Kinetic rates optimization based on SA inner layer

Laboratorio Final

Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010

Grupo: Matr´ıcula: Nombre: Tipo:5

1. Determine A, B, C, D y E (B > D) para que

f (t) = A e^{B t}+ C e^{D t}+ E sea la transformada inversa de la funci´on:

F (s) = −27 − 21 s −9 s + s3

Respuesta:

2. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuaci´on diferencial 64 y + y⁰⁰= f (t) con condiciones iniciales y(0) = 3 y y0(0) = 0 y donde

f (t) =    0 si 0 ≤ t < π 1 si π ≤ t < 2π 0 si 2π ≤ t A y(t) = 3 cos(8 t) + 1 64 (1 − cos(8 t)) U_π(t) − 1 64 (1 − cos(8 t)) U_{2 π}(t) B y(t) = 3 cos(8 t) + ₃₂¹ (1 − cos(8 t)) Uπ(t) −₃₂¹ (1 − cos(8 t)) U2 π(t) C y(t) = 3

8sen(8 t) + 1

64 (1 − cos(8 t)) U_π(t) − 1

64 (1 − cos(8 t)) U_{2 π}(t) D y(t) = 3 cos(8 t) + ₆₄¹ (1 − cos(16 t)) Uπ(t) −₆₄¹ (1 − cos(16 t)) U2 π(t) E y(t) = 3 cos(8 t) + 1

64 (1 + cos(8 t)) U_π(t) − 1

64 (1 + cos(8 t)) U_{2 π}(t)

3. Indique cu´al de las opciones siguientes es la ecuaci´on subsidiaria del problema con condici´on inicial y(0) = 6 y ED: 4 y + y⁰= t cos(4 t) + sen(4 t) e^{6 t} A Y (s) = 6+ 2 s2 (16+s2 )²−(16+s2)⁻¹+ 4 52+12 s+s2 4+s B Y (s) = ⁶⁺ 2 s2 (16+s2 )²−(16+s2)⁻¹+ ^−6+s 52−12 s+s2 4+s C Y (s) = ⁶⁺ 2 s2 (16+s2 )²−(16+s2)⁻¹+ 4 52−12 s+s2 4+s D Y (s) = ⁶⁺ 8 s (16+s2 )²+ 4 52−12 s+s2 4+s

4. Cuando un rayo de luz pasa atrav´es de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.8 metros bajo la superficie es de 60 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qu´e profundidad en metros la intensidad es 70 por ciento de Io?

Respuesta:

5. En un circuito serie RC con C = ₄₀₀¹ H, R = 400Ω, y

E(t) =    2 para 0 ≤ t < 5 −2 para 5 ≤ t < 10 0 para 10 ≤ t

donde E(t) est´a en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 15 segundos. Tome q(0) = 0.0 C Respuesta:

6. Un recipiente contiene 40 galones de una soluci´on de sal a una concentraci´on de 0.04 libras por gal´on. Un proceso se inicia poniendo agua limpia en el recipiente a un ritmo de 6 galones por minuto. A la vez que se vierte agua, se extrae soluci´on del tanque a la misma velocidad. La soluci´on extra´ıda es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene 40 galones de agua limpia. Del cual a su vez tambi´en ser´an extra´ıdos 6 galones de soluci´on por minuto. Cu´al ser´a la concentraci´on m´axima que alcanzar´a la soluci´on en el segundo tanque? (en libras por gal´on) Sugerencia. Primero determine la f´ormula que da la contidad de sal en el primer tanque en funci´on de t. A partir de ella obtenga la f´ormula que da la concentraci´on de sal en el primer tanque. De ella determine la f´ormula de la velocidad de entrada de sal al segundo tanque en libras por minuto. Respuesta:

7. Indique la opci´on que contiene la soluci´on que satisface y(0) = 0 para la ecuaci´on: 2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y⁰= 0 A x³+ 3 x y + y³= 0 B x3+ x y + y3= 0 C x2+ 2 x y + y2= 0 D x2+ 3 x y + y2= 0 E x2+ x y + y2= 0 F x³+ y³= 0 G x²+ y²= 0 H x3+ 2 x y + y3= 0

