Supóngase que la variable Xde interés es la profundidad de un lago en un punto sobre la su- perficie seleccionado al azar. Sea M la profundidad máxima (en metros), así que cual- quier número en el intervalo [0, M] es un valor posible de X. Si se “discretiza” Xmidiendo la profundidad al metro más cercano, entonces los valores posibles son enteros no negativos menores que o iguales a M. La distribución discreta resultante de profundidad se ilustra con un histograma de probabilidad. Si se traza el histograma de modo que el área del rectángu- lo sobre cualquier entero posible ksea la proporción del lago cuya profundidad es (al me- tro más cercano) k, entonces el área total de todos los rectángulos es 1. En la figura 4.1a) aparece un posible histograma.
Si se mide la profundidad con mucho más precisión y se utiliza el mismo eje de me- dición de la figura 4.1a), cada rectángulo en el histograma de probabilidad resultante es mu- cho más angosto, aun cuando el área total de todos los rectángulos sigue siendo 1. En la
4.1
Funciones de densidad de probabilidad
Ejemplo 4.1
Ejemplo 4.2
figura 4.1b) se ilustra un posible histograma; tiene una apariencia mucho más regular que el histograma de la figura 4.1a). Si se continúa de esta manera midiendo la profundidad más y más finamente, la secuencia resultante de histogramas se aproxima a una curva más regular, tal como la ilustrada en la figura 4.1c). Como en cada histograma el área total de todos los rectángulos es igual a 1, el área total bajo la curva regular también es 1. La probabilidad de que la profundidad en un punto seleccionado al azar se encuentre entre a y bes simplemen- te el área bajo la curva regular entre ay b. Es de manera exacta una curva regular del tipo ilustrado en la figura 4.1c) la que especifica un distribución de probabilidad continua.
Para que f(x) sea una función de densidad de probabilidad legítima, debe satisfacer las dos siguientes condiciones:
1. f(x)0 con todas las x 2.
f(x) dxárea bajo la curva f(x) 1
La dirección de una imperfección con respecto a una línea de referencia sobre un objeto circu- lar tal como un neumático, un rotor de freno o un volante está, en general, sujeta a incertidum- bre. Considérese la línea de referencia que conecta el vástago de la válvula de un neumático con su punto central y sea Xel ángulo medido en el sentido de las manecillas del reloj con respecto a la ubicación de una imperfección. Una posible función de densidad de probabilidad de Xes
f(x) 3 1
60 0x360 0 de lo contrario
DEFINICIÓN Sea Xuna variable aleatoria continua. Entonces, una distribución de probabilidad o función de densidad de probabilidad (fdp) de Xes una función f(x) tal que para dos números cualesquiera a y bcon ab,
P(aXb)
b
a f(x) dx
Es decir, la probabilidad de que Xasuma un valor en el intervalo [a, b] es el área so- bre este intervalo y bajo la gráfica de la función de densidad, como se ilustra en la fi- gura 4.2. La gráfica de f(x) a menudo se conoce como curva de densidad.
Figura 4.1 a) Histograma de probabilidad de profundidad medida al metro más cercano; b) histograma
de probabilidad de profundidad medida al centímetro más cercano; c) un límite de una secuencia de histo- gramas discretos.
a) b) c)
0 M 0 M 0 M
Figura 4.2 P(a Xb) el área debajo de la curva de densidad entre a y b.
a b x Ejemplo 4.4 Ï
Ì
Ó
La función de densidad de probabilidad aparece dibujada en la figura 4.3. Claramente f(x) 0. El área bajo la curva de densidad es simplemente el área de un rectángulo (altura) (base)
(
31
60
)
(360) 1. La probabilidad de que el ángulo esté entre 90° y 180° esP(90X180)
180 90 dx°
x180 x90 0.25La probabilidad de que el ángulo de ocurrencia esté dentro de 90° de la línea de referencia es P(0X90)P(270X360)0.250.250.50 1 4 x 360 1 360
Como siempre que 0 ab360 en el ejemplo 4.4, P(aXb) depende sólo del an- cho badel intervalo, se dice que Xtiene una distribución uniforme.
La gráfica de cualquier función de densidad de probabilidad uniforme es como la de la fi- gura 4.3 excepto que el intervalo de densidad positiva es [A, B] en lugar de [0, 360].
En el caso discreto, una función masa de probabilidad indica cómo estan distribuidas pequeñas “manchas” de masa de probabilidad de varias magnitudes a lo largo del eje de medición. En el caso continuo, la densidad de probabilidad está “dispersa” en forma conti- nua a lo largo del intervalo de posibles valores. Cuando la densidad está dispersa uniforme- mente a lo largo del intervalo, se obtiene una función de densidad de probabilidad uniforme como en la figura 4.3.
