Tabla 3. 4-Registro de desplazamientos del Centro de Masa por piso en direcciones principales MEB
OutputCase UX UY UZ RX RY RZ
Text Mm Mm mm Radians Radians Radians
DESPLASISMOX 112.75927 -0.682689 0 0 0 -0.000875 DESPLASISMOY -0.68326 61.291828 0 0 0 0.000586 DESPLASISMOX 92.502641 -0.578903 0 0 0 -0.000742 DESPLASISMOY -0.57825 52.190832 0 0 0 0.000498 DESPLASISMOX 63.520897 -0.412987 0 0 0 -0.000529 DESPLASISMOY -0.412701 37.974583 0 0 0 0.000358 DESPLASISMOX 29.610042 -0.205453 0 0 0 -0.000263 DESPLASISMOY -0.205436 19.984805 0 0 0 0.000179
Tabla 3. 5-Tabla cálculo de Derivas entre los pisos MEB
STORY OutputCase UX UY Δ(i,i+1) hi Deriva
Text Text Mm mm mm STORY 4 DESPLASISMOX 112.75927 -0.682689 20.256629 3300 0.00613837 STORY 4 DESPLASISMOY -0.68326 61.291828 9.100996 3300 0.00275788 STORY3 DESPLASISMOX 92.502641 -0.578903 28.981744 3300 0.00878235 STORY3 DESPLASISMOY -0.57825 52.190832 14.216249 3300 0.00430795 STORY 2 DESPLASISMOX 63.520897 -0.412987 33.910855 3300 0.01027602 STORY 2 DESPLASISMOY -0.412701 37.974583 17.989778 3300 0.00545145 STORY 1 DESPLASISMOX 29.610042 -0.205453 29.610042 4300 0.00688120 STORY 1 DESPLASISMOY -0.205436 19.984805 19.984805 4300 0.00464125
Al igual que ya se hiciera con el modelo MEC, a la vista de tabla de derivas se indican algunas conclusiones
Las derivas en la dirección X son bastante superiores a las de la dirección Y, al tener menor inercia total y estar sometidas a fuerzas iguales.
Los tres primeros entrepisos superan el límite de deriva (0.007) en el sentido X, establecido para este tipo de edificaciones por E030. Tabla 2. 7
La máxima deriva se produce en el entrepiso 2, con un valor de 0.0102.
La mayor flexibilidad de la edificación aportada por el terreno permite mayores desplazamientos en relación a la estructura empotrada infinitamente rígida, definida en el modelo MEC.
Las derivas, aun siendo superiores, no tienen grandes diferencias con las obtenidas en el MEC, lo cual significa que los desplazamientos relativos muy parecidos.
Tabla 3. 6-Tabla comparativa de derivas entre modelos Estáticos MEC y MEB
Derivas MEC Derivas MEB OutputCase
Text 0.00503726 0.00613837 DESPLASISMOX 0.00223483 0.00275788 DESPLASISMOY 0.00771606 0.00878235 DESPLASISMOX 0.0037945 0.00430795 DESPLASISMOY 0.00932464 0.01027602 DESPLASISMOX 0.00496514 0.00545145 DESPLASISMOY 0.00642653 0.00688120 DESPLASISMOX 0.00445896 0.00464125 DESPLASISMOY
3.2.2 Análisis de Esfuerzos en los elementos resistentes principales: Columnas.
Se procede a continuación a representar los máximos esfuerzos Axiles, Cortantes y Flectores del modelo MEB.
Figura 3. 3- Representación del pórtico con máximos esfuerzos axiales [Alin 3] en el supuesto Sismo X
Figura 3. 5-Representación del pórtico con máximos esfuerzos Cortantes [Alin4] en el supuesto Sismo X
Concluimos este resumen de resultados gráficos con los máximos Esfuerzos Flectores en la modelación MEB.
Figura 3. 7-Representación del pórtico con máximos esfuerzos Flector [Alin4] en el supuesto Sismo X
y que uno a uno se han ido representando en las gráficas anteriores.
