High Performance Computing

La característica esencial, asociada a la descripción micromecánica del modelo de descomposición multiplicativa, es la introducción de una configuración intermedia con

respecto a la cual se caracteriza la respuesta elástica del material. Aquí se hará uso de las relaciones cinemáticas desarrolladas en el apartado anterior, y se tomarán además algunos conceptos del trabajo de Simo y Hughes (1998).

Todas las propiedades y definiciones aplicadas a las configuraciones original Ω0 y defor-

mada Ωt presentados en el apartado anterior, son válidas aquí también. La configuración

intermedia, como se observa en la Figura A.3 está indicada como Ωi

t definida por un

sistema de coordenadas cartesianas _X¯ _{y se caracteriza por un tensor métrico G}¯_.

A partir de la definición del gradiente de deformación (A.4) y aplicando la regla de la cadena se obtiene: F= ∂x ∂X = ∂x ∂X¯ · ∂X¯ ∂X =F e_·Fp _(A.23)

que se conoce como la descomposición multiplicativa del tensor gradiente de la deformación en su parte elástica Fe _{y plásticaF}p_{, definidas según:}

Fe= ∂x

∂X¯ F

p ₌ ∂X¯

∂X (A.24)

Se supone que el flujo plástico es isócoro, es decir que la parte plástica no modifica el volumen y de este modo se observa que el Jp = det (_Fp) = 1, por ende:

F

e

F

p

Ω

i t

X

₂

p

₀

F

p

Ω

₀

Ω

_t

p

X

₃

X

₁

Figura A.3– Configuración intermedia en la descomposición multiplicativa.

y es posible definir entonces:

¯

Fe=J−1/3Fe (A.26)

donde_F¯e _{en (A.26) es la parte de volumen constante del gradiente de deformación.}

Desde un punto de vista micromecánico para el caso de plasticidad cristalina, el flujo plástico puede ser visto como el flujo del material a través de su red cristalina asociado al

movimiento de las dislocaciones. Si se considera un cristal con una red cristalina simple,

como se observa en la Figura A.4, podrá verse que el flujo plástico está caracterizado por el tensor gradiente plástico de la deformaciónFp _{y se manifiesta como una deformación}

plástica por corte siguiendo una de las direcciones de deslizamiento principal de la red cristalina.

p

F

F

F

e

Figura A.4– Aspecto micromecánico de la deformación elasto-plástica de un cristal simple.

Lógicamente si la deformación total del cristal se descompone de manera queF= Fe_·Fp,

entoncesFe _{tiene asociada la deformación causada por la rotación y alargamiento de la red}

cristalina, tal como se observa en la Figura A.4. Este mecanismo puede extenderse a casos más complejos, donde los planos de deslizamiento son múltiples y en varias direcciones. Motivados por la simpleza de este mecanismo, muchos autores han trabajado con este modelo en el área de la elasto-plasticidad con deformaciones moderadas y grandes.

Desde un punto de vista fenomenológico, se puede interpretar a Fe−1 como una

deformación local que libera de tensiones al entorno de cada partícula (en la configuración actual Ωt) que se transforma con este tensor. Y de acuerdo con este punto de vista, la

configuración intermedia definida a partir de la inversa de la parte elástica del tensor gradiente de deformación Fe−1, se suele denominar configuración intermedia libre de

tensiones.

Tal como fue notado por Lee (1969), la descomposición multiplicativa no es única y se

manifiesta en el hecho de que la configuración intermedia queda definida salvo ante un rotación de cuerpo rígido según un tensor de rotación arbitrario Q, es decir si se toma Fe_Q y _QT_Fp la ecuación (A.23) da el mismo resultado. Sin embargo tal como lo observan

distintos autores, en el caso de materiales isótropos si bien esta rotación rígida modifica la parte elástica del tensor de deformaciones, también lo hace en la misma manera sobre las tensiones y por lo tanto no se altera el estado tensional resultante.

Siguiendo la notación usual de la mecánica del continuo, y los desarrollos presentados en el apartado anterior, el tensor derecho de Cauchy-Green puede definirse de manera similar a (A.7), través de:

C=FT·F (A.27)

además de este, podemos obtener otro tensor haciendo:

Cp =FpT·Fp (A.28)

el tensor (A.28) representa laparte plástica del tensor derecho de Cauchy-Green, este tensor

no había sido derivado en el apartado anterior y surge como consecuencia del esquema de descomposición multiplicativa.

Partiendo de (A.27) y (A.28) se pueden definir tensores de deformación Lagrangeanos, de la forma:

E= 1

2(C−1) (A.29)

que es el tensor de deformación de Green-Lagrange totalmente equivalente a (A.8) y por otro lado es posible definir:

Ep = 1

2(Cp−1) (A.30)

que es la parte plástica del tensor de deformación de Green-Lagrange.

En las ecuaciones (A.29) y (A.30), 1 representa el tensor unitario simétrico con

componentes δij consecuencia de que el sistema de referencia es cartesiano (es decir los

tensores métricos G, g y G¯ son idénticamente iguales a 1 debido a que en todas las

configuraciones los sistemas que se han adoptado son cartesianos). Hay que considerar que los tensores C,Cp, E y Ep, son objetos asociados a la configuración de referencia Ω0.