Cuando Xes una variable aleatoria discreta, a cada valor posible se le asigna una pro- babilidad positiva. Esto no es cierto en el caso de una variable aleatoria continua (es decir, se satisface la segunda condición de la definición) porque el área bajo una curva de densi- dad situada sobre cualquier valor único es cero:
cc
ce ce
El hecho de que P(Xc) 0 cuando Xes continua tiene una importante consecuen- cia práctica: La probabilidad de que Xquede en algún intervalo entre ay bno depende de si el límite inferior ao el límite superior bestá incluido en el cálculo de probabilidad
P(aX b) P(aX b) P(aX b) P(aX b) (4.1) fsxddx50
fsxddx5 lim
eS0
PsX5 cd5
DEFINICIÓN Se dice que una variable aleatoria continua Xtiene una distribución uniforme en el intervalo [A, B] si la función de densidad de probabilidad de Xes
f(x; A, B) B 1
A AxB
0 de lo contrario
Figura 4.3 Función de densidad de probabilidad del ejemplo 4.4. ■
Área sombreada P(90 X180) x 1 360 f(x) 0 360 x f(x) 360 270 180 90 Ï
Ì
Ó ´Si Xes discreta y tanto acomo bson valores posibles (p. ej., Xes binomial con n20 y a5, b10), entonces cuatro de estas probabilidades son diferentes.
La condición de probabilidad cero tiene un análogo físico. Considérese una barra circular sólida con área de sección transversal 1 pulg2. Coloque la barra a lo largo de un
eje de medición y supóngase que la densidad de la barra en cualquier punto xestá dada por el valor f(x) de una función de densidad. Entonces si la barra se rebana en los puntos ay b y este segmento se retira, la cantidad de masa eliminada es
baf(x)dx; si la barra se rebana exactamente en el punto c, no se elimina masa. Se asigna masa a segmentos de intervalo de la barra pero no a puntos individuales.
“Intervalo de tiempo” en el flujo de tránsito es el tiempo transcurrido entre el tiempo en que un carro termina de pasar por un punto fijo y el instante en que el siguiente carro comienza a pasar por ese punto. Sea Xel intervalo de tiempo de dos carros consecutivos seleccio- nados al azar en una autopista durante un periodo de tráfico intenso. La siguiente función de densidad de probabilidad de Xes en esencia el sugerido en “The Statistical Properties of Freeway Traffic” (Transp. Res. vol. 11: 221-228):
f(x) 0.15e0.15(x0.5) x0.5 0 de lo contrario
La gráfica de f(x) se da en la figura 4.4; no hay ninguna densidad asociada con inter- valos de tiempo de menos de 0.5 y la densidad del intervalo decrece con rapidez (exponen- cial) a medida que xse incrementa a partir de 0.5. Claramente, f(x) 0; para demostrar que
f(x) dx1,se utiliza el resultado obtenido con cálculo integral
a ekxdx(1/k)eka. Entonces f(x) dx 0.50.15e 0.15(x0.5)dx0.15e0.075 0.5e 0.15xdx 0.15e0.075 0.1 1 5e (0.15)(0.5)1La probabilidad de que el intervalo de tiempo sea cuando mucho de 5 segundos es P(X5)
5 f(x) dx 5 0.50.15e 0.15(x0.5) dx 0.15e0.0755 0.5e 0.15xdx0.15e0.075 0.1 1 5e 0.15x°
xx50.5 e0.075(e0.75e0.075)1.078(0.4720.928)0.491 P(menos de 5 seg)P(X5) ■A diferencia las distribuciones discretas tales como la binomial, la hipergeométrica y la binomial negativa, la distribución de cualquier variable aleatoria continua dada en gene- ral no puede ser derivada mediante simples argumentos probabilísticos. En cambio, se debe hacer una selección juiciosa de la función de densidad de probabilidad basada en conoci- mientos previos y en los datos disponibles. Afortunadamente, existen algunas familias ge- nerales de funciones de densidad de probabilidad que se ajustan bien a una amplia variedad de situaciones experimentales; varias de éstas se discuten más adelante en el capítulo. Ejemplo 4.5
Ï Ì Ó
Figura 4.4 Curva de densidad del intervalo de tiempo entre vehículos en el ejemplo 4.5.
0 0.15 2 0.5 4 6 8 10 x f(x) P(X 5)
Exactamente como en el caso discreto, a menudo es útil pensar en la población de interés como compuesta de valores Xen lugar de individuos u objetos. La función de densidad de pro- babilidad es entonces un modelo de la distribución de valores en esta población numérica y con base en este modelo se pueden calcular varias características de la población (tal como la media).