b) La compa˜n´ıa revisa el estado del veh´ıculo si en un mismo d´ıa hace m´as de 350 km. Calcular el n´umero esperado de d´ıas que la compa˜n´ıa puede alquilar el veh´ıculo antes de tener que revisarlo.
Problema 241 A partir de las variables aleatorias U1, . . . , Un, independientes y todas ellas
con distribuci´on uniforme en el intervalo [0,1], se obtienen las variables Yi = −logUi, para
i = 1,· · · , n.
a) ¿Qu´e distribuci´on siguen las variables Y1,· · · , Yn? ¿Son independientes?
b) Sea ¯Y = n1Pn
i=1Yi. Calcular E(Y ), V ar(Y ) y demostrar que,
∀k > 0, l´ım
n→∞P (|Y − 1| > k) = 0.
c) ¿Qu´e distribuci´on de probabilidad sigue Y ?
5.1.2.
Valenciano
Problema 242 Una caixa cont´e 5 monedes, cadascuna d’elles amb distinta probabilitat de mostrar una cara en ser llan¸cada. Si per pi denotem la probabilitat de cara per a la moneda i,
tenim p1= 0, p2= 1/4, p3= 1/2, p4= 3/4 y p5= 1.
a) triem una moneda a l’atzar. Si la primera cara apareix en el quart llan¸cament, quina ´es la probabilitat de que la i−`esima moneda haja estat la seleccionada?
b) Si llancem una altra vegada la mateixa moneda, quina ´es la probabilitat d’obtenir una cara?
c) Si al primer llan¸cament hagu´erem tret una creu, quina hagu´es estat la probabilitat d’obtenir una cara en el segon llan¸cament?
Problema 243 Siga X una variable aleat`oria amb distribuci´o normal est´andar (mitjana 0 i varian¸ca 1) i siga I una altra variable aleat`oria, independent d’X i tal que P (I = 1) = P (I = 0) = 1/2. Definim Y mitjan¸cant
Y =
X, si I = 1; −X, si I = 0.
1. Calcular les probabilitats P (X < 1, Y > 1), P (X < 1) i P (Y > 1). S´on independents X i Y ? Justifica la resposta.
2. Demostrar que Y segueix una distribuci´o normal est´andar.
3. Calcular E[XY|I = 1] i E[XY |I = 0] i demostrar que Cov(X, Y ) = 0.
Problema 244 Una empresa de lloguer de cotxes amb ch´ofer ha observat que el n´umero de quil`ometres per dia de lloguer que fa un cert tipu de vehicle segueix una distribuci´o N (200, σ = 75).
a) Quina ´es la probabilidad de que un d’aquests vehicles fa¸ca m´es de 5.000 quil`ometres en 30 dies? Quina hip`otesi hi ha que assumir?
b) La companyia revisa l’estat del vehicle si en un mateix dia fa m´es de 350 qm. Calcular el nombre esperat de dies que la compa˜n´ıa pot llogar el cotxe sense haver de revisar-lo .
5.2. 3 DE FEBRERO DE 2004 45
Problema 245 A partir de les variables aleat`ories U1, . . . , Un, independents i totes elles amb
distribuci´o uniforme en l’interval [0,1], obtenim les variables Yi=−logUi, i = 1,· · · , n.
a) Quina distribuci´o segueixen les variables Y1,· · · , Yn? S´on independents?
b) Siga ¯Y = 1 n
Pn
i=1Yi. Calcular E(Y ), V ar(Y ) i demostrar que,
∀k > 0, l´ım
n→∞P (|Y − 1| > k) = 0.
c) Quina distribuci´o de probabilitat segueix Y ?
5.2.
3 de febrero de 2004
5.2.1.
Castellano
Problema 246 Un jugador puede apostar a cualquiera de los n´umeros enteros entre 1 y 6. Entonces lanza 3 dados y si aparece el n´umero que eligi´o, recibe como premio su apuesta mul- tiplicada por el n´umero de dados que lo muestran y adem´as le devuelven lo que apost´o. En otro caso pierde su dinero. ¿Cu´al es la ganancia esperada de este juego?