8. Indique cu´al de las opciones es la soluci´on general a :

25 y + y⁰⁰= 6 cos(4 x) + 8 sen(4 x) A y = C1cos(5 x) + ¹₉(6 cos(4 x) − 8 sen(4 x)) + C2sen(5 x)

B y = C₁cos(5 x) + 1

9(−6 cos(4 x) − 8 sen(4 x)) + C₂sen(5 x) C y = C1cos(5 x) + ¹₉(6 cos(4 x) + 8 sen(4 x)) + C2sen(5 x) D y = C1cos(5 x) + C2sen(5 x) +¹₉(6 cos(5 x) + 8 sen(5 x))

9. Una cadena de 3 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 19 pounds y se supone que su peso est´a uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia abajo. Despreciando la fricci´on, indique cu´anto tiempo tardar´a en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable inc´ognita la longitud de la cadena que est´a fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza aplicada a la cadena es 19

3 y. La aceleraci´on es y00. Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y0(0) = 0. Respuesta:

10. Seleccionar la opci´on que contiene la transformada de Laplace de

f (t) = ^{cos(2 t) − cos(5 t)} t A F (s) = _4+s^s2− s 25+s2 B F (s) = ¹₂ ln(^25+s_4+s2²) C F (s) = ln(^2+s_5+s) D F (s) = _4+s^s2 +_25+s^s 2

11. La poblaci´on de una ciudad crece, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional al n´umero de habitantes en dicho instante. Si su poblacion inicial de 900 aumenta 15 % en 9 a˜nos. Cu´al ser´a el n´umero de personas aproximado en la poblaci´on dentro de 54 a˜nos?

Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 5 3

A 6210. B 12420. C 12054.7 D 2081.75

12. Sabiendo que la soluci´on a la correspondiente ecuaci´on homog´enea auxiliar es yh = c1+ c2sec (4 x) determine una soluci´on particular por el m´etodo de variaci´on de par´ametros a la ED:

−4 (csc(4 x) sec(4 x) + tan(4 x)) y⁰+ y⁰⁰= tan(4 x) A yp= −¹₄x − ¹₄ tan(4 x) B yp= −¹₄x + ¹₄ tan(4 x) C yp=¹₄x + ₁₆¹ tan(4 x) D y_p= −¹₄x + ₁₆¹ tan(4 x) E y_p= x + tan(4 x) F y_p=1 4x + 1 4 tan(4 x)

13. El n´umero de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una raz´on que es aproximadamente proporcional al producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tama˜no de la poblaci´on. Si el tama˜no de la poblaci´on es de 300 individuos y si inicialmente existen 30 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 60 individuos infectados. Cu´antos habr´a infectados al cabo de 2 meses?

Respuesta:

14. Todos los d´ıas la maestra Salinas toma una taza de caf´e antes de su clase de 9:00 AM. Suponga que la temperatura del caf´e es de 200^oF cuando lo sirve en su taza a las 8:30AM, quince minutos despu´es el caf´e se enfria hasta 110^oF en un cuarto que est´a a 69oF. Sin embargo, la maestra Salinas nunca beber´a su caf´e si no hasta que este se enfrie justo a 96oF. Cu´antos minutos despu´es de servido tomar´a su caf´e?

Respuesta:

15. Un cuerpo con peso de 5 libras cuelga de un resorte con constante ⁸₅ lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una fuerza de resistencia al movimiento que es num´ericamente igual a su velocidad instant´anea. Si el peso es liberado ⁵₆ pies por encima de su posici´on de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 12 pies por segundo. Determine la velocidad en el momento en el cual pasa por la posici´on de equilibrio.

Respuesta:

16. Cu´al de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la funci´on: (Sugerencia: use las definiciones de las funciones de las funciones hiperb´olicas mediante exponenciales)

f (t) = t cosh(8 t) A F (s) = (64 + s2)⁻¹ B F (s) = 16 s (−64+s2)2 C F (s) = _−64+s^64+s2₂ D F (s) = _(−64+s^64+s2₂₎2

17. Seleccionar la opci´on que contiene un paso intermedio para obtener la soluci´on general de la ED: y

x^{+ y}

0= ^cos(x) x

A y = ^C+ R e R 1 x^dxcos(x) x dx e R 1 x^dx B y = e^{R 1}xdx^C +R cos(x) e R 1 x^dxxdx^ C y = ^C+ R cos(x) x dx x D y = e^{R 1}xdx^C +R e^R x¹dx cos(x) dx^

18. Se ha descubierto que una bola de naftalina que ten´ıa originalmente un radio de ¹¹₄ de pulgada, tiene una radio de ⁵₆ de pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ´ındice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en meses para que la bola desaparezca.

