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2.1.4 High spatial and temporal variability in the urban environment
se llega a
l,82e-"^> +0,182e-"^^2 ^ 1, (2)
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) se obtiene = 0 ,136 cm~ * H2 = 0 ,174 cm~*
El coeficiente de atenuación másico: fí = ^/p=> Mi' =0,0504 cm^/g M2' = 0 ,0644 cm^/g
2.3. D etectores
(T) Determinar la constante de calibración, K, de cierto contador de neutrones de dimensiones reducidas, en donde se han efectuado las siguientes medidas;
Interacción de la radiación con la materia 85
r (cm) C(c/min) 5 4.348 10 1.006 15 272 20 98 25 33 30 12
Siendo r la distancia media entre el contador y la fuente de Pu-Be, que emite 1,6 X 10® neutrones/s. La del agua es 0,017 cm"* para neutrones térmicos.
Solución:
El flujo neutrónico í> medido en el contador es <E> = K C . La intensidad Q de neutrones será de la forma
Q = j 'La^(r)Anr^dr.
Si se mide el flujo a distintas distancias r^, se tiene 0(r,-) = C(r,)AT donde
despejando
K = Q
4 7 rZ .2 ;C (r,H A r· Sustituyendo por los valores medidos en el contador,
S C ( r ,> J A /- = 5 | 4.348 X 25 + 1.006 x 100 +272 x 225+ \ 98 x 400 +33 x 625 + 12 x 900
Luego la constante de calibración 1,6 X 10^
4n X 0,017 X 28.427 263,4 neutr/cm^
@ Se coloca una fuente delgada de Po^*° de 2 fiCl entre las armaduras de un con densador como el de la figura.
- +
A .T .
El dispositivo permite colectar todos los iones producidos por cada partícula alfa. La emisión alfa es isótropa. La aparición de un par de iones introduce en el circuito una carga igual a la carga elemental. ¿Cuál es la corriente que se mide en el microamperímetro? Eoc = 5 , 5 MeV. Energía necesaria para producir un par ion-electrón = 35 eV.
Solución:
La fuente emite 2 fiCi = 7,4 x 10"^ part/s
La mitad solamente (por ser isótropa) se reparte en el gas
^ = 3 , 7 X 10^ part/s.
Cada partícula produce
5 5 Y 10^
Interacción de la radiación con la materia 87
La corriente será
/ = ^ = 3,1 X 10^ X 157143 X 1,6 x 10"
7 = 9 , 3 x 10-*®A= 9,3x10-^juA
E1 espectro de impulsos de una fuente radiactiva, de la que se sabe que emite sólo fotones de una única energía bastante alta, muestra tres picos prominentes en 7,38; 6,49 y 5,60 V. ¿Cuál es la energía del rayo y7
Solución:
El espectro tendrá un fotopico, un pico de escape y uno de doble escape. Fotopico: —* Ey.
El pico de escape será ^ Ey - mc^.
El pico de doble escape; ^ Ey - Imc^, siendo mc^ la masa en reposo del elec trón = 511 keV.
Suponemos que tiene un comportamiento lineal, luego V = a + b E . 7,38 = a -\-bEy 6.49 = a + b i E y - 5 U ) 5,60 = a + b (E y - 1022) Haciendo operaciones 6.49 = 7 , 3 8 - 5116-^ b = = 1,74 X 10-3 Y/kev.
Haciendo operaciones con otras dos ecuaciones sale el mismo valor para la con stante b, y además resulta que a = 0.
De todo ello se deduce que 7,38 Ey =
1,74 X 10-3 4,24 MeV Energía del rayo y.
(4) En la desintegración del se emiten dos fotones con energías de 0,898 MeV (92 %) y 1,836 MeV {100 %). Dibujar el espectro de rayos y esperado cuando se coloca una fuente de delante de un detector de INa y de un detector de Ge.
Solución:
En un espectro de fotones aparecen fotopicos, debidos a la absorción fotoeléctrica, continuos Compton y también pueden aparecer picos de escape y de doble es cape, asi como el pico de aniquilación de positrones, cuando la energia del fotón es superior a InioC^ {nio es la masa en reposo del electrón, Ey > 1,022 MeV). Los fotopicos se encuentran a la misma energía que la del fotón {Ey ). Los continuos Compton van desde O hasta un valor máximo que corresponde al de la energía cinética máxima del electrón (cuando el ángulo de dispersión del fotón en el efecto Compton es de 180°), y que valdrá
Ebc =
1 -^nioC^llEy
El pico de escape debe estar en Ey — nioC^ y el de doble escape en Ey — InioC^. El pico de aniquilación de positrones estará en = 0 ,511 MeV.