Problema 247 Un taxi se ve involucrado en un accidente nocturno. En la ciudad hay dos compa˜n´ıas de taxis, los taxis Negros y los taxis Blancos. Se sabe que el 85 % de los taxis de la ciudad son Negros y el 15 % restante son Blancos. Un testigo del accidente afirma que el taxi involucrado era Blanco y la fiabilidad de su testimonio es del 80 %, es decir, es capaz de identificar correctamente el color del taxi el 80 % de las veces.
1. Calcula la probabilidad de que el taxi accidentado fuera el Blanco, dado que el testigo afirma que lo era, y comp´arala con la respuesta del testigo.
2. Supongamos que el 100p % de los taxis son Blancos, con 0 ≤ p ≤ 1, y que la fiabilidad del testigo contin´ua siendo del 80 %. Estudia la sensibilidad a los datos de la respuesta anterior viendo como var´ıa ´esta en funci´on de p. ¿A partir de qu´e valor de p la anterior probabilidad supera 0.5?
3. El an´alisis anterior puede completarse permitiendo que la fiabilidad del testigo sea variable, 100q %, con 0 ≤ q ≤ 1. Determina la relaci´on que se debe dar entre p y q para que la probabilidad pedida supere 0.5.
Problema 248 El holand´es Christian Huygens public´o en 1657 uno de primeros libros sobre Probabilidad que se conocen, De Ratiociniis in Ludo Aleae (Del Razonamiento en los Juegos de Azar), en el que planteaba una serie de problemas. El que se conoce como segundo problema de Huygens lo enunciamos a continuaci´on.
Tres jugadores A, B y C participan en el siguiente juego. Una urna contiene a bolas blancas y b negras. Los jugadores, en el orden ABCABC . . ., extraen una bola con reemplazamiento hasta que uno de ellos obtiene una bola blanca y gana. Encontrar la probabilidad de ganar para cada jugador.
Problema 249 Elegimos un punto uniformemente en el c´ırculo centrado en cero y de radio uno. Supongamos que denotamos por Θ la variable aleatoria que nos da el ´angulo aleatorio asociado a este punto y por X la variable aleatoria que nos da la abscisa del punto. Se pide:
46 CAP´ITULO 5. EX ´AMENES PREVIOS
1. ¿Cu´al es la distribuci´on de Θ? Hay que obtener tanto la funci´on de densidad como la funci´on de distribuci´on.
2. DeterminarP(Θ ∈ [a, b]) para cualesquiera a y b con 0 ≤ a ≤ b ≤ 2π. 3. Determinar la funci´on de distribuci´on de la variable X.
4. Determinar la funci´on de densidad de la variable X. 5. Calcular E(X).
6. Calcular E(|X|).
5.2.2.
Valenciano
Problema 250 Un jugador pot apostar a qualsevol dels enters entre 1 y 6, tots dos inclosos. Triat el n´umero llan¸ca 3 daus, i si algun d’ells mostra el n´umero que ha triat rep com a premi tantes vegades el que va apostar com daus mostren el n´umero, i a m´es a m´es li tornen l’aposta. ¿Quin ´es el guany esperat en aquest joc?
Problema 251 Un taxi t´e un accident nocturn en una ciutat on hi ha dues companyes de taxis, els Negres i els Blancs. Sabem que el 85 % dels taxis s´on Negres i la resta blancs. Un testimoni de l’accident, que ´es capa¸c d’identificar correctament el color del taxi en el 80 % de les ocasions, afirma que el taxi era Blanc.
1. Calcula la probabilitat de que el taxi accidentat fos blanc, donat que el testimoni aix´ı ho afirma, i compara-la amb el que diu el testimoni.
2. Suposem ara que el 100p % dels taxis s´on Blancs, on 0 ≤ p ≤ 1, i que la fiabilitat del testimoni continua essent del 80 %. Estudia la sensibilitat de la probabilitat obtinguda a l’apartat anterior mitjan¸cant la seua variaci´o en funci´o de p. A partir de quin valor de p aquesta probabilitat supera 0,5?
3. L’anterior an`alisi pot completar-se permetent que la fiabilitat del testimoni siga variable, 100q %, on 0≤ q ≤ 1. Determina la relaci´o que deuen tenir p i q per a que l’esmentada probabilitat supere 0,5.
Problema 252 L’holand´es Christian Huygens va publicar en 1657 un dels primers llibres sobre Probabilitat, De Ratiociniis in Ludo Aleae (Del Raonament en els Jocs d’Atzar), on proposava un seguit de problemes. El conegut com a segon problema de Huygens l’enunciem tot seguit.
