Las cincuenta y seis series de precios comienzan por un valor diferente, es decir, en el día 02/01/98 el precio varía de una serie a otra. Por esta razón no se pueden establecer unos intervalos de frecuencias absolutas que muestren una, o más relaciones, entre los valores alcanzados. Por ejemplo, si calculamos la distribución de frecuencias de las series de precios correspondientes a las emisiones NL10222 (plazo residual 1,55), NL10199 (plazo residual 2,55), IT36665 (plazo residual 19,35) y IT117461 (plazo residual 23,35) obtenemos los resultados que se recogen en la tabla 1.10. Los intervalos, con una amplitud de ocho puntos, los hemos formado considerando la diferencia entre el mayor máximo (159,48 de la emisión FR0000571085) y el menor mínimo (96,90 de la emisión DE113449) de todas las series, es decir, el rango de todas las series de precios que es 62,58.
Tabla 1.10
Distribución de frecuencias, en 1998/04, de las series de precios correspondientes a las emisiones NL10222, NL10199, IT36665 y IT117461
Observamos, en la tabla 1.10, que las dos emisiones de Holanda, con plazo residual menor que 3,25 años, tienen distribuciones muy diferentes, la primera, NL10222, concentra sus valores en el intervalo [96 , 120) y la segunda, NL10199, en el intervalo [112 , 136). Sin embargo, como demostraremos más adelante, el comportamiento de ellas es similar. Lo que diferencia estos resultados es el precio que tenían en el día 02/01/98: 105,27 y 124,33, respectivamente.
La misma situación se presenta en las dos emisiones de Italia, tabla 1.10, con plazo residual mayor que 15 años, también tienen una distribución de frecuencias muy diferente, IT36665 acumula la mayoría de sus valores en el intervalo [136 , 160) y IT117461 lo hace en el intervalo [104 , 128). Otra vez, lo que diferencia estos resultados 1998/2004 Pl. re s. [96 , 104) [104 , 112) [112 , 120) [120 , 128) [128 , 136) [136 , 144) [144 , 152) [152,160)
NL10222= 1,55 228 1438 160 0 0 0 0 0
NL10199= 2,55 0 1 1087 508 230 0 0 0
IT36665= 19,35 0 0 0 0 53 681 486 606
es el precio que tenían en el día 02/01/98: 137,93 y 107,31, respectivamente.
El problema es que no tenemos una referencia única para poder analizarlas conjuntamente. Para solucionarlo creamos 56 nuevas series, que llamamos series de precios desplazados o series desplazadas, a partir de las de precios, de la siguiente manera: A cada serie de precios, correspondiente a cada emisión, le restamos su valor mínimo. Las nuevas series no varían su comportamiento respecto a las de los precios ya que únicamente desplazamos sus valores hacia el eje de abcisas (el valor mínimo de cada serie de precios pasa a ser cero en las series desplazadas).
En la tabla 1.1120
se recogen los estadísticos de las series de precios desplazadas y, como se puede observar, la desviación estándar, la varianza, la curtosis y el coeficiente de asimetría coinciden, evidentemente, con los de las series de precios (ver tabla 1.621
). El mínimo, por la construcción de las series, vale cero en todas ellas, el máximo, también por la formación de las series, coincide con el rango de cada serie de precios. Las distribuciones de frecuencias de las series desplazadas son iguales a las de las series de precios sólo que con valores menores ya que están referenciadas al valor mínimo. El máximo rango entre todas ellas es el resultado de la diferencia entre el mayor máximo (34,07), que coincide con el mayor de los rangos de la series de precios (emisión IT108656, tabla 1.6) y el menor mínimo que es cero. La distribución de frecuencias absolutas obtenida se muestra en las tablas 1.12, desde el intervalo [0 , 2) hasta el [14 , 16), y 1.13 desde el intervalo [16 , 18) hasta el [30 , 35), ordenadas por el plazo residual de las emisiones.
La interpretación de las frecuencias absolutas de las series de precios desplazadas con respecto a las de precios es la siguiente: valores de las frecuencias próximos a cero indican precios próximos al mínimo y conforme éstos aumentan, los precios se aproximan al máximo. Es decir, en el intervalo [0,2) se encuentran los precios mínimos alcanzados, entre 0 y 2 puntos del mínimo, y en el intervalo [30, 35) están los precios máximos, entre 30 y 35 del mínimo o entre 5 y 0 del máximo, que alcanza cada serie de 20 Las tablas 1.11 hasta 1.16 se encuentran al final del capítulo 1, páginas 53-58.
precios.
En las tablas 1.14 y 1.15, se muestran las frecuencias relativas obtenidas de las tablas 1.12 y 1.13. Se observa que el comportamiento de los precios varía según sea el plazo residual de cada emisión. Veamos esto con más detalle.
