En el siguiente apéndice se presenta nociones del tema de convolución, importante para entender las operaciones matemáticas que se hace en el análisis de la Transformada Wavelet.
En el análisis de sistemas lineales, uno de los aspectos más importantes es conocer la respuesta o salida del sistema provocada por señales de entrada. El empleo de la operación de convolución se basa en la propiedad de superposición de los sistemas lineales.
La convolución se puede usar muy frecuentemente en diferentes disciplinas. En ingeniería, la convolución se emplea como otro método para caracterizar sistemas lineales y proporciona otro punto de vista para su análisis, permitiendo nuevas formas de visualización.
Superposición y Convolución – Sistemas de Tiempo Discreto
Los sistemas lineales satisfacen la propiedad de superposición. Es decir, si se conoce la respuesta particular a las secuencias de entrada y , entonces se puede conocer la respuesta de entrada , que es precisamente la suma de las dos respuestas particulares. Además, si el sistema es invariable en el tiempo, las entradas se pueden desplazar a lo largo del eje del tiempo, obteniendo entonces las salidas haciendo el desplazamiento en el tiempo correspondiente. Esto es, si para se obtiene , entonces producirá la salida . Se emplearan estas dos propiedades de los sistemas lineales invariables en el tiempo para desarrollar una relación alterna con el fin describir la relación de entrada-salida. Dicha formulación emplea la función característica del sistema, o sea la respuesta del sistema a la función impulso o, en el caso de sistemas de tiempo discreto, la respuesta a una secuencia de impulsos. La respuesta de un sistema de tiempo discreto a una secuencia de impulsos se conoce comúnmente como secuencia respuesta al impulso.
La secuencia de impulso se muestra en la Figura 2-1 y está definida por la Ecuación 2-1
Ecuación 2-1
La respuesta de un sistema de tiempo discreto a una secuencia de impulsos de entrada es, por definición, la secuencia de respuesta a impulsos es decir,
Si se multiplica la secuencia de impulsos por la constante , entoneces, debido a la linealidad, la salida también estará multiplicada por , es decir,
40 GABEL Robert A y ROBERT Richard A. Señales y Sistemas Lineales. Capitulo 2. Convolución. Página 65. Editorial LIMUSA. 1.994
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Si se modifica la posición en el tiempo de la secuencia de impulsos, entonces, debido a la invariancia del sistema en el tiempo, la salida se desplazara en el tiempo la misma cantidad, es decir,
Figura 2-1. Secuencia de impulsos
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Figura 2-2. La respuesta de un sistema de tiempo discreto a una secuencia de impulsos
Por supuesto que lo importante es conocer la respuesta que resulta de aplicar secuencias de señales de entrada arbitrarias, digamos . ¿Cómo podría entonces ser útil la secuencia de impulsos? Suponga que se representa la secuencia de entrada como:
En otras palabras, cada valor de de la secuencia se multiplica por la secuencia de impulsos desplazados . Ya que solo vale para , este procedimiento permite representar un secuencias de entradas arbitrarias como una suma ponderada de secuencias de impulsos unitarios desplazados. Así,
Ecuación 2-2
Ana María Moros Vivas 196 Figura 2-3. Suma ponderada de secuencias de impulsos unitarios desplazados
Ahora, se empleara la linealidad del sistema para calcular su respuesta de salida. Primero se calculara la salida debida a cada término de la entrada y después, se sumaran todas las salidas para obtener la respuesta toral. Por ejemplo, la salida debida a es:
En forma similar, la respuesta debida a es:
El término general produce una respuesta . Empleando la propiedad de superposición, la respuesta total será justamente la suma de las respuestas de la forma . Así la secuencia de salida es:
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Ecuación 2-3
La sumatoria de la Ecuación 2-3 se conoce como la suma convolución. Para indicar en forma condesada la operación de la Ecuación 2-3 se emplea la notación:
Ecuación 2-4
Haciendo , Ecuación 2-3 puede escribirse como:
Ecuación 2-5
Lo cual significa que la convolución es conmutativa, es decir,
La caracterización de un sistema lineal en términos de la operación y la convolución es un concepto muy importante. Aunque el cálculo de las sumatorias en la Ecuación 2-3 y Ecuación 2-5 puede ser difícil, estas formulas constituyen una gran ayuda conceptual para comprender los sistemas lineales. El empleo de la superposición y la respuesta de un sistema de impulso es una caracterización más general que la que frecuentemente se usa empleando transformadas. Por ejemplo, si un sistema contiene coeficientes variables en el tiempo, el método que emplea transformadas deja de ser valido; sin embargo, es válida la caracterización en términos de la respuesta al impulso variable en el tiempo y de la suma integral de superposición. Otro ejemplo de la naturaleza general de este método se presenta al estudiar los sistemas lineales excitados por señales aleatorias de entrada. Empleando la respuesta al impulso y la integral de superposición se puede estudiar una gama mayor de tipos de señales aleatorias de entrada que son los métodos de transformada.
La operación convolución – sistemas de tiempo discreto
La suma de convolución la Ecuación 2-3puede interpretarse gráficamente. Considérese dos secuencias y . La convolución de estas dos secuencias será otra secuencia , dada por:
En donde:
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Ecuación 2-6
Por ejemplo, supongamos que es la secuencia ,41 y es la secuencia . Analicemos el cálculo de:
Para calcular , se necesita el valor . Primero, se toma la imagen espejo de sobe el eje vertical a través del origen para obtener como se ilustra en Figura 2-4 (a) y Figura 2-4 (b). A continuación, se desplaza un unidad a la derecha para obtener , que se ilustra en la Figura 2-4 (c). Esta secuencia desplazada, se multiplica por , graficada en Figura 2-4 (d), y la secuencia de valores obtenidos, mostrados en la Figura 2-4 (e), se suman para obtener un término, , de la secuencia .
(a) (b)
41 Si no aparece la flecha en la lista de secuencia, significa que el primer termino dentro de los paréntesis es el termino k=0
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(c) (d)
(e) (f)
Figura 2-4. Operación de Convolución en sistemas de tiempo discreto
Para calcular , se desplaza dos unidades hacia la derecha para obtener . Multiplicando esta secuencia por y sumando los valores de la secuencia resultante obtenemos . Los valores de la secuencia se obtienen en forma similar. La secuencia de salida para este ejemplo se muestra en la
Debe observarse que la operación de convolución ha producido un efecto de regulación en la secuencia de entrada
Resumiendo; se presento que la convolución está compuesta de cuatro operaciones básicas: 1. Tomar la imagen de espejo de sobre el eje vertical a través del origen para obtener
.
2. Desplazar en una cantidad igual al valor de , en donde la secuencia se evalúa para calcular .
3. Multiplicar esta secuencia desplazada por la secuencia de entrada . Sumar la secuencia de valores resultantes para obtener el valor de la convolución en .