Tres jugadors A, B i C participen en el seg¨uent joc. Una urna t´e a bolas blanques i b negres. Els jugadors, en l’ordre ABCABC . . ., trauen una bola amb reempla¸cament fins que un d’ells trau una bola blanca i guanya.
Trobar la probabilitat de guanyar per a cada jugador.
Problema 253 Triem un punt a l’atzar dintre del cercle unitat centrat en zero. Designem mitjan¸cant Θ i X, respectivament, l’angle aleatori i l’abscissa associats al punt. Es demana:
1. La distribuci´on de Θ (cal obtenir tant la funci´o de densitat com la funci´o de distribuci´o). 2. DeterminarP(Θ ∈ [a, b]), ∀a, b amb 0 ≤ a ≤ b ≤ 2π.
5.3. 3 DE SEPTIEMBRE DE 2005 47
4. Determinar la funci´o de densitat de la variable X. 5. Calcular E(X).
6. Calcular E(|X|).
5.3.
3 de septiembre de 2005
5.3.1.
Castellano
Problema 254 Tenemos 10 pares de zapatos y elegimos al azar 4 zapatos. ¿Cu´al es la proba- bilidad de que no hayamos elegido ning´un par? Si X es una variable aleatoria que representa el n´umero de pares elegidos, obtener el n´umero medio de pares entre los 4 zapatos elegidos. Ayuda.-Para el c´alculo de E(X) puede ayudar definir variables Xj que valen 1 si el par j ha
sido escogido y 0 en caso contrario.
Problema 255 Cuando una corriente de I amperios pasa a trav´es de una resistencia de R ohmios, la potencia generada viene dada por W = I2R vatios. Supongamos que I y R son
variables aleatorias independientes con densidades
fI(x) = 6x(1− x), si 0 ≤ x ≤ 1; 0, fuera. y fR(y) = 2y, si 0≤ y ≤ 1; 0, fuera. Hallar la densidad de W .
Problema 256 La variable aleatoria Y se distribuye Exp(1). Definimos
Xn= 1, si Y < ln n; 0, en caso contario.
Obtener la funci´on de distribuci´on de Xn y estudiar la convergencia en ley de las Xn.
Problema 257 La probabilidad de que un virus inform´atico haya infectado nuestro ordenador es 0, 1. Si el ordenador est´a infectado, un sistema antivirus detecta la infecci´on con proba- bilidad x = 0, 95, mientras que en caso de no infecci´on el sistema detecta falsas infecciones con probabilidad y = 0, 03. Interesa que el sistema antivirus tenga un elevado valor predicti- vo={probabilidad de que el ordenador est´e infectado cuando el antivirus detecta una infecci´on}. Calcularlo a partir de los datos anteriores. Si queremos aumentarlo, ¿donde hemos de dirigir nuestros esfuerzos, a aumentar x o a rebajar y?
5.3.2.
Valenciano
Problema 258 Tenim 10 parelles de sabates i triem a l’atzar 4 sabates. Quina ´es la probabilitat de no haver triat cap parella? Si X ´es la variable aleat`oria que representa el n´umero de parelles que hem triat, obtenir la mitjana del n´umero de parelles entre les 4 sabates que hem triat. Ajut.- Per al c`alcul d’E(X) pot ajudar definir variables Xj que valen 1 si el parell de sabates
48 CAP´ITULO 5. EX ´AMENES PREVIOS
Problema 259 Un corrent d’intensitat I ampers en creuar una resist`encia de R ohms, genera una pot`encia de W = I2R vats. Suposem que I i R s´on variables aleat`ories independents amb
densitats fI(x) = 6x(1− x), si 0 ≤ x ≤ 1; 0, fora. i fR(y) = 2y, si 0≤ y ≤ 1; 0, fora. Trobar la densitat de W .
Problema 260 La variable aleat`oria Y te per distribuci´o una Exp(1). Definim
Xn= 1, si Y < ln n; 0, altrament.
Obtenir la funci´o de distribuci´o de Xn i estudiar la converg`encia en llei de les Xn.
