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Carrillo (1998, en Cruz y Carrillo, 2004), quien señala que: El concepto de problema debe asociarse a la aplicación significativa (no mecánica) del conocimiento matemático a situaciones no familiares, la consciencia de tal situación, la existencia de dificultad a la hora de enfrentarse a ella y la posibilidad de ser resuelta aplicando dicho conocimiento. (p.105)

Lo cual implica, según este mismo autor, que sean considerados entre otros elementos, la movilización de recursos, la consciencia (que involucra a su vez, procesos de meta cognición), el enfrentamiento de dificultades y la adecuación de la tarea a las posibilidades de quien resuelve el problema.

En cuanto a cómo se da la resolución de problemas, Ayala et al. señalan que gran cantidad de autores coinciden en que ésta se da a través de un proceso compuesto por varias fases. Entre las propuestas teóricas al respecto consideradas por Ayala et al. se señalan tres:

 La de George Polya (1987), compuesta por las siguientes cuatro fases: Comprensión, Planificación, Ejecución y Revisión. (p.174)

 La de R.E. Mayer (1986a, 1986b, 1986c), con sus correspondientes etapas: Traducción, Integración de los datos, Planificación y Ejecución.

 La de Maza (1991), que corresponde a una reformulación de la propuesta hecha por George Polya en 1987.

Según Maza (1991, en Ayala et al. (s.f.)) las fases en la resolución de un problema matemático son las siguientes:

 Análisis del problema: que involucra la descomposición de la información que contiene el enunciado, y buscar respuestas a las siguientes preguntas: ¿Cuáles son los datos? ¿Qué se desea encontrar? ¿Qué condiciones cumplen los datos?

 Representación del problema: conlleva establecer relaciones entre los

elementos del problema; para ello se puede echar mano de la manipulación de objetos concretos, representaciones gráficas, diagramas, dibujos, entre otros, que ayuden a “hacerse una idea” de las acciones implicadas. En esta etapa es oportuno hacerse las siguientes preguntas: ¿Qué relaciones existen entre los elementos del problema? ¿Cuál es la mejor representación del problema? ¿se dispone de suficientes datos?

 Planificación: en esta etapa se debe elegir la estrategia más adecuada para llegar a la solución, relacionar el problema con otros conocidos, identificar fines y alcances más pequeños para alcanzar la resolución. En este punto es válido cuestionarse con preguntas como: ¿Se parece a algún problema anterior? ¿Cuáles pasos se deben dar y en qué orden? ¿Cuáles operaciones se deben aplicar?

 Ejecución: en esta fase se da la aplicación de la estrategia que se ha

planificado previamente para la resolución del problema. Acá resulta oportuno revisar constantemente esta aplicación, detectar errores (de haberlos), evaluar si cada paso dado es correcto y da la posibilidad de aproximarse a la solución, entre otras situaciones.

 Generalización: en esta fase, no sólo se revisa lo oportuno y correcto de la solución encontrada y de las estrategias utilizadas en su hallazgo; también se hace necesario que se establezcan conexiones con principios generales que permitan abordar problemas similares en el futuro.

 Debe destacarse que Puy (1994, citado en Ayala et al. (s.f.), p. 117), en relación a la resolución de problemas propiamente aritméticos (tal y como los que se consideran en el caso de multiplicación de números racionales, por ejemplo) concretizan las recomendaciones que a continuación se detallan, con el fin de facilitar la enseñanza de la representación del problema y de las estrategias y procedimientos que se utilizan:

- Expresar el problema con otras palabras.

- Explicar a otros compañeros(as) en qué consiste el problema.

- Representar el problema en otro formato (gráficos, diagramas, dibujos, con objetos, entre otros).

- Indicar cuál es la meta del problema.

- Señalar dónde reside la dificultad de la tarea. - Separar los datos relevantes de los no relevantes.

- Indicar los datos con los que cuenta para resolver la tarea.

- Señalar qué datos no presentes se necesitarían para resolver el problema. - Buscar un problema semejante que se haya resuelto.

- Analizar primero algunos ejemplos concretos cuando el problema es muy general.

- Buscar diferentes situaciones en las que se pueda presentar ese problema. (Masa, 1991)

Es importante incluir sobre resolución de problemas, la clasificación de problemas matemáticos propuesta por Blanco (1993) en función, ya que resulta más amplia al partir de una concepción de la Educación Matemática más humana e integral, interesada más allá de lo cognitivo, algorítmico, procedimental y memorístico de la disciplina.