En el caso del problema, el fotón de 0,898 MeV dará lugar a un fotopico de 0,898 MeV y a un continuo Compton que llegará hasta 0,699 MeV.
El fotón de 1,836 MeV dará lugar a; Un fotopico de 1,836 MeV, un continuo Compton, hasta 1,612 MeV, un pico de escape en 1,322 MeV, un pico de doble escape en 0,814 MeV y un pico de aniquilación en 0,511 MeV, ya que la energía del fotón es superior a 1,022 MeV
Las principales diferencias entre un detector de INa y otro de Ge son la resolución (mucho mejor para el de Ge) y la eficiencia (mejor para el de INa). Como se puede apreciar en la figura, los picos del Ge son más estrechos (resolución), pero el espectro de INa(Tl) tiene mayor número de cuentas (eficiencia). En los detectores de INa, el continuo Compton es importante, como se observa en la figura, el pico de aniquilación y los de escape, asoman ligeramente por encima del continuo.
Interacción de ta radiación con la materia 89
2.4. Estadística
( l ) Un detector Geiger-Müller con tiempo de resolución i = 2 ,0 x 10""* s registra
N' = 5,0 X 10"* c/m. Determinar el número real N de partículas que cruzan el detector.
Solución:
Sea N el número real de partículas emitidas por la fuente/í.
Sea N ' el número de cuentas que registra el contador/í = 5 x 10"* c/m.
El contador no registra durante un tiempo xN ' cada segundo. Hay tA/^'TV partículas no registradas en el contador durante el tiempo t.
N — N' = N ' z N / t = son las que no cuenta el contador. Despejando, N ’ N = --- — y sustituyendo I — N z N = 5 X 10^ 6x 10"^ c/m 1 - (5 X 104 X 2 X 10-4/60) Que es el número real de cuentas.
Se sabe que el carbono de la madera verde da (16,1 ± 0,03) desint/m por gramo de carbono. Para determinar su edad se analizó una muestra de madera. El contador utilizado tenía un rendimiento del (5,40± 0,14) % y registró (9,5± 0,2) cuentas/m sobre 8 g de la muestra. El fondo del contador era de (5,0± 0,1) cuen- tas/m por 8 g y el periodo del es de (5.568± 30) años. Hallar la edad de la madera y el error que se comete en su determinación.
Solución: A(t) = pXN = pA,e-^^ = ( 9 , 5 - 5,0)/8 = 0 ,56 c/m.g, p es el rendimiento = 5,4 % = 0,054 0 ,56 0,054 X 16,1 0,44 ~ 1 T 3534 años
Para calcular el error hay que considerar errores sistemáticos y estadísticos. Error de Ao —> es estadístico (radiación cósmica, depende del tiempo). Error de fondo y de contaje — estadístico.
Error del periodo del carbono, es estadístico y sistemático. La desviación típica es de la forma
a = (3.4)
siendo los errores de las medidas. De la ecuación obtenida. T Í C - F 0,693 SpAo 8t 8T
= oÍ
3'"(
C - F ' SpAo;
= -0,628, dt 1 ( C - F ) T 1dAo Q , m ( C - F)/^pAo SpAl 0,693^, = 499,
dt dp 0 ,693 p dt T 1 T 1 - = 148789, dC 0 , 6 9 3 { C - F ) = 1785,4,
Interacción de la radiación con la materia 91
dF 0,693 (C - F)
^ , , = ,8.8; ¿ . . , = 14,97; = 208,3;
= 178,5; | ^ t r c = 357.
dF ^ ’ 5C
Operando la ecuación (3.4), resulta finalmente que a = 450 años. t = (3534 ± 450) años
Dos fuentes radiactivas se colocan cerca de un detector. Alternándolas el con tador registra «i y «2 cuentas/s. Juntas dan como resultado «12 cuentas/s. En contrar el tiempo de resolución del contador, siendo/ el ruido de fondo.