Tabla 3. 7-Tabla resumen de esfuerzos máximos para el estudio MEB
ELEMENTO SISMO AXIL (TN)
CORTANTE (TN) FLECTOR (TN.M) C-A3-D3 SISMO X 16.77 C-C1 SISMO Y 13.28 C-B4-C4 SISMO X 9.18 C-D2 SISMO Y 10.66 C-B4-C4 SISMO X 26. 8 C-D2 SISMO Y 22.18
Si comparamos los resultados arrojados en el análisis MEB con los del método MEC, ver Tabla 2. 10, vemos que las diferencias son muy pequeñas. La condición de Suelo Duro, determina un alto Coeficiente de Balasto, lo cual reduce la flexibilidad del suelo y con ello la liberación de esfuerzos por deformación en la estructura. Igualmente, las diferencias en las deformaciones son mínimas.
Otra interesante conclusión, es el hecho de que, al haber adoptado un modelo de interacción Suelo estructura para considerar la flexibilidad donde solo se libera por flexibilidad un grado de libertad Uz, este apenas influye sobre las acciones laterales, ya que su efecto es muy poco significativo.
Podemos concluir, que suponer una estructura totalmente rígida o darle el grado de flexibilidad por coeficiente de balasto según el tipo de suelo, en el estudio estático, no conlleva diferencias significativas que influyan en el diseño de la edificación, y por el contrario puede introducir un elevado grado de incertidumbre si no establecemos adecuadamente los parámetros de cálculo del coeficiente de balasto. Además estos parámetros son obtenidos por experimentación, lo cual supone un sobrecoste al análisis de la edificación.
Concluimos este capítulo destacando el efecto que modelar la estructura considerando la flexibilidad del suelo supone en la rigidez total de la Edificación. En este caso la rigidez propia de la estructura se dispone en serie con la rigidez del suelo, dando con ello resultado a una rigidez total inferior a la considerada en condiciones de rigidez infinita del suelo, (caso MEC)
Figura 3. 9-Representación simbólica de la rigidez total de una edificación con suelo flexible.
En esta representación K1, supone la rigidez del suelo y K2 la rigidez total del edifico. En este caso la nueva rigidez total equivalente viene dada por la expresión.
( )
En todo caso siempre Ke será de valor inferior al que inicialmente tenía, explicando un comportamiento más flexible.
Se indica a continuación el efecto de considerar rigideces en paralelo, que como se verá en las modelaciones con Disipadores de Energía (capítulo 8), serán dispositivos que permitirán reducir las deformaciones de los elementos resistentes principales, a causa de la mayor rigidez estructural, y garantizar con ello un mejor comportamiento ante el daño a personas y elementos estructurales.
.
Figura 3. 10-Representación simbólica de Rigidez total en una edificación con disipadores de energía
CAPÍTULO 4: MODELADO DINÁMICO ESPECTRAL COMÚN [MDEC]
1 INTRODUCCIÓN MDEC
En las modelaciones que se llevarán a cabo a partir de ahora, se introduce un nuevo concepto, el Análisis Dinámico. Por una parte, este nuevo método de modelación introduce una mayor incertidumbre, debido a la gran dificultad de obtener una señal dinámica fiable de un fenómeno sísmico, ya de por si incierto en cuanto a previsión de registros.
De otra parte, aporta un estudio más real y fiable que el método estático, incorporando un comportamiento estructural totalmente diferente y más adecuado al fenómeno sísmico.
En los dos siguientes capítulos se aborda el estudio dinámico desde la perspectiva del Espectro, continuando en los siguientes capítulos con la señal dinámica obtenida por acelerógrafos reales de sismos ocurridos en la zona de ubicación de la edificación.
Los estudios previos, el trabajo de modelación y los recursos informáticos necesarios para desarrollar estos estudios dinámicos, evidentemente son mucho mayores a los empleados en modelos estáticos, de ahí que su utilización solo pueda estar justificada en obras de marcada importancia por su transcendencia para la seguridad de las personas y/o los elevados costes que su colapso pueden ocasionar.