A 2.86957 B 1.43478 C 4.30435 D 8.6087

19. Determine el valor de y(1) siendo y(x) la funci´on soluci´on que satisface y(0) = 1 a la ecuaci´on diferencial: dy dx ⁼ 7 r x y Respuesta:

20. Encuentre la m´axima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V , q(0) = 0C, y i(0) = 0A.

Respuesta:

21. Indicar la opci´on que contiene la soluci´on a la ecuaci´on diferencial: y⁰= ^{x y + 4 y} 2 x2 A −x y = C + ln(4 x) B ^y_x = C − 4 ln(x) C ^x_y = C + 4 ln(x) D −1 y = C + 4 ln(x) E −1 u = C + 4 ln(x) F −x y = C + ln(x4)

22. Jos´e Luis se va a someter a una cirug´ıa por una lesi´on de futbol y debe ser anestesiado. El anestesi´ologo sabe que para que un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital s´odico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentraci´on de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias qu´ımicas disminuyen su concentraci´on en la sangre en forma proporcional a la concentraci´on de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su concentraci´on a la mitad cada 10 horas. Si Jos´e Luis pesa 95 kilogramos y ser´a anestesiado mediante una sola d´osis, cu´antos miligramos de Pentobarbital se le deber´a suministrar si se desea que el efecto dure 2 horas? Nota: Los datos del problema son ficticios.

Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 5 5

23. Un recipiente cil´ındrico se est´a vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el l´ıquido estaba a una profundidad de 16 metros y al cabo de 4 horas ten´ıa una profundidad de 8 metros. Cu´anto tiempo tardar´a en vaciarse?

A 13.6569 horas B 20.4853 horas C 4 horas adicionales D 6. horas

24. En 1960 un art´ıculo de New York Times anunci´o que Arque´ologos afirman que la civilizaci´on Sumeria ocup´o el valle del Tigris hace 5900 a˜nos . Asumiendo que los arque´ologos usaron la t´ecnica del C-14. Determine el porcentaje del carbono catorce encontrado en las muestras (con respecto al inicial). Use como dato que la vida media de C-14 es de 5600 a˜nos.

A 0.526786 B 0.361331 C 0.790179 D 0.481774

25. usando el caso I, Iindique la opci´on que contiene un paso intermedio en la soluci´on a: ln((y⁰)³) y⁰⁰= 7 A 3 z (−1 + ln(z)) = 7 x + C1 B R z ln(z) dz = 7 3y C ln(z) = (²₃) 1 2(7 x + C1)¹2 D 3 (−z + z ln(z)) = 7 y + C1

Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010

Grupo: Matr´ıcula: Nombre: Tipo:6

1. Un cultivo tiene inicialmente una cantidad N₀ de bacterias. Para t = 4 hrs el n´umero de bacterias estimado es 7

6N₀. Si la rapidez de multiplicaci´on de las bacterias es proporcional al n´umero de bacterias presente, determine el tiempo en horas (expresado en decimales) para que el n´umero de bacterias se triplique.

A 28.5075 B 10.2857 C 14.2537

D 48.

2. Encuentre la m´axima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V , q(0) = 0C, y i(0) = 0A.

Respuesta:

3. Indique cu´al de las siguientes opciones es la transformada de Laplace de f (t) = ¹ 4^{t sen(2 t)} A F (s) = s (4+s2)² B F (s) = _(−4+s¹ ₂₎2 C F (s) = 1 (4+s2)² D F (s) = _(−4+s^s ₂₎2

4. Todos los d´ıas la maestra Salinas toma una taza de caf´e antes de su clase de 9:00 AM. Suponga que la temperatura del caf´e es de 200oF cuando lo sirve en su taza a las 8:30AM, quince minutos despu´es el caf´e se enfria hasta 110oF en un cuarto que est´a a 66^oF. Sin embargo, la maestra Salinas nunca beber´a su caf´e si no hasta que este se enfrie justo a 97^oF. Cu´antos minutos despu´es de servido tomar´a su caf´e?