Problema 261 La probabilitat de que un virus inform`atic infecte el nostre ordinador ´es 0, 1. Si l’ordinador est`a infectat, un sistema antivirus ho detecta amb probabilitat pI|D = 0, 95, mentre que en caso de no ho haja fet el sistema detecta falses infeccions amb probabilitat 0, 03. Interesa que el sistema antivirus tinga un alt valor predictiu={probabilitat de que el ordinador estiga infectat quan l’antivirus ho detecta}. Calcular-lo a partir de les dades anteriors. Si volem augmentar-lo, qu`e ens conv´e, augmentar x o rebaixar y?
5.4.
8 de junio de 2004
5.4.1.
Castellano
Problema 262 La variable aleatoria X, que toma valores en el intervalo [0,2], tiene por den- sidad la recta que pasa por (2,0) con pendiente negativa. Obtener su funci´on de densidad f (x) y calcular P (|X − E(X)| ≤ 1/2). ¿Qu´e cota obtendr´ıamos para esta probabilidad si utiliz´aramos la desigualdad de Chebychev?
Problema 263 Supongamos una clase de n estudiantes. Uno de ellos conoce un rumor que cuenta a uno de sus compa˜neros elegido al azar. A su vez este segundo estudiante vuelve a contarlo a otro compa˜nero elegido al azar y distinto del que se lo ha contado. Este rumor sigue propag´andose del mismo modo. En cada ocasi´on el estudiante lo cuenta a otro elegido al azar entre los n del grupo, excluyendo a aqu´el que se lo cont´o. ¿Cu´al es la probabilidad de contar la historia k veces sin que se la cuenten dos veces al mismo individuo?
Sugerencia.- Definid los sucesos Ai ={la historia no se le repite de nuevo a alguien que ya
la conoce cuando se cuenta por i-´esima vez}, i = 1, . . . , k. A partir de estos sucesos se puede definir el suceso de inter´es.
Problema 264 La variable aleatoria X se distribuye exponencialmente con par´ametro Y , que es a su vez una variable aleatoria uniforme en [1, 4]. Obtener la distribuci´on conjunta de X e Y y la esperanza y la varianza de X.
5.4. 8 DE JUNIO DE 2004 49
Problema 265 Se redondean 20 n´umeros al entero m´as cercano y despu´es se suman. Suponga- mos que los errores de redondeo son independientes y uniformemente distribuidos en el intervalo [−12,12]. Se pide determinar la probabilidad de que la suma obtenida difiera de la suma de los 20 n´umeros originales en m´as de 3 unidades.
Problema 266 Consideremos el siguiente procedimiento: 1. Generamos U con distribuci´on uniforme en [0, 1]. 2. Tomamos Y =−1
λln(1− U) siendo ln el logaritmo neperiano y λ una constante positiva.
3. Tomamos X = [Y ] donde [Y ] es la parte entera por exceso de Y . Se pide:
1. La distribuci´on de probabilidad de la variable aleatoria Y .
2. La funci´on de probabilidad de la variable X. Comprobar que tiene una distribuci´on geo- m´etrica.
Problema 267 Tenemos una urna con 12 bolas numeradas de 1 a 12. Extraemos dos bolas y denotamos por X1 y X2 los valores que observamos en la primera y en la segunda extracci´on.
Sea X la variable definida como el m´aximo de las dos extracciones. Se pide:
1. La funci´on de distribuci´on de la variable X si suponemos que las dos extracciones se realizan con reemplazamiento.
2. La funci´on de distribuci´on de la variable X si suponemos que no hay reemplazamiento entre las extracciones sucesivas.
3. La media de la variable X en las dos situaciones anteriores.
Segundo parcial: problemas 3, 4, 5 y 6.
Examen final de toda la asignatura: problemas 1, 2, 4 y 5.
5.4.2.
Valenciano
Problema 268 La variable aleat`oria X, definida en l’interval en [0, 2], t´e per densitat la recta que pasa per (2,0) amb pendent negativa. Obtenir f (x) i calcular P (|X −E(X)| ≤ 1/2). ¿Quina cota obtindr´ıem per aquesta probabilitat si empr`arem la desigualtat de Chebychev?
