Individual income levels

Corresponde al acercamiento e inserción en la problemática, lo cual surge de una preocupación individual que se valida a través de los antecedentes y un marco de referencia, dejando ver prácticas que desde la enseñanza conducen a dificultades o limitaciones en la comprensión de la proporcionalidad y que, además, redundan en bajos resultados reportados en pruebas estandarizadas. Se construye y aplica un instrumento diagnóstico, que permitió validar y abordar las comprensiones, existencia de errores y dificultades ancladas a la comprensión de la proporcionalidad y los objetos matemáticos asociados con la proporcionalidad. Además de una serie de necesidades o aspectos a recuperar para la enseñanza y aprendizaje, y que se reflejaran como criterios para la planeación de un conjunto de tareas.

La delimitación del problema se asocia a un marco de referencia mediante investigaciones que abordan, en un sentido amplio, la enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad, desde una perspectiva coherente con el principio de la investigación. Desde la revisión de antecedentes, correspondiente a la apropiación teórica y estudio documental con un enfoque desde la EMR, sus principios y niveles, así como trabajos orientados al desarrollo del pensamiento y razonamiento proporcional, se encamina al planteamiento del problema. Los capítulos I y II dan cuenta de esta fase, distinguiendo entre otras cosas la delimitación del problema de investigación, antecedentes, construcción de un marco de referencia, pregunta de investigación y objetivos del trabajo.

3.3.2 2 Construcción de un plan.

De acuerdo a la contextualización del problema y en búsqueda de un plan para su abordaje, se construye un marco metodológico y teórico que permiten, inicialmente, una comprensión a fondo de la problemática y los aspectos asociados a ella, así como de los propósitos de la investigación. En este orden de ideas, se estructura un abordaje metodológico, que conducirá

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a comprender a fondo las implicaciones o resignificación lograda sobre las prácticas de enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad, en cuanto al desarrollo de pensamiento proporcional, cuando se lleva al aula un escenario fomentado por un conjunto de tareas coherentes con la EMR y con aspectos consolidados en el marco teórico.

Se plantea el diseño de tareas fundamentadas desde los principios de la EMR: actividad, realidad, interconexión, reinvención y niveles; de igual forma los aspectos relevantes que desde la revisión teórica se asocian al razonamiento proporcional, como lo son la razón, proporción, magnitudes proporcionales, constante de proporcionalidad, la diferenciación de magnitudes proporcionales y no proporcionales, entre otros. Desde los planteamientos de la Educación Matemática Realista, se indica que los conceptos matemáticos deben ser abordados a partir del trabajo con fenómenos que puedan ser organizados con dichos conceptos y potenciar así diversos niveles de comprensión (Situacional, Referencial, General y Formal) (Bressan, Gallego, Pérez y Zolkower, 2016). Se parte de una indagación preliminar y se presentan algunos de los elementos propios del diseño de tareas en contextos realistas. El plan propuesto, considera un proceso continuo de diseño de tareas, el abordaje de estas en el aula, la observación, sistematización y reflexión en torno a las producciones, estrategias, razonamientos y procedimientos usados por las estudiantes, para describir y analizar los niveles de comprensión alcanzados alrededor de la proporcionalidad, puntualmente en lo que refiere a la identificación de la conservación de la relación entre magnitudes. Centrando la atención en el proceso de matematización dado por las estudiantes, se han consolidado cinco tareas para la constitución de una fenomenología didáctica, que se enuncian a continuación y cuya caracterización acorde a los principios de la EMR se presenta en el capítulo siguiente. Es pertinente aclarar, que las tareas se han pensado desde la perspectiva de la EMR y están orientadas al alcance de niveles de comprensión contextualizados sobre la identificación de la conservación en la relación entre magnitudes. En la primera columna se distingue el nivel de comprensión previsto con el abordaje de la tarea, allí mismo, le acompañan los aspectos matemáticos que se relacionan.

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3.3.2.1 Conjunto de tareas. Nivel de

comprensión

Tarea Descripción Objetivo

Situacional Razón Magnitudes internas y externas Construcción de un Caderín

La tarea se relaciona con la construcción de una falda usada para el baile árabe, el cual se forma a partir de una secuencia de cuentas (esféricas, ovoides y discos), y cadenas que adornan el contorno a partir de treinta o más tiras. Se conforma una especie de collar cuya distribución permitirá modelar el objeto matemático “razón” al mirar la relación entre cantidades de cuentas (p.e. tres cuentas ovoides anteceden dos esféricas, y por cada dos esféricas, se debe disponer de un disco). Una vez asociado el diseño del caderín con una secuencia de cuentas para una tira, se propone el estudio de las cantidades de cuentas necesarias para una, dos, cinco, diez tiras, etc., hasta haber construido todo el caderín ajustado a las medidas de la modelo.

