Ser´ıa deseable poder reconstruir el estado de entrada Ψ a un canal cu´anti- co a partir del estado de salida TΨ, aplicando una transformaci´on derescate R sobre el conjunto de posibles estados, tal que
R(TΨ) = R
m
X
j=1
LjΨL†j = Ψ
para cualquier estado Ψ ∈ Hy cualquier operadorLj ∈ E,1≤j ≤m, donde
E es el espacio de operadores error. Se podr´ıa pensar en buscar transforma- ciones R de la forma RΨ = m X i=1 RiΨR†i donde m X i=1 R†iRi = I
Sin embargo, tales transformacionesRino necesariamente existen para cualquier
estado del sistema cu´antico, s´olo se puede asegurar su existencia para una clase especial de estado (la cual, seg´un [16], no es para nada peque˜na), para los cuales es posible un rescate (casi)-total de la informaci´on inicial, i.e., del estado inicial. Los estados miembros de esta clase son denominados buenos para codificar mensajes. En el presente escrito se evadir´a la demostraci´on de la existencia de tales estados buenos para codificar, pero si se caracterizar´an dada la importancia de su introducci´on para el objetivo propuesto. En [2] se puede encontrar el argumento detallado de este hecho, y la conclusi´on del mismo soporta la existencia de los c´odigos a discutir.
Para establecer par´ametros que caractericen y/o destaquen a un estado como bueno, es necesario definir algunos conceptos previos.
Definici´on Sea C ⊂ H un subespacio. Un estado Ψ se dice que tiene su soporte enC siT r PΨ = 1, donde P es la proyecci´on en C.
Para C como en la definici´on anterior, se denota por C⊥ al complemento
ortogonal de C, es decir,
C⊥ = {|ϕi ∈ H | hφ|ϕi= 0, ∀|φi ∈ C}
Cada |ψi en HΛ se puede escribir de forma ´unica como |ψi = |φi + |ϕi,
donde |φi ∈ C⊥ y |ϕi ∈ C.
Un estado Ψ tiene soporte en C si y s´olo si Ψ deja a C y aC⊥ invariantes y si
k
X
i=1
hϕi|Ψ|ϕii = 1
donde {|ϕii |1≤i≤k} es una base ortonormal paraC. Ahora se introduce
la definici´on clave para la codificaci´on de un estado [16].
Definici´on SeaE el espacio de operadores error de un canal cu´antico, cuyos estados de entrada y salida est´an definidos en el espacio de Hilbert H 10
de dimensi´on n. Un subespacio C ⊂ H es llamado un c´odigo cu´antico si existen matrices R1, R2, ..., Rm (las cuales act´uan como operadores lineales
en H), tales que satisfacen las siguientes caracter´ısticas:
m
X
i=1
Ri†Ri = I ;
Para cualquier m ∈ Z+, para cualquier Lj ∈ E , 1 ≤ j ≤ m y para
cualquier estado Ψ∈ H con soporte en C se tiene que
m X i=1 Ri ( k X j=1 LjΨL†j ) R†i = Ψ 10
se debe recordar la suposici´on hecha sobre los espacios de entrada y salida del canal cu´antico H = H′
Entonces, los estados con soporte en c´odigo cu´anticoC son los estados buenos que se buscan. Si se transmite uno de tales estados Ψ buenos, el estado de salida tendr´a la forma
Ψ′ = k X j=1 LjΨL†j, tales que k X j=1 LjL†j.
Si, para este estado Ψ′, se tiene aplica el operador de rescate R definido por
RΨ′ =
m
X
j=1
RjΨRj†,
se podr´ıa recuperar el estado inicial Ψ. As´ı pues, se pude replantear la se- lecci´on de estados buenos para codificar como la selecci´on de estados Ψ con soporte en el c´odigo cu´anticoE-correctorC, el cual se tendr´ıa que escoger con la dimensi´on mas grande posible para aumentar la cantidad de informaci´on libre de error transmitida por el canal cu´antico. El siguiente teorema, al cual se llamara teorema de Knill-Laflamme ([13]), sintetiza las condiciones para esta familia de operadores de rescate R.