Solución:
Sea Ni el número real de c/s que emite la fuente 1, A^2 el número real que emite la 2, N i2 lo que emiten cuando están juntas y el fondo real. Sea x el tiempo de resolución.
En general si N son las c/s emitidas y n las medidas, nx será el tiempo durante el cual no ha medido nada el detector, Nnx será el número de cuentas que no ha podido medir porque han llegado en ese tiempo, es decir,
N — n = Nnx — ► N = 1 - nx
Aplicando esta relación a las medidas realizadas en el problema ni Ni = 1 — nix ’ N , = N „ = 1 — «2^ ’ ni2 1 - n i 2 x ’ f
Sabemos también que
F + N2- F = N í 2 - F — > N i + N 2 - F = Ni2. Sustituyendo las expresiones anteriores,
'12 /
1 — «12T 1 — « i T 1 — «2T 1 —/ t *
Si los denominadores son lo suficientemente pequeños.
n 1 — nx = n + n X,
nr ^n]x-^H2+nlx ~(f
+ / ^ t ) = «12+ « 121:.X
( « 5 + «2 - «12 - / ^ ) = «12+f -ni- U
2.
de donde X =ni2 +f -ni- U2
n \ ^ n l - n \ 2 - PInteracción de la radiación con la materia 93
3. Pr o b l e m a s p r o p u e s t o s
L (a) ¿A qué ángulo se emitirá la radiación de Cerenkov producida por un núcleo de de 5 X 1Q3 MeV al atravesar un medio transparente de índice de refracción n = 1,5?
(b) ¿Cuántos fotones por metro de recorrido se emitirán con longitudes de onda comprendidas entre 400 y 600 nm?
2. Se considera un haz de partículas alfa de 5 MeV atravesando el aire.
(a) ¿Cuál es el poder de frenado (relativo a las alfas) de los deuterones con la misma velocidad que las alfas?
(b) ¿Cuál es la energía de los deuterones?
3. Un haz de rayos X se atenúa un factor 2,6, después de pasar a través de una placa de aluminio de 2,9 cm de espesor. ¿Cuánto vale el coeficiente de absorción másico?
4. Cuando un fotón de 1 MeV sufre una dispersión Compton, el fotón dispersado lleva el 56% de la energía. ¿Cuál es el ángulo de dispersión que corresponde a un fotón de esa energía?
5. ¿Qué espesor de aluminio tendremos que poner si queremos atenuar un haz estrecho de rayos X, con una energía de 200 keV, lo mismo que lo atenúa una lámina de Pb de 1 mm de espesor?
(m/p)ai = 0 ,122 cm^/g. (ji/p)vh - 0,942 cm^/g.
6. Las partículas a de 6,50 MeV sufren dispersión de Coulomb en una lámina de oro (Z = 79).
(a) ¿Cuál es el parámetro de impacto cuando la partícula dispersada se observa a 90°?
(b) Encontrar la mínima distancia entre la partícula a y el núcleo.
(c) Encontrar las energías cinética y potencial de la partícula a a esa distancia.
7. Una fuente puntual de partículas a de 20 fiCi se coloca en contacto con una cara de una gran cámara de ionización. La fuente emite partículas alfa de una única
energía, 5,30 MeV. ¿Cuál es la corriente producida a la salida de la cámara, si las partículas a que entran en ella pierden toda su energía? (Suponer un 100% de eficiencia en la colección de cargas.)
Calcular el valor del campo eléctrico en la superficie del filamento de un contador proporcional. El radio del filamento es de 1/10 mm y el del cilindro es 0,01 m. Entre ambos se aplica una d.d.p. de 1.500 V.
9. ¿Qué fracción de partículas cruzando un contador con resolución t = 10~®s, se
perderán durante el contaje de 100 y 10^ cuentas/s?
10. Cuando se detecta una desintegración, ¿qué probabilidad P(t) hay de que la siguiente desintegración detectada se realice después de transcurrido un tiem po /?
11. Se ha medido la actividad de una fuente en cinco periodos de 30 seg, y ha dado los siguientes resultados: 1.345; 1.382; 1.336; 1.357; 1.362. También se ha medido el fondo del mismo modo, dando: 5; 6; 7; 4; 7. Calcular el número de cuentas/s netas que son detectadas debidas a la fuente.