De igual forma se espera que las estudiantes utilicen una “orden de pedido”, para contextualizar la compra de material y ver la necesidad de encontrar el precio de las cuentas, aun cuando no se parte del valor unitario de las mismas.

Promover estrategias y razonamientos que lleven al reconocimiento de la existencia y relación entre

magnitudes en la

construcción del caderín. Situacional y Referencial Razón y proporción Relación entre magnitudes y conservación de la relación.

Tangram El abordaje de la situación parte de la manipulación del material concreto “Tangram”, desde el estudio de las propiedades, medidas y relaciones existentes entre magnitudes tales como longitud y superficie. Según Freudenthal (citado en Bressan, s.f) los contextos también pueden ser aquellos puramente matemáticos, en tanto sean significativos. Tras este reconocimiento de las piezas del rompecabezas, se indaga por la comparación (razón) entre sus medidas y establecimiento de relaciones parte-todo acudiendo a su representación como razón, porcentaje u operador (doble, triple, cuádruple, etc.).

Tras el reconocimiento y primer estudio del rompecabezas, se ha asignado una medida específica al lado de una de las piezas, con la cual se pueden deducir o ajustar las demás. Posteriormente se ha sugerido la ampliación del rompecabezas, colocando como condición la modificación de una de sus medidas (conversión de 6 a 10 centímetros) y la modificación condicionada de las demás medidas de las piezas, conservando la forma del rompecabezas. Ya construida una segunda versión del rompecabezas, la comparación con el modelo original permite observar que entre las piezas del rompecabezas se mantiene la relación o proporción.

Promover la comparación (razón) entre las medidas del tangram, hasta establecer relaciones parte-todo y parte-parte acudiendo a su representación como razón, porcentaje u operador.

Sugerir la utilización del material concreto para el

establecimiento de

comparaciones entre

magnitudes y la

conservación en la relación entre estas.

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Se propone una indagación previa de las estudiantes sobre la preparación de brownies y se dispone en el aula/cocina la receta para 5 porciones, organizadas en grupos cooperativos, las estudiantes tendrán como tarea, la preparación del postre para 1, 4, 7, 10, 12 o 15 porciones, de manera tal que deban ajustar las cantidades de cada ingrediente como requisito para tener acceso al almacén, donde extraerán cantidades exactas de los productos. Se deberá llevar registro en el tablero del chef de los ingredientes y preparación de la receta, siendo el insumo para la socialización y la evaluación de la actividad, donde se compartirán los productos preparados.

Motivar el uso de distintos sistemas de representación que den cuenta de la

covariación entre

magnitudes para encontrar una magnitud faltante

desde una cuarta

proporcional soportada en la unitización o uso de la constante de proporcionalidad. Referencial y General Magnitudes proporcionales Conservación de la relación entre magnitudes. Planeando las Vacaciones

Se parte de la exploración del viaje por carretera en vacaciones como práctica cotidiana de las estudiantes, para el diseño de esta tarea. Se provee un mapa con la respectiva escala en la que se detallan las vías nacionales y se contextualiza un viaje desde Bogotá hacia Santa Marta, con el fin de estudiar las magnitudes relacionadas con la situación a partir del reconocimiento y comparación de las distancias, tiempos, velocidad y costos de combustible en un eventual viaje por carretera en tres tramos de distancias similares.

Promover el diseño de estrategias, razonamientos y procedimientos relacionados con la comparación de magnitudes proporcionales, hacia el reconocimiento de la equivalencia entre razones internas y externas. General y Formal Magnitudes directamente proporcionales y no proporcionales Proporcionalidad en contextos diversos

El abordaje dado a las tareas previas ha consolidado algunas herramientas, estrategias, conceptos y procedimientos asociados al pensamiento proporcional, desde allí se plantean situaciones en diversos contextos que posibilitan el trabajo desde procedimientos y notaciones convencionales, hasta dar solución a situaciones específicas que lleven a superar la referencia al contexto y dejen ver de manera más clara la relación con el objeto matemático.

Con el fin de promover un abordaje formal de la proporcionalidad se recurre a situaciones expuestas en libros de texto y preguntas incluidas en pruebas estandarizadas.

Proveer situaciones en distintos contextos que

permitan comparar

magnitudes, identificar la conservación de la relación y establecer una cuarta proporcional,

partiendo de la

información dada e implementando distintas estrategias para encontrar la magnitud faltante.

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