Respuesta:

5. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000 partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de alcohol en la sangre de 0.5 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sangu´ıneo decrece en forma proporcional al porcentaje de alcohol, y que adem´as la concentraci´on de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cu´anto tiempo en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son ficticios.

Respuesta:

6. Un recipiente contiene 70 galones de agua limpia inicialmente. Una soluci´on es vertida en el interior del recipiente a un ritmo de 6 galones por minuto. Esta soluci´on tiene una concentraci´on de 0.3 libras de sal por gal´on. A la vez que se vierte se extrae soluci´on del tanque a la misma velocidad. La soluci´on extraida es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene 70 galones de agua limpia. Del cual a su vez tambi´en ser´an extra´ıdos 6 galones de soluci´on por minuto. Cu´ales ser´a la concentraci´on de sal (en libras por gal´on) en el segundo tanque 20 minutos despu´ues de iniciado el proceso? Sugerencia. Primero determine la f´ormula que da la contidad de sal en el primer tanque funci´on de t. A partir de ella obtenga la f´ormula que da la concentraci´on de sal en el primer tanque. De ella determine la f´ormula que da cantidad de sal que el primer tanque vierte al segundo tanque en libras por minuto.

Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 6 2

7. Indicar la opci´on que contiene la soluci´on a la ecuaci´on diferencial: y⁰= ^{x y + 2 y} 2 x2 A −1 y = C + 2 ln(x) B −x y = C + ln(x²) C −1 u = C + 2 ln(x) D ^x_y = C + 2 ln(x) E ^y_x = C − 2 ln(x) F −x y = C + ln(2 x)

8. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuaci´on diferencial 36 y + y⁰⁰= f (t) con condiciones iniciales y(0) = 5 y y⁰(0) = 0 y donde

f (t) =    0 si 0 ≤ t < π 1 si π ≤ t < 2π 0 si 2π ≤ t A y(t) = 5 cos(6 t) + ₃₆¹ (1 − cos(12 t)) U_π(t) −₃₆¹ (1 − cos(12 t)) U_{2 π}(t) B y(t) = 5 cos(6 t) + ₁₈¹ (1 − cos(6 t)) Uπ(t) −₁₈¹ (1 − cos(6 t)) U2 π(t) C y(t) = 5 cos(6 t) + ₃₆¹ (1 + cos(6 t)) Uπ(t) −₃₆¹ (1 + cos(6 t)) U2 π(t) D y(t) = 5 cos(6 t) + ₃₆¹ (1 − cos(6 t)) U_π(t) −₃₆¹ (1 − cos(6 t)) U_{2 π}(t) E y(t) = ⁵₆sen(6 t) +₃₆¹ (1 − cos(6 t)) Uπ(t) −₃₆¹ (1 − cos(6 t)) U2 π(t) 9. Indique cu´al de las opciones es la soluci´on general a :

49 y + y⁰⁰= 2 cos(8 x) + 5 sen(8 x) A y = C₁cos(7 x) + C₂sen(7 x) +₁₅¹ (2 cos(8 x) + 5 sen(8 x))

B y = C1cos(7 x) + C2sen(7 x) +₁₅¹ (−2 cos(8 x) + 5 sen(8 x)) C y = C1cos(7 x) + ₁₅¹ (−2 cos(7 x) − 5 sen(7 x)) + C2sen(7 x) D y = C₁cos(7 x) + C₂sen(7 x) +₁₅¹ (−2 cos(8 x) − 5 sen(8 x))

10. Un recipiente cil´ındrico se est´a vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el l´ıquido estaba a una profundidad de 12 metros y al cabo de 10 horas se vac´ıa. A qu´e horas pas´o por la mitad de la profundidad?