Problema 269 A una classe hi ha n estudiants. Un d’ells coneix un rumor que conta a un company triat a l’atzar. Aquest segon estudiant el conta a un tercer, distint del que li’l va contar a ell i triat tamb´e a l’atzar. El rumor continua propagant-se d’aquesta forma: un estudiant el conta a un altre triat a l’atzar i diferent del que li’l va contar a ell. Quina ´es la probabilitat de que en contar-lo k voltes el rumor no haja tornat a cap dels estudiants que ja el coneixien? Sugger`encia.- Definiu els esdeveniments Ai ={el rumor no es repeteix a cap dels que ja el
coneixen quan es conta per i-`esima volta}, i = 1, . . . , k. Aquests esdeveniments ajuden a definir l’esdeveniment que ens interessa
Problema 270 La variable aleat`oria X t´e una distribuci´o exponencial amb par`ametre Y , que ´es al seu torn una variable aleat`oria uniforme sobre [1, 4]. Obtenir la distribuci´o conjunta de X i Y i la esperan¸ca i la varian¸ca de X.
50 CAP´ITULO 5. EX ´AMENES PREVIOS
Problema 271 S’aproximen 20 n´umeros mitjan¸cant l’enter m´es proper i despr´es se sumem. Suposem que els errors comesos s´on independents i uniformes en l’interval [−1
2,12]. Volem
obtenir la probabilitat de que la suma obtinguda s’allunye de la suma dels 20 n´umeros originals m´es de 3 unitats.
Problema 272 Considerem el seg¨uent proc´es: 1. Generem U amb distribuci´o uniforme en [0, 1].
2. Definim Y =−λ1ln(1− U), on ln ´es el logaritme neperi`a i λ una constant positiva. 3. Prenim X = [Y ], la part entera per exc´es d’[Y ].
Es demana:
1. La distribuci´o de probabilitat de la variable aleat`oria Y .
2. La funci´o de probabilitat de la variable X. Comprovar que t´e una distribuci´o geom`etrica. Problema 273 En una urna hi han 12 boles numerades de l’1 al 12. En tirem fora dues i designem per X1 i X2 els valors observats a la primera i a la segona extracci´o, i per X el
m`axim de totes deus extraccions. Es demana:
1. La funci´o de distribuci´o de la variable X si les dues extraccions s´on fetes amb reem- pla¸cament.
2. La funci´o de distribuci´o de la variable X si les dues extraccions s´on fetes sense reem- pla¸cament.
3. La mitjana de la variable X en tots dos casos.
Segon parcial: problemes 3, 4, 5 i 6.
Examen final de tota la mat`eria:problemes 1, 2, 4 i 5.
5.5.
9 de febrero de 2005
5.5.1.
Castellano
Problema 274 ¿Cu´al es la probabilidad de que una mano de p´oquer contenga s´olo una pareja? Nota: una baraja de p´oquer tiene cuatro palos y de cada palo hay 13 cartas. En una mano se sirven cinco cartas.
Problema 275 Una urna contiene n papeletas numeradas de 1 a n inclusive. Extraemos r al azar. Sea X el n´umero mayor obtenido si las papeletas se reemplazan despu´es de cada extracci´on y sea Y el n´umero mayor si las papeletas no se reemplazan en la urna. Determinar las funciones de distribuci´on, las funciones de cuant´ıa (o probabilidad) y demostrar que
FY(k) < FX(k) para 0 < k < n. (5.1)
Problema 276 Calcular la probabilidad de poder formar un tri´angulo con dos puntos elegidos en el intervalo [0, 1] seg´un el m´etodo siguiente: Elegimos un punto al azar y a continuaci´on uno de los trozos, elegido al azar, lo dividimos en dos partes iguales. Calcular, para este m´etodo, la probabilidad de que el tri´angulo sea obtus´angulo.
Nota: dado un tri´angulo cuyos lados miden a, b y c y cuyos ´angulos opuestos son A, B y C, respectivamente, se verifica que c2= a2+ b2
5.6. 21 DE JUNIO DE 2005 51
Problema 277 Probar que para cualquier funci´on de densidad de probabilidad se verifica
l´ım x→+∞x Z +∞ x 1 zf (z)dz = 0.
5.5.2.
Valenciano
Problema 278 Quina ´es la probabilitat de que una m`a de p`oquer tinga sols una parella? Nota: una baralla de p`oquer t´e quatre pals i de cada pal hi han 13 cartes. En una m`a s’en serveixen 5.
