El siguiente problema es interesantísimo. Parece ingenuo porque es sencillo, pero al mismo tiempo, se puede generar un modelo que permite resolver situaciones mucho más complejas basadas en la solución que usted encuentre.
Acá voy. Suponga que en una ciudad hay dos edifi cios, que voy a nombrar E1 y E2. Cada uno de ellos está ubicado en uno de los dos extremos de la ‘grilla’ de calles como se ve en la Figura 1.
Figura 1
Cada lado del rectángulo representa (imaginariamente) una calle por la cual uno puede circular. Supongamos también que todas las calles tienen la misma longitud, lo que es lo mismo que decir que el rectángulo que contiene a E1 y a E2 en cada extremo está dividido en pequeños ‘cuadraditos’. En total, hay 28
intersecciones. El número 28 lo conseguí advirtiendo que los dos extremos verticales del rectángulo están formados por calles y las dos ‘caras horizontales’ también son calles. Luego, como hay siete calles verticales y cuatro horizontales, en total hay (4 7 = 28) intersecciones.
Preguntas:
1) ¿Cuántas formas hay de ir desde E1 hasta E2 usando el mínimo número de calles en el recorrido?
2) Si en lugar de ser un rectángulo de 3 fi las por 6 columnas fuera de n fi las por m columnas, ¿cómo adaptar el resulta- do? ¿Cómo contar todas las posibilidades en este caso? Acá es donde yo le propongo que se quede en soledad y yo ‘vuelvo’ luego para ‘contar’ junto con usted.
Idea para la solución
Quiero proponerle una forma de modelar el problema. Paré- monos en las Figuras 2 y 3 ahora, en donde yo elegí dos caminos cualesquiera. Quiero ponerme de acuerdo con usted: fíjese que ‘marqué’ el camino en cada uno de los dos casos. En la Figura 2, el camino empieza yendo hacia ‘arriba’ un paso, luego tres hacia la derecha, después dos hacia arriba y fi nalmente, tres hacia la derecha hasta llegar a E2. O sea, podría haber escrito así:
(A, D, D, D, A, A, D, D, D)
en donde la letra ‘A’ representa ‘ir hacia arriba’ y la letra ‘D’ sig- nifi ca ‘ir hacia la derecha’.
Figura 2
De la misma forma, en la Figura 3, el camino se puede repre- sentar así:
(D, A, D, D, D, D, A, D, A)
Figura 3
¿Qué se desprende de esta forma de presentar el problema? Como usted habrá advertido, cada camino que uno puede dibujar
para ir desde E1 hasta E2, corresponde a distribuir tres letras A
y seis letras D.
Por otro lado, la ubicación de cada una de estas letras dentro del paréntesis establece el orden en el que uno va generando el camino. Es decir, si la primera letra que aparece es una D, esto signifi ca que el camino empieza yendo desde E1 hacia la dere-
cha. En cambio, si la primera letra es una A, eso signifi ca que uno empieza en E1 yendo hacia arriba.
¿Cómo hacer para contar cuántos caminos hay? Voy a escribir una potencial respuesta, pero me gustaría darle la alternativa de que usted pueda pensarlo sin mis ideas ‘dando vuelta’.
Sigo. El objetivo es determinar ‘en qué lugares ubicar las tres
letras A’. Es decir, el camino queda unívocamente determinado
una vez que yo elijo en qué lugar van las ‘A’. Por ejemplo, si us- ted decide que van a ocupar el primero, segundo y tercer lugar, entonces el camino quedará como se ve en la Figura 4.
Figura 4
Por lo tanto, como hay nueve lugares para llenar y tres para elegir, el problema se reduce a contar cuántas formas hay de elegir tres lugares entre nueve posibles.
¿Cómo hacer entonces para contar la cantidad de rutas sin tener que hacer una lista de todas?
Se trata de determinar cuántas formas hay de ubicar las tres le-
tras ‘A’ en los nueve espacios. Voy a numerar estos espacios usan-
do dígitos del 1 al 9.
Si escribo 147 o 289, eso signifi ca que las tres letras A están ubicadas en las posiciones 1, 4 y 7 en el primero caso, o en los lugares 2, 8 y 9 en el segundo. Creo que se entiende bien.
Fíjese que ‘empezando’ con 12 (o sea, donde hay dos A en los dos primeros lugares), tenemos siete maneras de ubicar la A que falta:
123, 124, 125, 126, 127, 128 y 129
Si ahora muevo la segunda A y la ubico en el tercer lugar, quie- ro contar cuántas distribuciones posibles hay empezando con: 13. En este caso, hay seis formas:
134, 135, 136, 137, 138 y 139
Un paso más antes de invitarla/invitarlo a sacar una conclu- sión. Si ahora queremos contar cuántas maneras hay de ubicar las tres A pero moviendo la segunda A al cuarto lugar, encontra- mos estas cinco formas:
145, 146, 147, 148 y 149
Es decir, si usted relee lo que escribí antes, verá que a medida que voy moviendo la segunda letra A (dejando fi ja una de ellas en el primer lugar) se obtienen: 7, 6, 5, 4, 3, 2 y 1 maneras distin- tas. Si las sumamos, obtenemos el número 28, justamente estas 28 posibilidades agotan todas las formas de ubicar las tres letras A
pero dejando una de ellas en el primer lugar.
Ahora, dejamos fi ja una A en el segundo lugar. Hay que con- tar todas las variantes que empiezan con un 2. Usando la misma estrategia que escribí antes, uno establece que puede empezar así:
O sea, seis casos. Y al hacer recorrer la segunda A a las posi- ciones 4, 5, 6, 7 y 8, se obtienen cinco, cuatro, tres, dos y una variantes posibles. La suma ahora es 21.
Me imagino que usted ya advierte lo que está pasando: los números que aparecen son los que se van obteniendo al sumar los primeros números naturales:
1, 3 = (1+2), 6 = (1+2+3), 10 = (1+2+3+4), 15 = (1+2+3+4+5), 21 = (1+2+3+4+5+6) y 28 = (1+2+3+4+5+6+7)
Cuando uno suma todos estos números ahora, se tiene: 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 = 84
Y justamente 84 es el número total de rutas posibles.
Ahora bien, ¿no habrá un modo más económico de determinar cuántas formas hay? Y la respuesta es que sí, efectivamente hay una manera muchísimo más fácil, pero requiere de usar el nú- mero combinatorio (9,3) que se calcula así:
(
93
)
= 9!/(3!x6!) = 84Este número (9,3) indica la cantidad de formas de pueden se- leccionar tres objetos entre nueve posibles. En este caso, se trata de decidir de cuántas maneras elegir tres ‘lugares’ entre los nueve disponibles para ubicar las letras ‘A’.
Ahora bien: esto contesta la primera pregunta. Supongo que si me siguió hasta acá, la segunda parte debería ser más directa. Si uno tiene ahora n fi las y m columnas, entonces lo que hay que hacer es elegir en dónde ubicar las n letras A. Esto se logra con el número combinatorio (m + n,n) que cuenta de cuántas formas se pueden seleccionar n lugares entre (m + n) posibles.
Refl exión fi nal
¿No es interesante que uno pueda modelar un problema de este tipo de manera tal de reducir la difi cultad a contar de cuán- tas formas se puede ubicar una determinada letra en una tira que contiene nada más que dos tipos diferentes (de letras)? Justamen- te, la matemática también provee de soluciones de este tipo y eso es lo que la hace fascinante, ¿no cree?