Key Lessons of the Work

Recordemos que, según Frege, “2 + 5” y “4 + 3” son sentidos del signo “7” para la referencia “concepto de número siete”. Él reconoce que puede haber una varie- dad de signos que tengan como referencia el mismo objeto (concepto): “a una re- ferencia (objeto) no le pertenece sólo un signo” (Frege, 1998c, § 27). Por otro la-

32 _{Desde una perspectiva relacionada, Chaiklin (2002) utiliza la expresión “subject-matter analy-}

sis” para denotar un cierto tipo de análisis del contenido. Su preocupación se centra en diseños y desarrollos curriculares que sean coherentes con las teorías de Vygotsky. Su propuesta de análisis de contenido se restringe a las relaciones entre los conceptos. Alrø y Skovsmose (2004, pp. 253- 254) critican esta aproximación al desarrollo curricular puesto que, desde su perspectiva, acepta como dado el conocimiento científico sin cuestionarlo.

do, cuando decimos que “4 + 3” es un sentido del signo “7” y, por lo tanto, nos basamos en “el concepto de número 4” y en “el concepto de número 3” para ello, utilizamos signos cuya referencia son esos conceptos. Por consiguiente, los signos son elementos constitutivos centrales del significado de un concepto matemático: son los elementos que relacionan el sentido y la referencia y se requieren para ex- presar las relaciones internas entre los conceptos. En matemáticas, estos signos se organizan en “sistemas” que es posible caracterizar. Siguiendo una de las tradi- ciones de la literatura en didáctica de la matemática utilizaré de aquí en adelante la expresión “sistemas de representación” para referirme a los sistemas de signos por medio de los cuales se designa un concepto. La importancia de los sistemas de representación en el análisis de contenido radica en que33:

♦ los sistemas de representación organizan los símbolos mediante los que se hacen presentes los conceptos matemáticos;

♦ los distintos sistemas de representación aportan distintos significados para cada concepto; y, por lo tanto,

♦ un mismo concepto admite y necesita de varios sistemas de representación complementarios.

Puesto que para reflexionar sobre las relaciones entre un concepto matemático al interior de la estructura matemática de la que forma parte, es necesario poner en juego al menos un sistema de representación, abordo primero, en esta sección, la discusión sobre esta dimensión del significado de un concepto, y, en la siguiente, profundizo sobre la estructura conceptual del mismo. Dado que, aún dentro de la educación matemática, el término “sistema de representación” tiene diferentes significados (Goldin y Janvier, 1998, pp. 1-2; Kaput, 1998, p. 265; Rico, 2000, p. 219), es necesario adoptar una posición al respecto. En este trabajo utilizo la defi- nición de Kaput (1992), en virtud de la cual, un sistema de representación es “un sistema de reglas para (i) identificar o crear signos, (ii) operar sobre y con ellos y (iii) determinar relaciones entre ellos (especialmente relaciones de equivalencia)” (p. 523)34.

La definición de Kaput enfatiza el carácter sistémico de la noción. Un sistema de representación está compuesto por signos que se ciñen a unas reglas. Estas re- glas determinan cómo crear un signo que pertenezca al sistema, cómo reconocer si un signo dado pertenece a él, y cómo transformar unos signos en otros, estable-

33 _{La noción de sistema de representación ha adquirido gran importancia en la educación matemá-}

tica en los últimos quince años. Por ejemplo, en los nuevos estándares para las matemáticas escola- res, el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de Estados Unidos ha introducido un nue- vo estándar sobre representaciones (NCTM, 2000, p. 67). En este caso se incluye el dominio de distintos sistemas de representación para cada concepto como una de las competencias que deben alcanzar los alumnos. En 1998, el Journal of Mathematical Behaviour le dedicó dos de sus núme- ros a este tema. En estos números se publicaron artículos de algunos de los participantes en el gru- po que, sobre representaciones, se reunió en el PME de 1990 a 1993 (Goldin, 1998b).