Para una mejor interpretación presentamos la tabla 1.16, construida a partir de las tablas 1.14 y 1.15, que contiene ocho columnas que corresponden a los intervalos: [0 , 4), [0 , 6), [0 , 8), [0 , 10), [28 , 35), [26 , 35), [24 , 35) y [22 , 35). Las cuatro primeras columnas son las frecuencias relativas acumuladas desde cero hasta el número que se indica, por ejemplo la columna correspondiente al intervalo [0 , 6) está formada por la suma de las frecuencias relativas desde cero hasta seis. Las cuatro últimas columnas son las frecuencias relativas acumuladas hasta 35 desde el número que se indica, por ejemplo la columna correspondiente al intervalo [24 , 35) está formada por la suma de las frecuencias relativas desde veinticuatro hasta treinta y cinco. De esta tabla podemos inferir que:
➢ De las 37 emisiones con menos de seis años de plazo residual 29 de ellas concentran más de un 80% de sus precios en el intervalo [0 , 10). Las ocho restantes son BE288 (76,1%), NL10202 (77,4%), NL10199 (73,9%), IT36768 (71%), NL10195 (71%), ES00001157 (63,5%), IT36749 (28,7%) y ES00001154 (22,4%) cuyos cupones son mayores que 8,15 excepto el de BE288 que es 5,75. ➢ Las 8 emisiones con plazo residual entre 6 y 15 años concentran entre un 50% y
un 74% de sus precios en el intervalo [0 , 10).
➢ Las 11 emisiones restantes, con plazo residual mayor que 15 años, concentran entre un 26% y un 37% de sus precios en el intervalo [0 , 10).
➢ De las 45 emisiones con menos de 15 años de plazo residual, 35 de ellas tienen un 0% de sus precios en el intervalo [22 , 35). De las diez restantes, ocho tienen menos del 5% y las otras dos son: ES00001154 y IT36749 con un 22,5% y 12,5% respectivamente.
24% de sus precios en el intervalo [22 , 35).
La tabla 1.17 resume estos resultados. La interpretación de la misma es la siguiente: Las columnas indican el plazo residual de las emisiones; las filas recogen, para los intervalos [0,10) y [22,35), dos porcentajes. El primero es de las emisiones con un determinado plazo residual (indicado por la columna); el segundo es el de las observaciones que se encuentran en el intervalo. Por ejemplo, las dos primeras celdas señalan que en el intervalo [0,10) el 78% de las emisiones con plazo residual menor que seis años tienen más del 80% de sus precios.
Tabla 1.17
Frecuencias relativas de las observaciones en las series de precios según su plazo residual
Según estos resultados podemos afirmar respecto al valor mínimo y máximo:
1. La variación de los precios de las emisiones con plazo residual menor que 6 años, respecto a su valor mínimo, es como máximo de diez puntos en más del 80% de sus observaciones. Ahora bien, los precios de las emisiones con plazo residual mayor que 15 años las tienen a esta distancia entre un 26% y un 37%.
2. Los precios de las emisiones con plazo residual mayor que 15 años tienen entre un 8% y un 24% de sus observaciones a menos de trece puntos del máximo global. Sin embargo, en ninguna de las de plazo residual menor que 15 años los precios alcanzan esta distancia del máximo global.
En el año 2004 las diferencias del comportamiento de las series de precios según su plazo
PR < 6 6 <= PR <= 15 15 < PR
[0 , 10) Porcentaje de emisiones 78% 63% 100%
Porcentaje de observaciones Más del 80% Menos del 53% Menos del 37%
[22 , 35) Porcentaje de emisiones 84% 50% 73%
residual son mucho más acusadas, las tablas 1.1822
y 1.19 recogen la distribución de frecuencias relativas del año 2004.
Para mejor comprensión presentamos la tabla 1.20, construida a partir de las tablas 1.18, 1.19, correspondientes al año 2004, y 1.14, 1.1523
, correspondientes al periodo 1998/04, que contiene ocho columnas con las frecuencias relativas acumuladas en los intervalos: [0 , 6), [0 , 10), [6 , 22), y [16 , 35), las cuatro primeras pertenecen al año 2004 y las otras cuatro al periodo 1998/04. De esta tabla podemos concluir que las emisiones con plazo residual:
➢ Menor que seis años
• Intervalo [0,8): En el periodo 1998/2004 ninguna emisión tiene el 100% de sus precios en este intervalo mientras que en el año 2004 el 78% de ellas sí tiene el 100% de las observaciones.
• Intervalo [16,35): En el periodo 1998/2004 el 57% de las emisiones no tienen observaciones en este intervalo; en el año 2004 ninguna de ellas las tiene.
➢ Mayor o igual que seis años y menor o igual que quince años
• Intervalo [0,8): En el periodo 1998/2004 todas las emisiones tienen más del 23% de sus precios en este intervalo en tanto que en el año 2004 únicamente son el 13%.
• Intervalo [16,35): En el periodo 1998/2004 el 13% de las emisiones tiene más del 23% de sus precios; en el años 2004 son el 50% de ellas.
➢ Mayor que quince años:
• Intervalo [0,8): Tanto en el periodo 1998/2004 como en el año 2004 ninguna emisión tiene observaciones en este intervalo.
• Intervalo [16,35): En el periodo 1998/2004 ninguna emisión tiene el 100% de sus precios en este intervalo sin embargo, en el año 2004 el 91% de ellas los tiene.
22 Las tablas 1.18 hasta 1.20 se encuentran al final del capítulo 1, páginas 59-61. 23 Las tablas 1.14 y 1.15 se encuentran al final del capítulo 1, páginas 56-57.
Estos resultados se recogen en la tabla 1.21 y se interpreta de la misma manera que la de la tabla 1.17.
Tabla 1.21
Comparativa entre el periodo 1998/2004 y el año 2004 de las frecuencias relativas de las observaciones en las series de precios según su plazo residual