani & Ekamel (2011), existen dos formas para representar la aleatoriedad del vector 𝜉(𝜔). La primera es la distribución de probabilidad continua, la cual utiliza herramientas de integración numérica sobre el espacio probabilístico continuo. El problema de este enfoque es que introduce no linealidades y dificultades computacionales para resolver el modelo. El segundo enfoque, el cual será el que se utilizará en este estudio, consiste es representar el espacio aleatorio a través de eventos discretos, mediante la generación de escenarios. De esta forma, la distribución discreta con un número 𝐾 de escenarios posibles 𝜉𝑘 = (𝑑𝑘, ℎ𝑘, 𝑇𝑘, 𝑊𝑘) corresponde a la
probabilidad 𝑝𝑘. Considerando lo anterior, el problema planteado en (28) y (29) pueden ser escritas como su problema determinístico equivalente, representado en la ecuación (30). min 𝑥,𝑦1,…,𝑦𝑘𝑐 𝑇𝑥 + ∑ 𝑝 𝑘𝑞𝑘𝑇 𝐾 𝑘=1 𝑦𝑘 𝑠. 𝑎 𝐴𝑥 = 𝑏 𝑇𝑘𝑥 + 𝑊𝑘𝑦𝑘= ℎ𝑘 𝑘 = 1, … , 𝐾 𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑘 ≥ 0 𝑘 = 1, … , 𝐾 (30)
ANEXO B: SAMPLE AVERAGE APPROXIMATION (SAA)
Debido al crecimiento exponencial en el tamaño de la muestra cuando incrementa el número de variables aleatorias, es común utilizar una aproximación al problema estocástico mediante una metodología conocida como Sample Average Approximation (SAA).
Los detalles del procedimiento seguido en el SAA se presentan a continuación.
Considerando el problema básico de programación estocástica presentado en la ecuación (27) (de aquí en adelante problema original), la metodología comienza por generar una muestra aleatoria 𝜉1, 𝜉2, … , 𝜉𝑁~𝑃 de 𝑁 realizaciones del vector aleatorio 𝜉(𝜔). Luego, para cada 𝑥 ∈ 𝑋 se puede estimar el valor esperado de 𝑓(𝑥) mediante el promedio de los valores de 𝐹(𝑥, 𝜉𝑖) para 𝑖 = 1, … , 𝑁. min 𝑥∈𝑋{𝑓̂𝑁(𝑥) ≔ 1 𝑁∙ ∑ 𝐹(𝑥, 𝜉 𝑖) 𝑁 𝑖=1 } (31) El 𝑓̂𝑁(𝑥) que se muestra en (31) es el SAA del 𝑓(𝑥) presente en (27), y es una función de la muestra de los parámetros 𝜉𝑖 considerada, por lo que el valor de 𝑓̂𝑁(𝑥) es también
aleatorio.
Según la ley de los grandes números, 𝑓̂𝑁(𝑥) converge con probabilidad uno a la función real 𝑓(𝑥) cuando el tamaño de muestra 𝑁 → ∞ (Shapiro et al., 2009). Además, como las instancias aleatorias 𝜉𝑖 tienen la misma distribución de probabilidad 𝑃, 𝑓̂
𝑁(𝑥) es un
estimador insesgado de 𝑓(𝑥) para cualquier 𝑥 (Linderoth et al., 2006).
Un punto importante en cualquier metodología que requiera de muestreo es determinar qué tan grande debe ser el tamaño de la muestra para que la solución estimada (𝑥̂𝑁) sea un buen estimador de la solución real (𝑥∗). Kleywegt et al. (2001) y Shapiro et al. (2002)
realizaron estudios en que muestran que, para ciertas instancias, el tamaño 𝑁 para obtener excelentes soluciones es pequeña en relación al espacio muestral completo.
Sin embargo, a pesar de que existe una probabilidad muy alta de encontrar la solución óptima del problema estocástico original, no se da indicios de cuán cercano es el valor óptimo del problema aproximado (𝑣̂𝑁) al valor óptimo original (𝑣∗). Linderoth et al. (2006) menciona que aunque el valor de 𝑁 sea grande y 𝑥̂𝑁 sea idéntico a 𝑥∗ para todas
las muestras de tamaño 𝑁, el valor óptimo 𝑣̂𝑁 será, en general, diferente para cada muestra. Lo que sí puede ser comprobado, es que 𝔼[𝑣̂𝑁] ≤ 𝑣∗ (Kleywegt et al., 2001; Linderoth et
al., 2006; Shapiro et al., 2009). Es decir, el valor esperado del valor óptimo de la solución aproximada es una cota inferior para el problema de minimización original.
