En la presente secci´on se estudiar´a c´omo construir c´odigos de correcci´on de errores haciendo uso de homomorfismos de grupos.
Sean G1, G2, grupos finitos con elementos identidad e1, e2, respectivamente,
se debe recordar que la aplicaci´on τ :G1 → G2 se denomina homomorfismo
de G1 en G2 si, para todo f, g ∈ G1, se cumple que τ(f g) =τ(f)τ(g), y se
cumple queτ(e1) =e2. Si se tiene queτ−1 es tambi´en un homomorfismo,τ es
llamado isomorfismo, y si adicionalmenteG1 =G2,τ es llamado unautomor-
fismo. As´ı mismo, se debe recordar que el n´ucleo o kernel del homomorfimo τ es el conjunto Kerτ ={g ∈G1|τ(g) =e2}. Un m´etodo pr´actico de obten-
er subgrupos (normales) de G1 es definir homomorfismos τi y analizar sus
n´ucleosKerτi ; alternativamente, se podr´ıan considerar subgrupos deG2, los
cuales son los im´agenes de los homomorfismosτi. Tales m´etodos son t´ecnicas
de gran utilidad para la construcci´on de c´odigos.
Sup´ongase que el alfabeto Λ usado es un grupo finito con elemento identi- dad e. En este contexto, el conjunto de todas las cadenas de longitud n, Λn,
es el grupo producto cartesiano n-veces el grupo Λ, con elemento identidad e = eee..e| {z }
n−veces
y operaci´on de grupo ab = a1b1...anbn
| {z }
n−veces
, a,b ∈ Λn. Ahora bi-
definida para los elementos de Λ , se tiene que, para todo a,b,c∈Λ d(a,b) = #{i|ai 6=bi,1≤i≤n}; = #{i|b−i 1ai 6=e,1≤i≤n}=d(b−1a,e); = #{i|e6=a−i 1bi,1≤i≤n}=d(a−1b,e); = #{i|ciai 6=cibi,1≤i≤n}=d(ac,bc); = #{i|aici 6=bici,1≤i≤n}=d(ca,cb).
De lo anterior se puede concluir que la distancia de Hamming es invariante respecto a translaciones de cadenas a derecha e izquierda. A partir de este hecho, se puede definir el peso de una cadena como
w(a) = d(a,e) = #{i|ai 6=e,1≤i≤n}
el n´umero de elementos de la cadena diferentes del elemento identidad. As´ı mis- mo, usando la definici´on de peso de una cadena en Λn, se obtiene que
d(a,b) = w(a−1b) = w(b−1a). Entonces, el peso de una cadena ( y por
ende la distancia de Hamming) es invariante bajo cualquier automorfismo τ : Λ→Λ, esto es
w(a) =w(τ(a)) donde τ(a) = τ(a1)τ(a2)...τ(an)
Lo anterior se deduce del hecho que
a1a2...an→τ(a1)τ(a2)...τ(an), eee..e | {z } n−veces → eee..e| {z } n−veces
as´ı que el n´umero de elementos de la cadena a diferentes de la cadena ele- mento identidad, es decirw(a), es igual al n´umero de elementos de la cadena
τ = τ(a1)τ(a2)...τ(an), diferentes de la cadena elemento identidad, es decir
w(τ(a)).
Un C ≤ Λn, tal que #C = M, ser´a llamado un (sub)grupo de c´odigo con
alfabeto Λ, con distancia m´ınima d(C) dada por
d(C) = min
c6=e;c∈Cw(c).
En particular, si se utiliza como alfabeto un espacio vectorial sobre un cuerpo finito, visualiz´andolo como un grupo abeliano aditivo, este permite usar un conjunto grande de homomorfismos. Para este caso, HOMΛ es tambi´en un
grupo aditivo con elemento nulo la aplicaci´on que env´ıa todo elemento a e, por lo que el c´odigo C definido, es un grupo de c´odigo. Ampliando esta idea a homomorfismos de Λ en otro grupo abeliano, digamos Ω, es posible construir c´odigos con mayor capacidad de mensajes, es decir, si se denota por HOM(Λ,Ω) al conjunto de homomorfismo de Λ en Ω, el n´umero de mensajes
M = #HOM(Λ,Ω) incrementar´ıa [17]. A continuaci´on se extiende esta idea.
