La familia de distribuciones Elípticas constituye una clase grande de distribuciones para vectores aleatorios con componentes no correlacionadas e idénticas distribuciones marginales simétricas. Es importante notar que dentro de esta clase, la distribución Nd(0; Id) es el único modelo para un
vector con componentes mutuamente independientes.
De…nición 112 (Distribución Esférica). Se dice que un vector X= (X1; : : : ; Xd)0 tiene una dis-
tribución Esférica si, para cada matriz ortonormal O 2Md d(R) (i.e. OO0 =O0O=Id), OX=d X:
De acuerdo con esta de…nición, los vectores aleatorios esféricos son distribucionalmente inva- riantes bajo rotaciones, propiedad llamada simetría rotacional. Existen varias manera de de…nir distribuciones con esta propiedad, de acuerdo con el siguiente resultado.
Teorema 113 Son equivalentes11: 1 1
(i))(ii). SiXtiene distribución esférica, entonces para cada matriz ortonormalO 2Md d(R)se tiene 'X(t) ='OX(t) =E e
it0OX
='X O0t :
Esto solamente sucede si'X(t)únicamente depende de la norma det, i.e. si'X(t) = (t0t)para alguna función de una variable escalar no negativa.
(ii))(iii). Directamente, para cada a2Rd, a0X(t) = E e ita0X ='X(ta) = t 2 a0a = (tkak)2 ='X((tkak)e1) = E eitkakX1 =' X1(tkak) ='kakX1(t);
dondee1= (1;0; : : : ;0)02Rdes el vector con uno en la primera entrada y cero en las demás.
(iii))(i). Para cualquier matriz ortonormalO 2Md d(R)
'OX(t) =E eit0OX =E ei(O0t)0X =E eikO0tkX1 =E eiktkX1 =E eit0X ='
X(t); usando(A:20)y la identidad kO0tk2=t0OO0t=t0t=ktk2por serOortonormal.
(i) X tiene distribución Esférica.
(ii) Existe una función de una variable escalar tal que, para todo t2Rd,
X(t) =E eit
0X
= t0t = t21+ +t2d : (A.19) (iii) Para cadaa2Rd,
a0X=d kakX1; (A.20)
donde kak2 =a0a=a21+ +a2d.
La parte (ii) del resultado anterior implica que la función característica de un vector aleatorio con distribución Esférica está completamente descrita por una función de variable escalar. Por esta razón a se le conoce como el generador característico de la distribución Esférica y se utiliza la notaciónX Sd( ). Por otro lado, la parte(iii) dice que las combinaciones lineales de vectores
aleatorios Esféricos tienen una distribución del mismo tipo, así que tienen la misma distribución excepto por cambios de localización y escala. Esta propiedad permite, por ejemplo, probar la subaditividad del V aR para portafolios con factores de riesgo elípticamente distribuidos.
Ejemplo 114 (Normal multivariada). Claramente X Nd(0; Id), es esférico. Su función carac-
terística es
'X(t) =E eit0X =e 12t0t;
así que, por (ii) del resultado anterior, X Sd( ) con generador característico (t) =e 1 2t.
Ejemplo 115 (Mezcla Normal en Varianza). Un vector X Md 0; Id;Hb con distribución Mez-
cla Normal en Varianza estándar y no correlacionado también tiene distribución Esférica. Por
(A:5) se tiene que 'X(t) = Hb 12t0t , que claramente satisface (A:19), y entonces el generador
característico de la distribución Esférica y la transformada de Laplace-Stieltjes deW se relacionan mediante (t) =Hb 12t . Un ejemplo simple de este caso es
Además, una manera extremadamente importante para caracterizar las distribuciones esféricas está dada en el siguiente resultado.
Teorema 116 X tiene distribución Esférica sí y sólo si tiene la representación estocástica
X=d RU(d); (A.21)
donde U(d) es uniformemente distribuido sobre la esfera unitaria Sd 1 = x2Rdjx0x= 1 y R 0 es una v.a. radial, independiente de U(d).
Demostración. Sean R 0 una v.a. radial independiente de U(d) uniformemente distribuido sobreSd 1= x2Rdjx0x= 1 . ComoU(d) también es esférico, su función característica tiene un generador característico que se denotará por d, entonces si F es la f.d. deR
'RU(d)(t) =E eit 0RU(d) =EhEheit0RU(d)jRii=E d R2t0t = Z d r2t0t dF(r); (A.22) donde la tercera igualdad se debe a la parte (ii) del Teorema 113. Como ésta es una función de
t0t, por el mismo argumento, se tiene queRU(d) tiene distribución Esférica.
Enseguida se prueba que si el vector aleatorio X es esférico, entonces tiene la representación (A:21). Dado que para todo s 2 Sd 1 se tiene (t0t) = ktk2s0s = (ktks)0(ktks) = 'X(ktks), entonces al introducir U(d) uniformemente distribuido en Sd 1, y denotando de nuevo por d al generador característico de U(d), se puede escribir
t0t = Eh'X ktkU(d) i= Z Sd 1 'X(ktks)dFU(d)(s) = Z Sd 1 E eiktks0X dFU(d)(s) = Z Sd 1 Z eiktks0xdFX(x) dFU(d)(s) = Z Z Sd 1 eiktks0xdFU(d)(s) dFX(x) = Z E eiktkU(d)0x dFX(x) = Z E ei(ktkx)0U(d) dFX(x) = Z d (ktkx)0ktkx FX(x) = Eh d t0tkXk2 i = Z d r2t0t dFkXk(r); (A.23)
dondeFkXkes la f.d. dekXk. Comparando con(A:22)es claro que(A:23)es la función característica de RU(d), dondeR es una v.a. con f.d. FkXk que es independiente de U(d).