De la misma manera que se obtuvieron estas relaciones, es posible también obtener tensores Eulerianos asociados a la configuración deformada Ωt como:

b−1 =F·FT−1 =F−T·F−1 (A.31)

donde se define el tensor de Finger similar a la definición en (A.10), partiendo de la inversa del tensor izquierdo de Cauchy-Green. Igualmente se obtiene:

y a partir de estas dos expresiones se determina el tensor de Almansi similar a la definición en (A.11), y que se repite a continuación:

e= 1

2

1−b−T (A.33)

es también posible determinar un nuevo tensor, la parte elástica del tensor de Almansi,

cuya definición es:

ee = 1

2

1−be−1 (A.34)

Que surge como consecuencia del modelo, por la existencia de la configuración interme- dia, y está asociado a la transformación impuesta por la parte elástica del tensor gradiente de la deformación Fe. Se puede observar que se usa indistintamente la misma notación

para el tensor unitario simétrico1en la definición de las medidas de deformación Euleriana

(A.33) y (A.34).

Si se observan las ecuaciones (A.17) y (A.23) se puede notar que es factible emplear la descomposición multiplicativa en el gradiente de la velocidad, de modo que aplicando la regla de la cadena:

l=F˙ ·F−1 =F˙e·Fe−1+F˙p·Fp−1 =le+lp (A.35)

donde queda de manifiesto que el tensor gradiente de la velocidad puede descomponerse en la suma de sus partes elástica y plástica. La ecuación (A.35) resulta importante en la definición de la evolución de la configuración intermedia.

Igualmente las partes plástica y elástica del tensor gradiente de la velocidad pueden verse como la suma de una parte simétrica más otra parte antisimétrica, de forma tal que:

le =de+we (A.36)

y también:

lp =dp+wp (A.37)

en donde se tiene, de acuerdo a (A.18), los tensores de alargamiento y velocidad de rotación, en sus partes elástica (A.36) y plástica (A.37).

Además de estas ecuaciones (A.27)-(A.37), se pueden definir otras relaciones cinemáticas e inclusive encontrar algunas similitudes con la descomposición aditiva del tensor de deformaciones, propio del modelo aditivo de Green y Naghdi (1965), como lo manifiesta García Garino (1993) en su trabajo. Hay que destacar que en el caso de procesos elásticos, la configuración intermedia permanece fija y como consecuencia de esto el tensor Fp _es

constante, lo que implica un gradiente de velocidad de deformación plástico lp nulo.

Hasta aquí las expresiones introducidas responden a un enfoque netamente lagrangeano y se obtienen a partir del tensor gradiente total de deformaciones Fn, el cual relaciona

el sólido deformado en la configuración Ωt con la configuración original indeformadaΩ0.

Este enfoque lagrangeano total es el que se empleo en el trabajo previo de Castelló (2005). Sin embargo en el trabajo de García Garino (1993) se propone un esquema del tipo lagrangeano actualizado, en el cual se actualiza continuamente la configuración de referencia, el cual mejora la eficiencia del algoritmo y en particular en la integración de la ecuación constitutiva.

Este enfoque lagrangeano actualizado surge de considerar las ecuaciones (A.1) a (A.4), y de acuerdo con la Figura A.5 se puede obtener el gradiente de deformación total en el

F

e_n+1

f

_n+1

Ω

i t +∆t

X

₂

F

p_n+1

Ω

₀

Ω

_{t +∆t}

X

₃

X

1

Ω

_t

F

_n

F

_n+1

Ω

i t

F

p_n

F

en

Figura A.5– Esquema de la configuración intermedia y gradiente relativo.

Fn+1 = ∂φn+1 ∂X = ∂φn ∂X + [∇xnun] ∂φn ∂X (A.38) = [1+∇xnun]Fn

y por otra parte aplicando derivadas parciales se puede obtener:

Fn+1 = ∂xn+1 ∂X = ∂xn+1 ∂xn ∂xn ∂X =fn+1Fn (A.39)

Se puede observar entonces, a partir de las ecuaciones (A.38) y (A.39), que el gradiente

relativo fn+1 puede evaluarse según:

fn+1=

∂xn+1

∂xn

=1+∇xnun (A.40)

o bien puede obtenerse de acuerdo a (A.39) como:

fn+1 =Fn+1F−n1 (A.41)

y a partir de esta última, considerando la descomposición (A.23), la parte elástica del tensor gradiente de deformaciones en la configuración actual resulta:

Fe_n+1 =Fn+1Fpn −1 _=f n+1 FnFpn −1 =fn+1Fen

De modo que el tensor de Finger elástico, que permite luego evaluar la ecuación (A.34), se puede obtener con:

be_n+1−1 =hFe_n+1−TFe_n+1−1i=fn+1−T

be_n−1fn+1−1

es por este motivo que en la formulación propuesta por García Garino (1993) se emplea la inversa del gradiente de deformación relativo f_n−₊₁1 , por lo tanto a partir de (A.40) y (A.41)

se puede definir: f_n−₊₁1 = ∂xn ∂xn+1 = 1− ∇xnun =FnF −1 n+1 (A.42)

In document The PALADIN Suite: Multifaceted Characterization of Whole Metagenome Shotgun Sequences (Page 94-102)