M M ' I 7 \ ^ % . . - M J s : i ñ - ' í ? i ‘í l ! “ . / . ! . í í l , r ’l j : 5 J € t . - C í
1. In t r o d u c c ió n TEÓRICA
Una reacción nuclear es un proceso en el que cambia la composición y/o la energía de un núcleo blanco debido a que ha sido bombardeado con una partícula nuclear o radiación gamma (se trata de una colisión entre un núcleo y una partícula).
A + a — B + b + Q,
donde A es el núcleo blanco, a la partícula incidente, B el núcleo residual y ¿ la par tícula emergente de la reacción. Esta reacción se representa frecuentemente mediante la siguiente notación, ideada por Bothe
A {a,b)B,
en la que la primera letra es el blanco y la última el núcleo residual, entre paréntesis el proyectil y luego las partículas que escapan. La Q de la reacción es la diferencia de masas en reposo entre el primer miembro y el segundo multiplicada por .
F ig u r a 4.1. Esquema típico de colisión entre dos partículas
En una colisión elàstica se conserva el momento lineal y la energía cinética, antes y después de la reacción, por lo que Q = 0.
En una colisión inelàstica se conserva el momento lineal y la energía total, pero no la energía cinética de las partículas. Q 0.
Si Q es positiva, la reacción es exotérmica. Ocurre para cualquier energía del pro yectil.
Si Q es negativa, la reacción es endotérmica. En este caso [ Q\ es la energía mínima que debemos comunicar a las dos partículas del primer miembro, en el sistema de su centro de masas, si queremos que se produzca la reacción. En el siste ma laboratorio la energía cinética umbral de la partícula incidente para que ocurra la reacción será
r„ = ^ i e i , (4.1)
donde m es la masa de la partícula incidente y Af la masa del núcleo blanco. En este caso 6 = (p = 0^ y la partícula b y B se mueven en una misma dirección. En una reacción del tipo a A ^ b B, en donde las partículas son emitidas formando un cierto ángulo, resulta ser, de la conservación de la energía y el momento
e = ( — - l)Ta +(1 + — ) n - — v 'm .m .T ^ n c o s e . (4.2)
m s fns niB
siendo 6 el ángulo de desviación de la partícula b sobre la trayectoria inicial, como aparece en la figura 4.1.
1.1. Leyes de conservación en las reacciones nucleares
Ley de conservación de la carga.-Se conserva la carga atómica (Z ) a lo largo del proceso.
Ley de conservación del número de nucleones.-El número de nucleones {A) total se conserva, pero el número de protones y el de neutrones no tiene por qué ser conservativo.
Principio de conservación de la energía total.-Para que se conserve la energía total del sistema, debe ocurrir
Ta +mAC^ +maC^ = Tb + Ti, +mBC^ -\-mbC^, suponiendo el núcleo blanco en reposo.
1.2. Tipos de reacciones nucleares
Dispersión-Se trata de la colisión mecánica entre el proyectil y el núcleo blanco. Varía la trayectoria de las partículas, y si es inelástica, el núcleo colisionado alcanza alguno de sus niveles excitados.
Captura radiativa-Se emite radiación gamma después de que el núcleo blanco ab sorba al proyectil. Estas reacciones son siempre exotérmicas.
Emisión de partículas-Ray una emisión de partículas posterior a la absorción del proyectil.
Fotodesintegración.-En este caso el proyectil es radiación gamma, y posteriormente se emitirá una partícula. Estas reacciones son siempre endotérmicas.
Fw/ó«.-Se absorbe el proyectil y posteriormente el núcleo se escinde. Altamente exotérmicas.
Fusión-\años núcleos ligeros se unen para formar otro más pesado.
Estas dos últimas se tratarán con más detenimiento en el capítulo 6 de este libro. 1.3. Sección eficaz
El concepto de sección eficaz sirve para describir cuantitativamente la probabili dad de que se produzca una reacción nuclear. Es una magnitud medible experimen talmente y, a la vez, calculable teóricamente. La sección eficaz de un blanco para una reacción determinada es una propiedad del núcleo y de la energía del proyectil incidente. Se representa con tr y se mide en barns ( 10" cm^).