Este valor esperado puede ser calculado generando 𝑀 muestras independientes
𝜉1,𝑗, … , 𝜉𝑁,𝑗, para 𝑗 = 1, … , 𝑀, cada una de tamaño 𝑁, y resolver los SAA
correspondientes, tal como en se presenta en (32) (Linderoth et al., 2006).
min 𝑥𝜖𝑋 {𝑓̂𝑁 𝑗(𝑥) ≔ 1 𝑁∙ ∑ 𝐹(𝑥, 𝜉 𝑖,𝑗) 𝑁 𝑖=1 } (32)
Luego, si 𝑣̂𝑁𝑗 es el valor óptimo del SAA para la muestra 𝑗 y siguiendo la propiedad enunciada anteriormente, la cota inferior del problema original está dado por la expresión (33). 𝐿𝑁,𝑀 ∶= 1 𝑀∙ ∑ 𝑣̂𝑁 𝑗 𝑀 𝑗=1 (33)
Cuando las 𝑀 muestras son independientes, por el Teorema Central del Límite se tiene que:
√𝑀 ∙ [𝐿𝑁,𝑀− 𝔼(𝑣̂𝑁)] ⇒ 𝑁(0, 𝜎𝐿2), 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑀 → ∞
(34) donde 𝜎𝐿2 = 𝑉𝑎𝑟[𝑣̂𝑁]. El estimador de la varianza muestral de 𝜎𝐿2 es:
𝑠𝐿2(𝑀) = 1 𝑀 − 1∙ ∑(𝑣̂𝑁 𝑗 − 𝐿𝑁,𝑀)2 𝑀 𝑗=1 (35)
Luego, definiendo 𝑧𝛼 que satisfaga 𝑃{𝑁(0,1) ≤ 𝑧𝛼} = 1 − 𝛼, y reemplazando 𝜎𝐿2 por
𝑠𝐿2(𝑀), se obtiene un intervalo de confianza con un nivel de confianza de (1 − 𝛼) para
𝔼(𝑣̂𝑁) como: [𝐿𝑁,𝑀− 𝑧𝛼 2 ∙ 𝑠𝐿 2(𝑀) √𝑀 , 𝐿𝑁,𝑀+ 𝑧𝛼 2 ∙ 𝑠𝐿 2(𝑀) √𝑀 ] (36)
ANEXO C: SIMULACIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL
La distribución lognormal se genera tomando el logaritmo natural de una distribución Gaussiana. Entonces, si consideramos una variable aleatoria normal 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2), se dice que 𝑌 = 𝑒𝑋 distribuye lognormal con parámetros 𝜇 y 𝜎.
Mediante una transformación simple de variables aleatorias, se tiene que la función densidad de la variable aleatoria 𝑌~𝑙𝑜𝑔𝑁(𝜇, 𝜎) está dada por:
𝑓(𝑦) = 1
𝑦 ∙ 𝜎 ∙ √2𝜋∙ 𝑒
−(ln(𝑦)−𝜇)2
2𝜎2 , 𝑦 > 0
(37) Y la media y la varianza están dadas por:
𝐸[𝑋] = 𝑒𝜇+12𝜎2
(38)
𝑉𝑎𝑟[𝑋] = (𝑒𝜎2− 1) ∙ 𝑒2𝜇+𝜎2 = (𝑒𝜎2− 1) ∙ (𝐸[𝑋])2
(39) Luego, utilizando las ecuaciones (38) y (39), se puede determinar 𝜇 y 𝜎 como:
𝜎 = √𝑙𝑛 (1 +𝑉𝑎𝑟[𝑋] 𝐸[𝑋]2 ) (40) 𝜇 = 𝑙𝑛(𝐸[𝑋]) −1 2𝑙𝑛 (1 + 𝑉𝑎𝑟[𝑋] 𝐸[𝑋]2 ) = 𝑙𝑛(𝐸[𝑋]) − 1 2𝜎 2 (41) Finalmente, para generar una variable aleatoria lognormal, primero se genera una variable aleatoria normal 𝑋 y luego realizar la transformación 𝑌 = 𝑒𝑋.