Respuesta:

11. En 1960 un art´ıculo de New York Times anunci´o que Arque´ologos afirman que la civilizaci´on Sumeria ocup´o el valle del Tigris hace 5800 a˜nos . Asumiendo que los arque´ologos usaron la t´ecnica del C-14. Determine el porcentaje del carbono catorce encontrado en las muestras (con respecto al inicial). Use como dato que la vida media de C-14 es de 5600 a˜nos.

A 0.365831 B 0.487774

C 0.776786 D 0.517857

12. Determine A, B, C y D para que

f (t) = e^{A t}(B cos(C t) + D sen(C t)) sea la transformada inversa de la funci´on:

F (s) = ^s

82 + 2 s + s2

Respuesta:

13. Indique cu´al de las opciones siguientes es la ecuaci´on subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y⁰(0) = 6 con ecuaci´on:

42 y − 13 y⁰+ y⁰⁰= 6 e^{7 t} A Y (s) = _{(−7+s) (42−13 s+s}^{36+6 s} 2)

B Y (s) = _{(−7+s) (42+13 s+s}^{−36+6 s} 2)

C Y (s) = _{(−7+s) (42−13 s+s}^{−36+6 s} ₂₎ D Y (s) = _{42−13 s+s}^{36+6 s} 2

14. Indique la opci´on que contiene la soluci´on a la ecuaci´on diferencial: dy dx ^{= −e} 8 y+ e^{(2 x+8 y)} A e8 y = C + 4 e2 x− 8 x B e^{−8 y} = C − 4 e2 x+ 8 x C y = C + 2 e^{2 x} D e^{−8 y} = C −¹₄e2 x+¹₈x E y = C +¹₂e2 x F e^{8 y} = −8 + C + 4 e^{2 x}

15. Cu´al de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la funci´on: (Sugerencia: use las definiciones de las funciones de las funciones hiperb´olicas mediante exponenciales)

f (t) = t cosh(7 t) A F (s) = 49+s² (−49+s2)2 B F (s) = _−49+s^49+s22 C F (s) = _(−49+s^{14 s}₂₎2 D F (s) = (49 + s2)⁻¹

16. Dado que y1= e^−4x y y2= xe^−4x son soluciones a la ED homog´enea auxiliar asociada encuentre la soluci´on general de 16 y + 8 y⁰+ y⁰⁰= ¹

x^e

−4 x

Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 6 4

B y = x e^{−4 x}+ C₁e^{−4 x}+ x C₂e^{−4 x}− x ln(x) e−4 x

C y = x + C1e^{−4 x}+ x C2e^{−4 x}− ln(x) D y = −x + C1e^{−4 x}+ x C2e^{−4 x}+ ln(x)

17. Una cadena de 9 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 7 pounds y se supone que su peso est´a uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia abajo. Despreciando la fricci´on, indique cu´anto tiempo tardar´a en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable inc´ognita la longitud de la cadena que est´a fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza aplicada a la cadena es ⁷₉y. La aceleraci´on es y⁰⁰. Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y⁰(0) = 0.

Respuesta:

18. Cu´al de las siguientes opciones contiene la soluci´on general a:

3 x y + 25 + x²
y0= x (25 + x²)⁵ A y = C (25 + x2)³2 +₁₃¹ (25 + x2)⁸ B y = C (25 + x2)³2 − 1 13(25 + x2)⁸ C y = −₁₃¹ (25 + x²)⁻⁵+ C (25 + x²) 3 2 D y = C (25+x2)³2 + 1 13(25 + x2)⁵

19. Cuando un rayo de luz pasa atrav´es de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.6 metros bajo la superficie es de 60 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. Cu´al es la intensidad del rayo de luz a 2.6 metros respecto a Io? Reporta tu respuesta entre 0 y 1.