El cálculo dinámico directo da la respuesta exacta de un sistema sometido a un determinado terremoto definido mediante acelerógrafos
Para proyectar adecuadamente una estructura mediante cálculos dinámicos directos, deberíamos utilizar un gran número de terremotos, justificado en ciertos casos, como se ha indicado anteriormente.
Los espectros elásticos de respuesta, permite realizar el cálculo de forma mucho más sencilla que los métodos dinámicos directos. Los espectros dinámicos de respuesta, para una determinada región, representan la envolvente de los valores máximos de respuesta para un conjunto de sismos similares a los esperables en dicha región. (Benavent Climent, 2010).
A este método de estudio se le llama también “Análisis Modal Espectral “. El método de los espectros elásticos de respuesta utiliza el concepto del desacoplamiento modal, pero en vez de proporcionar la respuesta exacta, como el método de superposición modal utilizado en los dinámicos directos, nos proporciona una aproximación de la respuesta máxima.
Básicamente lo que se hace es obtener la respuesta máxima de la estructura en cada modo de vibración, y después combinar las respuestas máximas con reglas de aproximación 1
En (Paz, 1992), se hace un minucioso y justificado análisis de este método de cálculo dinámico a aplicar en estructuras sometidas a fenómenos sísmicos. Más allá del problema matemático, para cuya comprensión se invita a la lectura anteriormente referenciada, pues su exposición supera el alcance de este trabajo, se tratará de dar una perspectiva práctica del método.
Se representa a continuación imagen tomada de (García Reyes, 1998), capítulo 5, donde se representa gráficamente el proceso de elaboración y obtención del Espectro de Respuesta.
Los espectros de respuesta pueden obtenerse sobre los máximos valores de desplazamiento, velocidad y/o aceleración, en el comportamiento de una estructura ante un acelerógrafo (Respuesta Dinámica Directa) determinado.
Con estas señales, si multiplicamos el máximo desplazamiento por la constante de rigidez K de la estructura, obtendremos la máxima fuerza. Así también, si multiplicamos la máxima velocidad registrada por el coeficiente de amortiguamiento, C, obtendremos la máxima fuerza. Y finalmente, si multiplicamos la máxima aceleración absoluta por la masa del sistema M, obtendremos la máxima fuerza. Vemos por tanto, que según cual sea nuestro ámbito de interés, así tendremos que determinar cuál será nuestra señal espectral de referencia.
1
Las reglas de combinación más utilizadas son:
SRSS [ Square Root of The Sum of the Squares] √∑ , y
Figura 4. 1-Cálculo del Espectro de Respuesta. Acelerógrafo El Centro. (García Reyes, 1998)
En la Figura 4. 1, se ha representado la señal espectral en desplazamiento. Se observa como para cada Periodo natural de vibración de diferentes edificaciones, la señal de acelerógrafo El Centro, registra máximos diferentes, siendo en este caso mayores para mayores periodos y menor para los más bajos. Finalmente obtenemos un Espectro, vinculado a un acelerógrafo determinado, válido para todos los posibles periodos naturales de una edificación cualquiera.
Las definiciones matemáticas de Espectro de Respuesta, vienen dadas por las siguientes expresiones.
EC4. 1
Espectro de Respuesta en Desplazamiento ( ) | |
Espectro de Respuesta en Velocidad.
( ) | ̇|
Espectro de Respuesta en Aceleración.
( ) | ̈ ̈|
La ecuación que gobierna el comportamiento de un sistema de un grado de libertad, cuando es sometido a un terremoto determinado caracterizado por un acelerógrafo ̈ .
EC4. 2
̈ ̇ ̈
Al producto ̈ , se le denomina Fuerza Sísmica.
La resolución de la ecuación diferencial, EC4. 2, nos proporciona ̈ ( )
̇ ( ) ( )
Es decir los valores de la aceleración, velocidad y desplazamiento en instantes determinados. A efectos de proyecto, nos interesan fundamentalmente los valores máximos del conjunto de los producidos durante la duración del fenómeno sísmico.