ANEXO D: OPTIMIZACIÓN DEL 𝐂𝐕𝐚𝐑
Uno de los enfoques que genera interés en el área financiera es la minimización del CVaR de los portfolios, es decir, lograr reducir las grandes pérdidas en que se puedan incurrir. Rockafellar & Uryasev (2000) describen una técnica para optimizar el CVaR y obtener el VaR simultáneamente, mediante un enfoque que requiere solucionar un problema de optimización estocástica.
La metodología comienza por asumir una función de pérdidas 𝑓(𝑥, 𝑦), donde 𝑥 es el vector de decisión a ser elegido de un subconjunto 𝑋 ∈ ℝ𝑛 e 𝑦 es un vector aleatorio en ℝ𝑚. La
distribución de probabilidad de 𝑦 se asume que tiene densidad conocida 𝑝(𝑦), y será representada mediante simulación de Monte Carlo que genere muestras aleatorias de 𝑝(𝑦). Luego, la probabilidad de que 𝑓(𝑥, 𝑦) no supere el umbral establecido por el 𝜃 = 𝑉𝑎𝑅 está dado por la expresión:
𝜓(𝑥, 𝜃) = ∫ 𝑝(𝑦) 𝑑𝑦
𝑓(𝑥,𝑦)≤𝜃 (42)
donde 𝜓(𝑥, 𝜃) es la función distribución acumulada de la pérdida asociada a 𝑥, y por simplicidad se asume que es continua con respecto a 𝜃 en todo el dominio. Entonces, el 𝑉𝑎𝑅𝛼 y el 𝐶𝑉𝑎𝑅𝛼 para la variable aleatoria de las pérdidas asociada con el vector 𝑥 y
cualquier nivel de confianza 𝛼 ∈ (0, 1) estarán dadas por las expresiones (43) y (44), y serán representados por 𝜃𝛼(𝑥) y 𝜙𝛼(𝑥), respectivamente.
𝜃𝛼(𝑥) = 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑥) = 𝑚𝑖𝑛{𝑉𝑎𝑅 𝜖 ℝ: 𝜓(𝑥, 𝑉𝑎𝑅) ≥ 𝛼} (43) 𝜙𝛼(𝑥) = 𝐶𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑥) = 1 1 − 𝛼 ∫𝑓(𝑥,𝑦)≥𝜃 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑝(𝑦) 𝑑𝑦 𝛼(𝑥) (44)
En (43), 𝜃𝛼(𝑥) será el menor valor tal que 𝜓(𝑥, 𝜃) = 𝛼, mientras que en (44), la
probabilidad de que 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝜃𝛼(𝑥) es 1 − 𝛼. Por lo tanto, 𝜙𝛼(𝑥) pasa a ser el valor
La clave del enfoque propuesto por Rockafellar & Uryasev (2000) es la caracterización del 𝜙𝛼(𝑥) y 𝜃𝛼(𝑥) en términos de la función 𝐹𝛼, como se presenta en (45).
𝐹𝛼(𝑥, 𝜃) = 𝜃 +
1
1 − 𝛼 ∫ [𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝜃]
+ 𝑝(𝑦) 𝑑𝑦
𝑦 ∈ ℝ𝑚 (45)
Donde [𝑡]+ = 𝑡 cuando 𝑡 > 0 pero [𝑡]+ = 0 cuando 𝑡 ≤ 0. Luego, como 𝐹
𝛼(𝑥, 𝜃) es
convexa y continuamente diferenciable, el 𝜃𝛼(𝑥) de la pérdida asociada a cualquier 𝑥 ∈ 𝑋 queda determinado por la expresión (46).