Hay casos en que la sección eficaz de reacción es muy grande en pequeños intervalos de energía. Son estados virtuales y las .energías correspondientes se llaman “energía de resonancia”. Esto sugiere que dichos estados tienen una vida media t dada por
- = A E = T.
T
El descubrimiento de estas resonancias dio lugar al modelo del núcleo compuesto (Bohr, 1936).
En una reacción nuclear, en donde se forma un núcleo compuesto C* a + A ^ C * ^ b + B .
La sección eficaz de la reacción es de la forma (fórmula de Breit-Wigner):
Reacciones nucieares 97
I donde
g es un factor estadístico que tiene en cuenta los espines, g = (2/ + 1) para partículas sin espín,
k - número de onda = p/Ti,
r = anchura total de la reacción = + . . . ,
Ta mide la probabilidad de emisión, E es la energía de la partícula incidente, E\ es la energía de resonancia.
En caso de resonancia, E = Ei.
En el caso de dispersión elástica, T = y én la resonancia, se tiene Ang
= - w
En el caso de dispersión inelástica, hay que tener en cuenta que F¿ = F — F„, y por tanto la sección eficaz es
71 F , ( F - F . )
Y2/4 ■
1.4. Velocidad de producción de una reacción nuclear
R = 'L ^ reacciones/cm^ · s donde
X = ( 7 TV,
es la sección eficaz macroscópica, N = concentración nuclear (n/cm^),
= flujo de partículas/cm^-s.
La variación de núcleos a lo largo del tiempo será dN
dt
Al cabo de un tiempo lo suficientemente largo se alcanza un estado estacionario en que XO = XNo, por lo que la actividad en este estado estacionario será = SO, que recibe el nombre de actividad de saturación del material.
Reacciones nucleares 99
Si se retira del flujo el material activado su actividad decaerá de forma exponencial y la concentración de N (por cm^) al cabo de un tiempo t será,
N{i) = Noe-^‘.
Cuando el tiempo de exposición no ha sido lo suficientemente largo, la solución de (4.3) es
A7V(0 = 2 0 ( 1
2. Pro b l e m a s re su e l t o s
2.1. Leyes de conservación en las reacciones nucleares
0 Al capturar el Boro un neutrón lento, se produce la reacción B*®(n,a)Li^. Supo niendo que el núcleo de litio quede en el estado fundamental, calcular
(a) la energía liberada por la reacción (en MeV),
(b) las energías cinéticas de la partícula a y del núcleo de Li.
Solución:
+ n — >Ul + a .
(a) Con las masas que aparecen en las tablas para los núcleos y las partículas que participan en la reacción y sustituyendo,
Q = [rriB + m n - (mL¿ + m ^ ) ] =
= [10,012937 + 1,008665 - (7,016004 +4,002603)] =
(b) Como es un neutrón lento consideramos que su energía cinética es igual a O, = O y además por conservación del momento
\ Pa\ ^\ PLi \ , mLiT^i = macToc Q = Tl í+ To, m„ m„ T - 1 ry — niLi
ryio, + mLi0 = 1,78 MeV
Reacciones nucleares 101
Se estudian las colisiones elásticas entre haces de partículas alfa y otros núcleos en una cámara de niebla. Se observa que la partícula a se desvía 55° de su di rección, mientras que el núcleo blanco deja una traza formando un ángulo de 35°. Determinar la masa del núcleo blanco.
Solución:
Según la figura anterior y planteando las ecuaciones de conservación del m omento y de la energía cinética
(a) rriocV = Vi eos 9 + mj^V2 eos \¡/
ib) (c)
O = m« Vi sen 9 — m.xV2 sen ij/
Despejando en (6)
rrix sen il/ Vi = ----V2--- 3-
m„ sen 6
sustituyendo en (a) y operando
sen (9 + ij/)
V
= — V2-mr sen 9
sustituyendo los valores de vi y v en (c) y operando
niy sen^ (9 + \¡/) sen^ \j/
m, sen^ 9
1 - 0 , 3 3
0 ,67
sen^ 9 = 1,
= 4
Una partícula alfa sufre una dispersión elástica por un núcleo de estacionario, a un ángulo de 60*^ (en el sistema del centro de masas). ¿Cuál será la fracción de energía cinética perdida por la partícula a?