Estos valores máximos los denominamos habitualmente.
{ ( )}
{ ̇ ( )}
{ ̈ ( )}
La relación que se establece entre estos parámetros, un vez aplicadas una serie de simplificaciones, (Benavent Climent, 2010) tema 14, son.
EC4. 3
Siendo ω, la frecuencia circular del sistema, o el periodo fundamental
Se hace llamar la atención en este momento a un parámetro al que, si bien se le ha mencionado, no se ha indicado nada acerca de su contribución al problema sísmico objeto de tratamiento. Este parámetro es la fracción de amortiguamiento del edificio [ ε ], respecto al amortiguamiento crítico.
La ecuación de este parámetro para un sistema simple, viene determinada.
Donde como ya mencionó anteriormente, [c] es el coeficiente de amortiguamiento, [m] la masa del sistema y [ω], la frecuencia circular.
Vemos como este parámetro depende de las características dinámicas de la estructura, por lo cual en estructuras no dinámicas (estáticas) no se tiene en cuenta.
Se define el amortiguamiento crítico, como aquel que debería tener el Sistema, para que, sometido a libertad de movimiento después de aplicarle una excitación inicial, éste no llegue a oscilar.
Los valores de ε, en edificaciones reales, se ha comprobado experimentalmente que no supera el 10%. Este dato es uno de las simplificaciones aplicadas a las ecuaciones EC4. 1 para obtener las ecuaciones EC4. 3.
El fenómeno de amortiguamiento es un aspecto importante en la vibración de las estructuras reales. Una manifestación real del fenómeno podemos observarla como, al excitar un sistema y dejarlo en excitación libre, finalmente acaba recobrando el estado estático. Se le relaciona con el comportamiento no lineal histérico, a nivel microscópico de la materia la energía disipada a nivel de deslizamiento y fricción entre las partes estructurales y con la disipación de la energía de la estructura al suelo.
Figura 4. 2-Representación real y simplificación matemática del fenómeno histérico motivo principal del efecto de amortiguamiento 2
La mayoría de las normas sísmicas tienen en cuenta el fenómeno de amortiguamiento de forma aproximada en función del tipo de edificación (hormigón, acero, mixtas, etc.), por tanto su valor depende de fundamentos empíricos.
Dada la gran influencia que puede llegar a tener el amortiguamiento en el comportamiento de una edificación, uno de los mayores retos de los proyectistas de construcciones sometidas a fenómenos sísmicos, consiste en combinar materiales para elementos estructurales resistentes primarios y disponer materiales auxiliares con capacidad de amortiguamiento, tal que su influencia en la minoración del problema sísmico, sea máxima.
Figura 4. 3-Diagrama Tripartito Espectral ( desplazamiento, velocidad y aceleración) para el acelerógrafo El Centro ( para 0%,2 %,5 % y 10 % de amortiguamiento) 3
En el Diagrama Tripartito Logarítmico Figura 4. 3, se puede apreciar como a mayor amortiguamiento, menor aceleración, velocidad y desplazamiento máximo resultante. Es interesante llamar la atención sobre la geometría trapezoidal del diagrama, de forma que para frecuencias pequeñas (periodos grandes) , los desplazamientos se mantienen bastantes
constantes, en frecuencias intermedias son las velocidades las que mantienen un valor medio prácticamente constante y en frecuencias grandes (periodos bajos), son las aceleraciones las que mantienen .
Mediante métodos de aproximación y redondeo, llegamos finalmente a los espectros utilizados en los proyectos, donde por simplificación y economía computacional, se eliminan los picos y valles de la gráfica con valores reales, quedando una función más adecuada para su tratamiento computacional.
Figura 4. 4-Diagrama Espectral Elástico (sin amortiguamiento) para diseño sísmico.