𝜙𝛼(𝑥) = min
𝜃∈ℝ𝐹𝛼(𝑥, 𝜃) (46)
Considerando lo anterior, el VaR con nivel 𝛼 de confianza está dado por el valor de 𝜃 con el que se obtiene el mínimo de la función 𝐹𝛼(𝑥, 𝜃). Por lo tanto:
𝜃𝛼 𝜖 argmin 𝜃∈ℝ 𝐹𝛼(𝑥, 𝜃) y 𝜙𝛼(𝑥) = 𝐹𝛼(𝑥, 𝜃𝛼(𝑥)) (47) (48) Además, la integral presente en la expresión (45) puede ser aproximada mediante muestreo ya que la distribución del vector aleatorio 𝑦 es conocida. Entonces, si el muestreo genera escenarios 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑁, la aproximación a 𝐹𝛼(𝑥, 𝜃) está dada por:
𝐹̃𝛼(𝑥, 𝜃) = 𝜃 + 1 𝑁(1 − 𝛼) ∑[𝑓(𝑥, 𝑦𝑘) − 𝜃] + 𝑁 𝑘=1 (49)
Por otro lado, el teorema presentado en Rockafellar & Uryasev (2000) indica que minimizar el 𝐶𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑥) de la pérdida asociada a 𝑥 ∈ 𝑋 es equivalente a minimizar
𝐹𝛼(𝑥, 𝜃) sobre todo (𝑥, 𝜃) ∈ 𝑋 × ℝ. Entonces, si se minimiza 𝐹̃𝛼 sobre 𝑋 × ℝ se puede
obtener una solución aproximada para la minimización del 𝐶𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑥). Este problema puede transformarse a un problema de minimización lineal mediante el uso de variables auxiliares 𝑢𝑘 para 𝑘 = 1, … , 𝑁, quedando como se presenta en la expresión (50).
min 𝑥∈𝑋 𝜃 + 1 𝑁(1 − 𝛼)∑ 𝑢𝑘 𝑁 𝑘=1 𝑠. 𝑎 𝑢𝑘 ≥ 0 ∀ 𝑘 = 1, … , 𝑁 𝑢𝑘+ 𝜃 − 𝑓(𝑥, 𝑦𝑘) ≥ 0 ∀ 𝑘 = 1, … , 𝑁 (50)
De esta manera, el problema de optimización del CVaR puede ser resuelto mediante métodos de programación lineal, sin necesidad de utilizar heurísticas. Esta es una propiedad importante en el contexto de esta investigación para que se pueda incluir el concepto de riesgo dentro del modelo, sin llegar a complicar la resolución computacional del problema.
ANEXO E: CÁLCULO DE WS Y EEV
La solución basada en información perfecta requiere resolver el problema de minimización presentado en (28) del Anexo A para cada escenario 𝜉𝑖,
independientemente. Es decir, existe una función 𝑓𝑖 que debe ser optimizado por cada escenario 𝑖. Luego, si se tiene que el número de escenarios es 𝑁, el WS estará dado por el valor esperado de los valores óptimos de cada escenario, como se presenta en la expresión (51). 𝑊𝑆 = 𝔼𝜉[min 𝑥∈𝑋{𝑓(𝑥, 𝜉) | 𝐴𝑥 = 𝑏}] = 1 𝑁∑ min𝑥∈𝑋{𝑓𝑖(𝑥, 𝜉 𝑖) | 𝐴𝑥 = 𝑏} 𝑁 𝑖=1 (51)
Para el caso del EEV, el problema de minimización debe ser resuelto una vez considerando la media de los parámetros aleatorios. Dado lo anterior, el EEV queda definido según la expresión (52).
𝐸𝐸𝑉 = 𝔼𝜉[min
𝑥∈𝑋{𝑓(𝑥̅(𝜉̅), 𝜉) | 𝐴𝑥 = 𝑏}], (52)
donde 𝜉̅ corresponde al vector de valores medio del vector de parámetros 𝜉.
A partir de los indicadores anteriores se puede obtener la máxima disposición a pagar que tiene el tomador de decisiones para obtener información precisa sobre el futuro. Esto es conocido como Expected Value of Perfect Information (EVPI) y puede ser obtenido como:
𝐸𝑉𝑃𝐼 = 𝑊𝑆 − 𝑆𝑆
(53) donde SS corresponde a la solución del problema estocástico.
De manera similar, se puede obtener el valor de resolver el problema estocástico o, en otras palabras, el costo de ignorar la incertidumbre en los parámetros. Este indicador se conoce como Value of Stochastic Solution (VSS) y se obtiene mediante la siguiente expresión:
𝑉𝑆𝑆 = 𝑆𝑆 − 𝐸𝐸𝑉