Key Question 3, What Mixing Processes Occur When a Wave

Frege establece la diferencia entre signo y significado y, dentro del significado de un término, distingue entre sentido y referencia. Esta distinción la enuncia, en pri- mer lugar, para los términos o nombres propios y la extiende, posteriormente, a enunciados, proposiciones y conceptos. Con las nociones de sentido y referencia Frege marcó los fundamentos de la moderna teoría semántica hace más de un si- glo. La primera precisión la establece para los nombres propios u objetos (Frege, 1998c, § 27):

18 _{Con “matemáticas académicas”, me refiero a las matemáticas que se enseñan y aprenden en las}

licenciaturas de matemáticas. Por su lado, las “matemáticas disciplinares” aluden a la actividad de los matemáticos profesionales y las “matemáticas aplicadas” al uso de las matemáticas en activi- dades profesionales o disciplinas científicas. Finalmente, las “matemáticas escolares” se refieren a las matemáticas cuando se consideran con la finalidad de ser enseñadas y aprendidas en la escuela.

19 _{Para efectos del análisis de contenido —que describiré más adelante—, no es necesaria una}

aproximación social a la noción de significado. Basta con una extensión y adaptación de las ideas originales de Frege. Ésta es una idea original de Luis Rico. En las siguientes secciones transcribo el desarrollo que él ha hecho de esta idea. Por esta razón, utilizo la primera persona del plural en la redacción.

Es natural entonces que a un signo (nombre, unión de palabras, signo escrito), además de lo designado, que podría llamarse la referencia del signo, va unido lo que yo quisiera llamar el sentido del signo, en el cual se halla contenido el modo de darse… Un nombre propio expresa su sen- tido, se refiere a su referencia o la designa. Con un signo expresamos su sentido y designamos su referencia.

Así pues, Frege establece un primer triángulo semántico Signo-Sentido-

Referencia, para los objetos (Ver Figura 1), en el cual por nombre o signo entien-

de cualquier designación que represente un nombre propio, cuya referencia sea un objeto determinado, pero no un concepto o una relación. Actualiza así toda una tradición, que inicia Aristóteles, según la cual las palabras son los signos de las

ideas y las ideas son los signos de las cosas.

Sentido

Signo Referencia

Expresa _Determina

Designa

Figura 1. Triángulo semántico (término)20

Con posterioridad, Frege extiende la distinción semántica entre sentido y referen- cia a los enunciados o proposiciones. Comienza por afirmar que un enunciado completo contiene un pensamiento, es decir, es una frase con contenido objetivo, apto para ser propiedad común de muchos, y sostiene que el pensamiento que ex- presa un enunciado es su sentido, no su referencia. Puesto que la búsqueda de la verdad es lo que incita a avanzar del sentido a la referencia, y de acuerdo con su preocupación por el fundamento lógico, argumenta y establece que la referencia de un enunciado es su veracidad o falsedad y su sentido es el pensamiento que expresa (§ 34):

La búsqueda de la verdad es la que incita a avanzar del sentido a la re- ferencia. El valor veritativo de un enunciado es su referencia… Cada enunciado asertivo, en el que tenga importancia la referencia de las pa- labras, debe ser considerado, pues, como un nombre propio, y su refe- rencia, caso de que exista, es o bien lo verdadero o bien lo falso.

La referencia, lo que marca la objetividad para un enunciado, es su veracidad. Es- tablecida esta importante distinción, Frege extiende el triángulo semántico a todo

término conceptual, ya que en la ciencia interesa la pregunta por la verdad y, por

ello, es necesario asociar una referencia a los términos conceptuales. Al igual que

20 _{Frege no dio ningún nombre para la relación entre sentido y referencia. Nosotros la denomina-}

la referencia de un nombre propio es el objeto que designa, un término conceptual

se refiere a un concepto, si se emplea del modo conveniente en lógica.

Frege establece la referencia de los términos conceptuales en el propio con- cepto, que suele venir dado por su extensión, es decir, por los objetos que caen bajo el concepto ya que son éstos los que le proporcionan valor veritativo; igual- mente, establece el sentido del concepto en su contenido o intensión (compren- sión, en sentido conjuntista) (Frege, 1998a, § 133):

Aquello a lo que se refieren dos términos conceptuales es lo mismo si y sólo si las extensiones de concepto correspondientes coinciden. La ex- tensión de los conceptos es preferible a su contenido (intensión) ya que lo esencial para la lógica es la referencia de los términos y no su senti- do… Para cada objeto debe poderse determinar si cae bajo un concepto o no; un término conceptual que no satisfaga este requisito carece de re- ferencia.

Así pues, Frege establece las nociones de sentido y referencia para un término conceptual; de estas nociones afirma: “El término conceptual debe tener un senti-

do y, para su uso científico, una referencia” (§ 135). Extiende así a los conceptos

el triángulo semántico.

En la noción de Frege para significado de un término conceptual, el triángulo semántico viene dado por el signo o término con el que se expresa, por su referen-

cia o concepto propiamente tal, y por su sentido o modo en que vienen dados los objetos que caen bajo el concepto.

Frege utiliza frecuentemente las matemáticas como ejemplo para sus defini- ciones y nociones teóricas. Por ejemplo, cuando caracteriza el baricentro como la intersección de las medianas a y b de un triángulo, y luego como intersección de las medianas b y c, dice que se trata de dos sentidos distintos para una misma re-

ferencia, ya que se trata de dos modos de darse lo designado con el término bari- centro (Frege, 1998c, § 26).

También distingue el signo “7”, los sentidos “2 + 5” y “3 + 4” y la referencia o “concepto de número siete” (Frege, 1998b, § 3). Para entender la idea de con- cepto de un número adopta la visión: “Uno es cardinal ⎨∅⎬”, “Uno” es el término; su referencia es el concepto de uno. Pero hay distintos sentidos para este término:

♦ S1: menor número natural

♦ S2: divisor de cualquier número

♦ S3: mitad de dos, etc.

Estos distintos sentidos son modos de referirse al “concepto de uno”. Frege esta- blece que el significado de un término conceptual, para una proposición y un uso determinados, viene dado por la conexión entre el término, su referencia o con- cepto y el sentido en que se usa.

3.3. Tres Dimensiones del Significado de un Concepto en las Matemáticas