Solución:
La energía cinética perdida por la partícula a a consecuencia del choque, es pre cisamente To — Toc = Te. Luego la fracción de energía perdida será TcITq. Teniendo en cuenta las ecs. de la conservación del momento y la energía cinética, resulta
T^ = T ^ - Te (1) )
} pI = pI-\-pI - ^PoPcc eos (p (2)
Pe - po — Poc )
Teniendo en cuenta q u e = 2m 7 y sustituyendo (1) en (2) se llega a
IrriacTo - Tcintoc -\-rric) = 2mcc\/ToiTo - Tc)cos(p,
para simpHficar, dando los valores enteros de las masas m« = 4, m e = 12 queda
To — 2Te = \/ To(To — Te)cos q>.
Haciendo T dT o = x , y elevando al cuadrado. Queda una ec, de 2.° grado
- x(4 - cos^ (p) + sen^ ^ = 0. (3)
Todo este razonamiento se ha hecho suponiendo el movimiento de las partículas en el sistema de referencia del laboratorio, por lo que cp es el ángulo que forma la partícula a después del choque en el sistema laboratorio. En el problema se dice que forma un ángulo de 60° en el sistema centro de masas, por lo que se debe hacer el cambio de un sistema de referencia a otro, para determinar el ángulo. Para pasar del sistema de laboratorio al del centro de masas sólo hay que tener en cuenta que la velocidad en el centro de masas es igual a la del laboratorio, más la velocidad con que se mueve el centro de masas. En cualquier libro de Mecánica puede encontrarse el cambio. Llamando 9 al ángulo en el centro de masas, se cumple que
m e sen 0 12 x 0,866 ,
tan (p = --- T--- = — TT—z— T = 1,039,
l~:.VÍMreri:títie^iS5í?IHtBsrtíi5íi¿H™?Rng3l5íííitr:ív>;^ Reacciones nucleares 103 de donde resulta que el ángulo en el sistema de laboratorio es (p = 46 ,1° Susti tuyendo este valor en la ec. (3) se obtiene
_ 3,52± v / 1 2 , 3 9 - 8 , 3 2 j 0,692
8 “ ( 0 ,187
De las dos soluciones una es espirea, se ha introducido al elevar al cuadrado, pero no corresponde a la solución. Sólo es váhda la segunda. Por tanto, la fracción de pérdida de energía cinética de la partícula a es
A T
0,187
0 Al bombardear con protones de 4,5 MeV tiene lugar la reacción Li'^(p,n)Be'^. Los neutrones expulsados según un ángulo de 90° con la dirección del haz de protones tienen una energía de 1,94 MeV.
(a) Calcular la Q de la reacción.
(b) Calcular la energía máxima de los neutrones emitidos cuando la energía de los protones incidentes es de 5 MeV y en el caso de que sea de 2 MeV. (c) ¿Existe algún límite para los neutrones emitidos?
(d) Encontrar una expresión que relacione, para esta reacción nuclear, el ángulo límite con la energía cinética de los protones incidentes. Aplicarle los valores de 5 y 1,9 MeV.
Solución:
L f + P — ► Be^ + n + g .
(a) Aplicando la expresión (4.2) y teniendo en cuenta que 9= 90^
Q = -1 ,6 4 MeV
(b) Utilizando la expresión (4.2)
\fnBe + ( \mBe h l —.---s/fnpffljiTpTneos 9.
Para Tp = 5 MeV
-18,52 + 8Tn - 2 a /5 v ^ e o s 0 = 0 ,
r„ - 0 ,56^Tn eos 0 - 2,31 = 0.
La energía máxima será para eos 0 = 1 — ► 0 = 0 ° , resolviendo la ecuación y teniendo en cuenta únicamente la solución de raíz positiva (la de raíz negativa corresponde a la energía mínima)
/TíT 0,56 + V0,562 + 9,26 V^n = --- --- Para Tp = 2 MeV Tn = 3,33 MeV T n -0 ,3 5 x /T n -0 .0 6 5 =0, Tn =0, 23 MeV
(c) y (d) El ángulo límite dependerá de la energía cinética de los protones inci dentes; vamos a ver que para algunas energías no existe ningún ángulo límite. En general
1,14 Tn - 0 , e o s 9 x / j ; - 0. S6Tp + 1,64 = O,
Reacciones nucleares i0 5
para que tenga solución esta ecuación: — 4ac > O