Se va a hacer uso del grupo (alfabeto) Λ con las caracter´ısticas propuestas, esto es, Λ es un grupo aditivo abeliano tal que #Λ = N. Para cualquier elemento de este alfabeto, a∈Λ, def´ınase la operaci´on
na=a+a+a+· · ·+a
| {z }
n−veces
Como Λ es un grupo finito, existen varios valores enteros positivos n tales que na =e, para a ∈ Λ. T´omese el menor de tales valores y den´otese como r ∈Z+, es decir,
Por otro lado, para el grupo abeliano Ω, t´omese el grupo multiplicativo abeliano de las ra´ıces r-´esimas de la unidad, Ω = {1, ω, ω2, ω3, . . . , ωr−1},
donde ω = exp(2πi
r ). Para simplificar un poco la notaci´on, den´otese al con-
junto de homomorfismos de Λ en Ω, HOMΛ,Ω = ˆΛ. Se va a llamar car´acter
de Λ a cadaα∈Λ, y, se va a definir para todoˆ α, β ∈Λ, (αβ)(a) =ˆ α(a)β(a), dondea ∈Λ . Haciendo uso de esta definici´on para el producto de caracteres de Λ, la operaci´on resulta cerrada, esto es, (αβ)(a) ∈ Λ. As´ı mismo, si seˆ defineα−1(a) =α(a), este resulta ser un car´acter, es decir un homomorfismo elemento de ˆΛ. Tambi´en, se puede definir el car´acter identidad por medio de αα−1 =α−1α.
De las observaciones anteriores se concluye que ˆΛ un grupo abeliano multi- plicativo, el cual es llamado el grupo dual o grupo de caracteres de Λ, donde #ˆΛ = #Λ =N.
Es posible ordenar los elementos de Λ y ˆΛ con la siguiente indexaci´on
Λ ={a0, a1, . . . , aN−1}
ˆ
Λ ={α0, α1, . . . , αN−1}
dondea0 =ees el elemento nulo de Λ, y α0 es el car´acter identidad. A partir
de esta indexaci´on, def´ınase la matrizHN×N = ((αi(aj))), 1 ≤i, j ≤N−1,
la cual es una matriz ortogonal con entradas lasr-´esimas ra´ıces de la unidad. Haciendo uso de H, se pueden expresar las relaciones de ortogonalidad de
Schur como
Revisemos un ejemplo num´erico, con un alfabeto usado ya antes, Λ = {0,1}, considerado como un grupo abeliano aditivo con adici´on modulo 2. Para este grupo,r=min{n∈Z+ |na= 0,∀a ∈Λ}= 2, luego Ω ={1,−1}.
Entonces s´olo existen dos homomorfismos, α0, α1 ∈Λ definidos porˆ
α0(0) = 1, α0(1) = 1 ;
α1(0) = 1, α1(1) =−1.
Entonces el conjunto de caracteres del alfabeto Λ es ˆΛ = {α0, α1} como se
definieron arriba. Si se extendiera el alfabeto, digamos a Λ3 = {0,1}3 =
{000,001,010,100,011,101,110,111}, conociendo el conjunto de caracteres de Λ, es posible escribir cualquier car´acter λ de Λ3 como
λ(i,j,k)(xyz) =αi(x)αj(y)αk(z) ; αi ∈Λˆ
donde xyz ∈ Λ3, y, i, j, k ∈ {0,1}. Dada la naturaleza del alfabeto, con la
suma +2 m´odulo 2 y el productosxi, yj, zk usual en Λ, cada car´acterλ∈Λˆ3,
se puede calcular de la siguiente forma:
λ(i,j,k)(xyz) =αi(x)αj(y)αk(z)
= (−1)(xi+2yj+2zk)
Bas´andose en la construcci´on descrita en esta secci´on, se va a retomar, en la secci´on siguiente, el problema de c´omo construir c´odigos de correcci´on de errores en la transmisi´on de estados cu´anticos a trav´es de un canal con caracter´ısticas espec´ıficas.