Para efectos prácticos, no se consideran distribuciones que tengan punto de masa en el origen, es decir, se trabaja con v.a. X esféricas en la subclaseSd+( ) para las cualesPfX=0g= 0.
Existen varias propiedades de las distribuciones Elípticas que resultan bastante útiles, por ejem- plo, el siguiente corolario permite implementar pruebas para la simetría esférica y elíptica.
Corolario 117 Sea X=d RU(d) Sd+( ), entonces12
kXk; X
kXk d
= R;U(d) : (A.24)
Ejemplo 118 Supóngase que X Nd(0; Id). Como X0X 2d, una distribución Ji-cuadrada con
dgrados de libertad, se sigue de (A:24) queX0X=kXk2=d R2, por lo que R2 2d.
1 2
Sean h1(x) =kxkyh2(x) =kxxk. Usando(A:21)se tiene que
kXk; X kXk = (h1(X); h2(X)) d = h1 RU(d) ; h2 RU(d) = R U(d) ; RU(d) RkU(d)k = R;U (d) :
Usando este hecho se puede calcular E U(d) y cov U(d) , los primeros dos momentos de una distribución Uniforme sobre la esfera unitaria. Se tiene que
0 = E(X) =E(R)E U(d) )E U(d) =0
Id = cov(X) =E R2 cov U(d) )cov U(d) =
1
dId; (A.25)
pues E R2 =d cuandoR2 2d.
Ejemplo 119 Ahora supóngase que X Md 0; Id;Hb , una distribución Mezcla Normal en Va-
rianza y se desea calcular la distribución de R2 =d X0X. Como X=d pWZ, donde Z Nd(0; Id)
y W 0 es independiente de Z, se sigue que R2 =d pWZ 0 pWZ = WZ0Z =d WRe2, donde
e
R2 2d y W y Re son independientes.
Como ejemplo concreto, sea X td(v;0; Id). Por el Ejemplo 107 se tiene que en este caso
W Ig 12v;12v , lo que signi…ca que Wv 2v. Entonces por independencia de W y Re sucede que
R2 =d WRe2 = (Re
2=d)
(v W=v)
F(d;v), una distribución F de Fisher con d y v grados de libertad. Como
una distribución F(d;v) tiene media vv2, se sigue de (A:25) que
cov(X) = E cov RU(d)jR +cov E RU(d)jR =E R2cov U(d) = E R21
dId = v d(v 2)Id:
Las distribuciones de Mezcla Normal en Varianza con =0 y =Idrepresentan un subgrupo
bastante manipulable de las distribuciones Esféricas. Existen otras distribuciones Esféricas que no se pueden representar como Mezclas Normal en Varianza; un ejemplo es la distribución de un vector uniforme U(d) sobre Sd 1. Sin embrago, las distribuciones Mezcla Normal en Varianza tienen un papel especial en el mundo esférico, como lo muestra el siguiente teorema.
Teorema 120 Denótese por 1 al conjunto de generadores característicos que generan una dis- tribución Esférica para cualquier d 1 arbitrario. Entonces X Sd( ) con 2 1 si y sólo si
X=d pWZ, dondeZ Nd(0; Id) es independiente de W 0.
Demostración. Ver Fang et. al. (1990) [34].
Entonces, los generadores característicos de las distribuciones Mezcla Normal en Varianza deter- minan distribuciones Esféricas en dimensiones arbitrarias, mientras que otros generadores esféricos se pueden usar solamente para ciertas dimensiones. Un ejemplo concreto es el siguiente, dado por la distribución Uniforme sobre cierta esfera unitaria.
Ejemplo 121 Sea d el generador característico del vector Uniforme U(d) = (U1; : : : ; Ud)0 sobre Sd 1. Se puede demostrar que d (t1; : : : ; td+1)0(t1; : : : ; td+1) no es generador característico de
una distribución esférica en Rd+1 (ver Fang et. al. (1990) [34]).
Si una distribución Esférica tiene densidadf, entonces, usando la fórmula de inversión f(x) = 1 (2 )d Z 1 1 Z 1 1 e it0x'X(t)dt1 dtd;
se tiene por el Teorema 113, que f(x) = f(Ox) para cualquier matriz ortogonal O, así que la densidad debe ser de la forma
f(x) =g x0x =g x21+ +x2d (A.26) para alguna funcióngde variable escalar, que se llama generador densidad. Claramente, la densidad conjunta es constante en hiperesferas x x2
1+ +x2d=c Rd. Por ejemplo, el generador
densidad de la distribuciónt de Student multivariadaX td(v;0; Id)es
g(x) = 1 2(v+d) 1 2v ( d) d=2 1 + x v (v+d)=2 :