En la modelación que se va hacer en este trabajo, al igual que en las modelaciones de proyecto, no se utilizan diagramas tripartitos con las tres señales, desplazamiento, velocidad y tiempo, sino diagramas con una sola señal, que normalmente es la aceleración. Se suele coger la aceleración, ya que al incorporar en la modelación las masas concentradas, siguiendo el método de péndulo invertido, obtenemos las fuerzas sísmicas resultantes actuando en los Centros de Masas definidos.
En la imagen Figura 4. 5, se representa la forma final de un espectro de aceleración utilizado para un Análisis Espectral Modal.
Figura 4. 5-Señal Espectral de Aceleración simplificada para modelación sísmica.
En (Rajasekaran, 2009), Tema 17, se da tratamiento a la teoría del Espectro de Respuesta, incluyendo prácticos programas en MATLAB ®, con los que se pueden obtener señales espectrales.
No podemos concluir este apartado, dedicado a la Señal Espectral Sísmica, sin dejar de mencionar al padre de dicho método.
Maurice Biot (1905-1985), desarrolló el concepto de Espectro de Respuesta en su tesis doctoral de 1932.
2 SEÑAL ESPECTRAL SEGÚN NORMA E 030
En la norma E030, utilizada como referencia en este trabajo, en su artículo nº 18, punto 2, trata sobre la modelación espectral. La expresión que nos da para el cálculo de Espectro de Respuesta en Aceleración es.
EC4. 4
C, coeficiente de Amplificación Sísmica. ( ver capítulo 2, punto 2)
Fe es el Factor de Escala, dado por la expresión. (Ver capítulo 2, punto 2)
Aplicando la EC4. 1, obtenemos el espectro de respuesta directamente en el software SAP 2000, aplicando un coeficiente de amortiguamiento (Damping Ratio) de 5%.
Figura 4. 6-Representación del Espectro de Respuesta Elástico obtenido en el entorno del Software SAP 2000
En SAP 2000, debe introducirse la tabla de Coeficientes de Amplificación Sísmica, representada en la Figura 4. 6 y detallada en la Tabla 4. 1. Después se define el Factor de Escala, Fe.
En nuestro caso, vamos a considerar una edificación regular en sentido X, Rx=8, e irregular en sentido Y, Ry=3/4*R=0.75*8=64 , contemplando de esta forma una ligera mermar en la capacidad resistente en sentido Y.
4
En artículo Nº 12, Tabla Nº 6 de la E030, se advierte en nota al pié de tabla, la necesidad de reducir en ¾ el valor del Factor de Reducción Sísmica, en aquellos sentidos donde se produzcan irregularidades.
Tabla 4. 1-Tabla Coeficiente de Amplificación Sísmica
ESPECTRO RESPUESTA MDEC
T C 0 2.50 0.4 2.50 0.5 2.00 0.6 1.67 0.7 1.43 0.8 1.25 0.9 1.11 1 1.00 2 0.50 3 0.33 4 0.25 5 0.20 6 0.17 7 0.14 8 0.13
El Factor de Escala a introducir en el programa será.
Figura 4. 8-Representación de la pantalla de SAP 2000, donde se introduce el Factor Escala en Sismo Y
Concluimos este importante punto donde se ha dado tratamiento a la elaboración y modelación de la Señal Espectral, que como hemos visto, es un parámetro que depende fundamentalmente de la Zona de ubicación de la Edificación Z , del uso destinado a la Edificación U, al tipo de suelo existente S y Tp.
3 DISTRIBUCIÓN DE MASAS POR ALTURA
El tratamiento que en el estudio sísmico se puede hacer de las masas que definen los distintos elementos estructurales, puede tener un enfoque continuo o discreto. El problema continuo incorpora al estudio un planteamiento más complejo, a la hora de obtener las fuerzas sísmicas equivalentes como resultado de la actuación de la aceleración definida por la señal espectral de entrada sobre los elementos básicos.