Problema 279 Una urna cont´e n paperetes numerades de 1 a n tots dos inclosos. En traiem r a l’atzar. Siga X el major n´umero tret si les extraccions han estat fetes amb reempla¸cament, i siga Y el major n´umero quan les extraccions han estat fetes sense reempla¸cament. Determinar les funcions de distribuci´o, les funcions de quantia (o probabilitat) i demostrar que
FY(k) < FX(k) per a 0 < k < n. (5.2)
Problema 280 Calcular la probabilitat de poder formar un triangle amb els tres segments obtinguts en triar dos punts a l’interval [0, 1] d’acord amb el seg¨uent m`etode: triem un punt a l’atzar i tot seguit un dels trossos, tamb´e triat a l’atzar, el dividim en dos parts iguals. Calcular tamb´e la probabilitat de que el triangle siga obtusangle.
Nota: per a un triangle de costats a, b i c amb angles oposats A, B i C respectivament es verifica que c2= a2+ b2− 2ab cos C.
Problema 281 Probar que per a qualsevol funci´o de densitat de probabilitat es cert que
l´ım x→+∞x Z +∞ x 1 zf (z)dz = 0.
5.6.
21 de junio de 2005
5.6.1.
Castellano
Problema 282 En una urna hay una bola roja. Extraemos tres cartas de una baraja france- sa(52 cartas repartidas en 4 palos) y a˜nadimos a la urna tantas bolas verdes como ases hayamos extra´ıdo. A continuaci´on lanzamos 2 veces una moneda cuya probabilidad de cara es p = 1/5 y a˜nadimos tantas bolas rojas como cruces hayamos obtenido. Finalmente llevamos a cabo 2 extracciones con reemplazamiento de la urna. Si X es el n´umero de bolas verdes a˜nadidas a la urna e Y el n´umero de bolas rojas a˜nadidas a la urna,
1. Obtener la funci´on de probabilidad de X. 2. Obtener la funci´on de probabilidad de Y .
3. Si las dos bolas extra´ıdas con reemplazamiento son rojas, ¿cu´al es la probabilidad de no haber obtenido ning´un as al extraer las 3 cartas de la baraja francesa?
Problema 283 Sea T ∼ U(−1/c, 1/c), c > 0, y definamos Y = cT . Para k ∈ N, las variables aleatorias Xk se definen mediante,
Xk= −1, si −1 < Y < −1/k; 0, si−1/k ≤ Y < 1/k; 1, si 1/k≤ Y < 1.
52 CAP´ITULO 5. EX ´AMENES PREVIOS
Demostrar que Xk converge en ley a la variable aleatoria X con funci´on de probabilidad
fX(−1) = fX(1) = 1/2 y fX(x) = 0, x /∈ {−1, 1}.
Problema 284 Definamos la funci´on
f (x) =
ax−(s+1), si x > r;
0, si x≤ r, con r, s > 0.
1. Determinar a para que f (x) sea una funci´on de densidad de probabilidad.
2. Si la variable aleatoria X tiene por densidad f (x), ¿para qu`e valores de s existir´a su esperanza?
Problema 285 Probar utilizando el Teorema Central del L´ımite que
e−n n X k=0 nk k! n −→ 12.
Problema 286 Sobre un c´ırculo cuyo radio R es aleatorio con funci´on de densidad
fR(r) = r2 9, r∈ [0, 3]; 0 en el resto,
elegimos un punto al azar. Si X designa la distancia del punto al origen, obtener 1. La funci´on de distribuci´on y la funci´on de densidad de X|R = r.
2. La media y la varianza de X.
Problema 287 Un autob´us tiene en su recorrido 15 paradas. Supongamos que en la primera parada suben 20 personas. Cada una de ellas elige al azar e independientemente de las otras en cu´al de las 14 paradas restantes quiere bajar.
1. Si Xi es una variable aleatoria que vale 1 si alguna de las personas baja en la parada i y
0 en caso contrario, calcular su distribuci´on de probabilidad.
2. Calcular el n´umero medio de paradas que debe realizar el autob´us para que bajen todos los pasajeros.
Toda la materia: P1, P2, P3 y P6
Segundo parcial: P2, P4, P5 y P6
5.6.2.
Valenciano
Problema 288 Tenim una urna amb una bola roja. Triem a l’atzar 3 cartes d’una baralla fran- cesa (52 cartes repartides en 4 pals) i afegim a la urna tantes boles verdes com asos hem tret. Despr´es llancem 2 vegades una moneda que t´e una probabilitat p = 1/5 de traure cara i afegim