Teorema 4.3 (Knill-Laflamme) Sea E una familia de operadores en H⊗n
y sea C ⊂ H⊗n
un c´odigo cu´antico con base ortonormal {ϕ1, . . . , ϕk}. En-
tonces, existe una familia de operadores {Rj}, 1≤j ≤m, enH⊗
n
los cuales satisfacen las siguientes condiciones
1.
m
X
j=1
RjRj† = I
2. para un numero finito de operadores Li ∈ E, 1 ≤ i ≤ k, tales que k X i=1 LiL†i = I, se tiene que m X j=1 Rj ( k X i=1 Li|ϕihϕ|L†i ) Rj† = |ϕihϕ|, para todo |ϕi ∈ C.
si y s´olo si se cumplen que
i) hϕp|L†1L2|ϕqi = 0, para todo L1, L2 ∈ E, p 6= q, 1 ≤p, q ≤ k.
ii) hϕp|L†1L2|ϕpi es independiente de p, 1 ≤p ≤ k.
La prueba de Knill-Laflamme es constructiva (ver [13]), por lo cual expresa los operadores de rescate en t´erminos de la base ortonormal deC escogida. En el presente escrito no se mostrara tal prueba, pero si se replanteara el teorema de Knill-Laflamme de forma mas conveniente para la posterior construcci´on de c´odigos cu´anticos basados en c´odigos cl´asicos.
Ahora sup´ongase que el espacio de Hilbert H, del que son miembros los estados de entrada y salida, es obtenido a partir del producto tensorial de n copias de otro espacio de Hilbert H′, esto es, H = (H′)⊗n
. En este caso, un estado Ψ ∈ H es un KET producto |ψ1ψ2...ψni, donde ψi 1≤ i ≤ n, es un
vector unitario en H′. Si este estado |ψ
1ψ2...ψni es transmitido a trav´es de
un canal cu´antico dado, sup´ongase que el ruido del mismo afecta a no m´as de t entradas de |ψ1ψ2...ψni, donde t es de magnitud peque˜na comparada con
n. Lo anterior significa que si el estado de salida del canal es |φ1φ2...φni, se
tiene que existe un N⊂Z+ tal que
|ψii = |φii, ∀i∈N⊂ {1,2, ..., n}, donden−t≤#N
Ahora, sea N′ = {i1, i2, ..., is}, con s ≤ t, el complemento de N. Se podr´ıa
re-escribir el estado de salida |φ1φ2...φni del canal cu´antico como
|φ1φ2...φni = |U1ψ1, U2ψ2, ..., Unψni
= U1⊗U2⊗...⊗Un|ψ1ψ2...ψni
donde Ui = I si i ∈ N. De lo anterior se puede afirmar que para el caso
donde a lo sumotoperadoresUi , 1 ≤1≤n, no son iguales al operador iden-
tidad (operador no-error si se quiere). Se denotara entonces porEtal espacio
lineal generado por los operadores producto U1⊗U2⊗...⊗Un. Entonces, al
subespacioC ⊂ Ha partir del que se defineEtse le llama un c´odigo cu´antico
corrector de t-errores.
Es muy importante resaltar que, aunque el estado de entrada al canal cu´anti- co sea el producto de estados puros, debido a la corrupci´on del estado gener- ada por los operadores de error en Et, al ser transmitido a trav´es del canal,
el estado de salida no necesariamente sigue siendo el producto de estados puros. En tal caso se dice que ha ocurrido decoherencia a la salida del canal [21].
El paso a seguir es caracterizar y representar estos operadores errores hacien- do uso de una estructura de grupo, para as´ı construir un grupo de c´odigo cu´antico a partir del la estructura de un c´odigo cl´asico.