34 _{Kaput utiliza el término “characters” que yo he traducido por “signos”. La definición de Duval}

(1999) es similar, aunque, en ella, él enfatiza la dimensión cognitiva. Para que un sistema semióti- co pueda ser un registro de representación debe permitir tres actividades cognitivas: 1) formación de una representación identificable (las reglas de formación del registro semiótico); 2) tratamiento de una representación dentro del mismo registro; 3) conversión de un registro a otro. La conver- sión y el tratamiento son independientes como actividades cognitivas (p. 178).

ciendo relaciones entre ellos. Para que las reglas y signos que caracterizan a un sistema de representación adquieran un sentido concreto, deben referirse a una estructura matemática particular. Por ejemplo, podemos considerar el plano carte- siano como un sistema de representación. Su utilización implica una reglas bási- cas que incluyen, por ejemplo, la disposición de unos ejes, la determinación de unas unidades de medida para ellos y el procedimiento para identificar y caracte- rizar un punto del plano en función de su posición con respecto a los ejes. Pero, las reglas que determinan qué signos pertenecen a dicho sistema dependen de qué estructura matemática pretendamos representar en él, dado que nuestro propósito es representar los objetos matemáticos que configuran dicha estructura matemáti- ca. Por lo tanto, el sistema de representación gráfico de las funciones en el plano cartesiano implica un conjunto de reglas (para la creación y operación de signos en él) que es diferente del sistema de representación gráfico de los números com- plejos en el plano cartesiano.

Dado que un mismo concepto o estructura matemática se puede representar en diferentes sistemas de representación, es posible agrupar y caracterizar, en cua- tro categorías, las operaciones que se pueden realizar sobre los signos que perte- necen a esos sistemas de representación35:

1. Creación y presentación de signos o expresiones. Esta operación permite de- terminar expresiones válidas e inválidas ((x) f = 3x2+ 2 es un ejemplo de una expresión inválida en el sistema de representación simbólico para las funcio- nes).

2. Transformación sintáctica invariante. Esta operación se refiere a la transforma- ción de un signo en otro, dentro de un mismo sistema de representación, sin que el objeto matemático designado por esos signos cambie. Es el caso, por ejemplo, de los procedimientos de completación de cuadrados, expansión y factorización que se muestran en la Figura 5.

3. Transformación sintáctica variante. Esta operación se refiere a la transforma- ción de un signo en otro, dentro de un mismo sistema de representación, en la que el objeto matemático designado cambia. Es el caso, por ejemplo, de las traslaciones horizontal y vertical que se muestran en la Figura 5.

4. Traducción entre sistemas de representación. Esta operación se refiere al pro- cedimiento en virtud del cual se establece la relación entre dos signos que de- signan un mismo objeto pero que pertenecen a diferentes sistemas de repre- sentación. Por ejemplo, las relaciones entre los parámetros de las formas simbólicas de la función cuadrática y sus representaciones gráficas en la pará- bola de la Figura 536_.

35 _{He adaptado la propuesta de Kaput (1992, pp. 524-525) sobre las actividades matemáticas que}

tienen lugar en el discurso del aula, al contexto de los sistemas de representación como dimensión del significado de un concepto matemático.

36 _{Kaput (1992, p. 525) incluye una quinta operación: la consolidación o cristalización de relacio-}

nes y procesos en objetos conceptuales o “entidades cognitivas” que pueden ser usadas en relacio- nes y procesos de un orden más alto de organización. Me referiré a esta operación en el apartado siguiente.

Figura 5. Operaciones en los sistemas de representación

La Figura 5 presenta tan sólo algunos de los múltiples aspectos que componen la complejidad de representaciones (significados) de un concepto como la función cuadrática. Incluyo sólo algunos de los conceptos y procedimientos que confor- man esta estructura matemática, en dos de sus sistemas de representación: gráfico (plano cartesiano) y simbólico. Mostraré más adelante que hay significados im- portantes de este concepto relacionados con los sistemas de representación numé- rico y geométrico. Los sistemas de representación permiten apreciar la compleji- dad del sistema de significados de los conceptos en las matemáticas escolares. Esta complejidad tiene su origen en el carácter estructural de los conceptos mate- máticos: cada concepto configura una estructura matemática y forma parte de otras estructuras matemáticas. Considero en la siguiente sección esta dimensión de los significados de un concepto.