Pues según señala Blanco (1993) los actuales enfoques de enseñanza de la Matemática parten de la premisa de que:

El avance en la enseñanza de las Matemáticas no emanaría de una acumulación de conocimientos, sino que básicamente nacería de una nueva disposición para

resolver problemas que puedan surgirnos y una mayor facilidad para comunicarnos matemáticamente, tanto en el aspecto individual como en elde relación con la sociedad… Entendiendo que hacer matemáticas en clase debería consistir tareas que permitan: abstraer, aplicar, convencer, clasificar, inferir, organizar, representar, idear, generalizar, comparar, explicar, diseñar y desarrollar modelos, validar, conjeturar, analizar, contar, medir, sintetizar y ordenar, etc. (Blanco, 1993, p.1) Situación que según dicho autor Blanco (1993) obliga a pensar en lo diferentes y diversos tipos de ejercicios y problemas que se pueden desarrollar para lograr dichas tareas.

Blanco (1993) incluye la propuesta de clasificación de ejercicios y problemas matemáticos descrita y detallada:

 Ejercicio de reconocimiento: su objetivo es resolver, reconocer o recordar algún aspecto específico de la Matemática, ya sea alguna definición, una proposición 2+7 5+2, propiedades matemáticas o algún resultado de algún teorema. Según el autor un ejemplo de ejercicio de este tipo sería considerar la veracidad o falsedad de la proposición y otro sería considerar que si a es negativo y b es positivo ¿es a/b negativo?

 Ejercicios algorítmicos o de repetición: aquellos cuya resolución se logra con un proceso algorítmico (con frecuencia con un algoritmo numérico). Su objetivo es reforzar alguna expresión matemática determinada o potenciar habilidades de cálculo. Señala Blanco que

 la capacidad de desarrollar habilidades de pensamiento y estrategias de resolución de problemas de este tipo de ejercicio son muy limitadas. Resolver ecuaciones o encontrar valores numéricos de expresiones algebraicas son ejemplos de este tipo de ejercicios.

 Problemas de traducción simple o compleja: son aquellos problemas que se formulan en un contexto concreto y cuya resolución demanda se reformulen o traduzcan términos del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático.

Básicamente demandan dicha traducción y el planteamiento de relaciones simbólicas o ecuaciones numéricas que deben ser resueltas posteriormente. Con ellos lo que se busca es reforzar la comprensión de contenidos

matemáticos (tanto a nivel de conceptos como de habilidades) con las cuales traducir situaciones de la cotidianidad a expresiones matemáticas.

 Problemas de procesos: en este tipo la forma en que se deben realizar los cálculos para hallar la solución al problema no es “tan evidente” o fácilmente deducible del enunciado del problema, como ocurre en los problemas de traducción simple o compleja; lo cual da a espacio a tener “muchas vías” para llegar a la solución. Según Blanco este tipo de problema obliga al estudiante pensar sobre el problema en sí y buscar estrategias de solución; lo que a su vez redunda en el desarrollo de estrategias generales de comprensión,

planificación y de solución de problemas, así como la puesta en escena de la imaginación y la creatividad de los estudiantes para lograr hallar soluciones.

 Problemas sobre situaciones reales: aquellos que plantean actividades lo más cercanas posible a la realidad de los estudiantes y en las que se haga necesario el uso de habilidades, conceptos y procesos matemáticos, permitiendo con ellos construir diagramas, realizar estimaciones, calcular medidas, analizar y sintetizar, al conectar la Matemática con la realidad de los estudiantes. Según

Blanco para encontrar soluciones a problemas de este tipo se requiere: crear un modelo matemático de la situación, aplicar técnicas matemáticas a dicho modelo y traducir las soluciones halladas a la realidad para verificar su validez.

 Problemas de investigación: aquellos directamente relacionados con

conceptos matemáticos muy difíciles y un alto conocimiento matemático; sus proposiciones pueden no contener ninguna estrategia para representarlos y sugieren la búsqueda de modelos para hallar su solución. Ejemplo de ellos son las típicas demostraciones de la Matemática formal.

 Problemas de puzles: relacionados con el potencial recreativo de la

Matemática y con la posibilidad de contar con varias opciones para llegar a su solución, la cual en ocasiones dependerá más de “ideas ingeniosas” que de procesos matemáticos.

 Historias matemáticas: hacen referencias a historias (completas o no) de las cuales pueden desprenderse cuestiones matemáticas que provocan la

curiosidad y el involucramiento más profundo del lector para comprender, tales como las escritas por el matemático Lewis Carrol. (pp. 196-199)

Finalmente, Blanco (1993) señala que es importante brindar a los estudiantes todos los contactos posibles con los diferentes tipos de problemas por él descritos, para poder conocer de un modo más pleno y profundo los conocimientos, habilidades y actitudes que ellos poseen.

2.2.10. Estrategias y técnicas didácticas según componente afectivo y de