El enfoque discreto, no deja de ser una simplificación del problema continuo, ampliamente aceptado por la totalidad de los códigos utilizados para el tratamiento del problema sísmico.5
En la ecuación EC4. 2, aparecen las tres magnitudes escalares principales del problema, independientes del tiempo. La masa [M], la rigidez de la estructura [K] y el coeficiente de amortiguamiento [C]. En los problemas de un grado de libertad, estos parámetros tienen un tratamiento simple, mientras que en los problemas de varios grados de libertad, estos parámetros representan la matriz de masas, matriz de rigidez y matriz de amortiguamiento, respectivamente.
Figura 4. 9-Representación de la modelación de las masas en el método de péndulo invertido en una edificación con 5 grados de libertad.
5
En artículo 16, Nº 2, de la E030, se detalla el procedimiento a seguir para modelar edificaciones mediante sistema de masas concentradas.
Se procede a determinar las Masas Traslacionales y Masas Rotacionales, por piso. Una vez determinadas serán asignadas a los puntos de centros de masas, ya definidos en capítulos anteriores. (Capítulo 2, punto 2).
Las expresiones a utilizar para determinar estas masas serán:
Masa Traslacional a considerar en las direcciones principales X,Y.
Masa Rotacional en el eje vertical centroidal, al plano X,Y
( )
Debemos considerar en cada piso el Peso Sísmico correspondiente. (Ver Tabla 2. 6).
Los parámetros Lx y Ly, representan las longitudes de los lados ortogonales que delimitan el
plano de cada planta.
( ) ( ) ( )
Se representan a continuación las masas en su modelación en SAP 2000.
Figura 4. 10-Representación de la asignación de Masas Rotacionales y Traslacionales realizada sobre cada planta de la estructura en su Centro de Masa Correspondiente.
4 MODELACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS EN SAP 2000®. 4.1 Modelación de la estructura.
En la ejecución en SAP 2000 de esta nueva modelación MDEC, se parte de la modelación MEC, del capítulo 2.
El proceso a seguir desglosado a forma de esquema sería el siguiente.
ELIMINAR LAS FUERZAS SÍMICAS ASIGNADAS
EN MEC
ASIGNAR MASAS TRASLACIONALES Y
ROTACIONALES EN LOS CENTROS DE MASAS
DEFINIR EL ESPECTRO DE RESPUESTA.
Figura 4. 6.
DEFINIR LOS FACTORES DE ESCALA.
DEFINIR LAS COMBINACIONES DE ESTADOS
SÍSMICOS. X,Y
DEFINIR EL ESTADO MODAL
Figura 4. 11-Representación esquemática de la modelación de la estructura MDEC en SAP2000®
Hay dos aspectos importantes en la definición del Análisis Modal, sobre los cuales me gustaría detenerme brevemente para tratar de argumentar el contexto en que deben ser determinados.
Me estoy refiriendo al número de Modos seleccionados (Maximum Number of modes) y el tipo de Modelo (Type of Modes). Ambos parámetros han sido destacados en la Figura 4. 11.
En (Rajasekaran, 2009), punto 18.7, se justifica analíticamente el Mínimo Número de Modos necesarios para analizar con precisión suficiente una edificación en función de la cantidad de masa participativa en los modos considerados.
En FEMA 2736, establece en su capítulo 3, punto 3.3.2.2 (Consideraciones para la modelación y análisis), que se requerirá el número mínimo de modos en cada dirección de análisis, de forma que se garantice un total del 90% de la masa participativa del edificio. Por tanto para validad el análisis, deberá garantizarse que se cumple con este requisito.
6
FEMA (Federal Emergency Management Agency) Código Americano que estable las guías básicas para la construcción y rehabilitación de Edificaciones sometidas a Fenómenos Sísmicos. ( Publicación año 1997)
Se hace referencia a esta norma Americana, pues es en ella en la que se fijan gran parte de las normativas de los países Iberoamericanos, por supuesto entre ellas, la norma Peruana, utilizada para este trabajo.
En relación al otro aspecto importante que considero debo aclarar, en cuanto a su