Respuesta:

20. Indique la opci´on que contiene la soluci´on general a:  4 e^{(8+7 x)}+ 9 y^ dx +^5 e^{(3+6 y)}+ 9 x^ dy = 0 A ⁴₇e(8+7 x)+⁵₆e(3+6 y)+ 9 x y = C B ⁵₆e(3+6 y)+³⁶₇ e(8+7 x)x y = C C ⁴₇e^{(8+7 x)}+¹⁵₂ e^{(3+6 y)}x y = C D 4 7e(8+7 x)+5 6e(3+6 y)+ x + 9 y = C

21. En un circuito serie RC con C = ₆₀₀¹ H, R = 600Ω, y

E(t) =    2 para 0 ≤ t < 3 −2 para 3 ≤ t < 6 0 para 6 ≤ t

donde E(t) est´a en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 9 segundos. Tome q(0) = 0.0 C Respuesta:

22. usando el caso I, Iindique la opci´on que contiene un paso intermedio en la soluci´on a: ln((y⁰)⁶) y⁰⁰= 3

A R z ln(z) dz = 1 2y

B 6 (−z + z ln(z)) = 3 y + C₁ C ln(z) = ^{(3 x+C}1)¹2

√ 3

D 6 z (−1 + ln(z)) = 3 x + C₁

23. Un cuerpo con peso de 8 libras cuelga de un resorte con constante 1 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una fuerza de resistencia al movimiento que es num´ericamente igual a su velocidad instant´anea. Si el peso es liberado ⁴₃ pies por encima de su posici´on de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 15 pies por segundo. Determine la velocidad en el momento en el cual pasa por la posici´on de equilibrio.

Respuesta:

24. Se ha descubierto que una bola de naftalina que ten´ıa originalmente un radio de ¹³₄ de pulgada, tiene una radio de ¹⁷₁₀ de pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ´ındice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en meses para que la bola desaparezca.

A 4.19355 B 2.09677 C 6.29032 D 12.5806

25. El n´umero de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una raz´on que es aproximadamente proporcional al producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tama˜no de la poblaci´on. Si el tama˜no de la poblaci´on es de 800 individuos y si inicialmente existen 60 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 120 individuos infectados. Cu´antos habr´a infectados al cabo de 2 meses?

Ecuaciones Diferenciales

Laboratorio Final

Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010

Grupo: Matr´ıcula: Nombre: Tipo:7

1. Sabiendo que la soluci´on a la correspondiente ecuaci´on homog´enea auxiliar es y_h = c₁+ c₂sec (3 x) determine una soluci´on particular por el m´etodo de variaci´on de par´ametros a la ED:

−3 (csc(3 x) sec(3 x) + tan(3 x)) y⁰+ y⁰⁰= tan(3 x) A y_p=1 3x + 1 3 tan(3 x) B y_p= −¹₃x + ¹₉ tan(3 x) C yp=¹₃x + ¹₉ tan(3 x) D yp= −¹₃x − ¹₃ tan(3 x) E y_p= −1 3x + 1 3 tan(3 x) F yp= x + tan(3 x)

2. Un cuerpo con peso de 7 libras cuelga de un resorte con constante ⁸₇ lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una fuerza de resistencia al movimiento que es num´ericamente igual a su velocidad instant´anea. Si el peso es liberado ⁷₆ pies por encima de su posici´on de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 15 pies por segundo. Determine la velocidad en el momento en el cual pasa por la posici´on de equilibrio.

Respuesta:

3. Seleccionar la opci´on que contiene la transformada de Laplace de

f (t) = − cos(3 t) + cos(6 t) t A F (s) = ln(^6+s_3+s) B F (s) = −_9+s^s2 +_36+s^s 2 C F (s) = _9+s^s2 +_36+s^s 2 D F (s) = ¹₂ ln(_36+s^9+s22)

4. Seleccionar la opci´on que contiene un paso intermedio para obtener la soluci´on general de la ED: y x^{+ y} 0= ^cos(x) x A y = ^C+ R cos(x) x dx x B y = e^{R 1}xdx^C +R e^R x¹dx cos(x) dx^ C y = ^C+ R e R 1 x^dxcos(x) x dx e R 1 x^dx D y = e^{R 1}xdx^C +^{R cos(x)} e R 1 x^dxxdx^

5. Todos los d´ıas la maestra Salinas toma una taza de caf´e antes de su clase de 9:00 AM. Suponga que la temperatura del caf´e es de 200oF cuando lo sirve en su taza a las 8:30AM, quince minutos despu´es el caf´e se enfria hasta 120oF en un cuarto que est´a a 72oF. Sin embargo, la maestra Salinas nunca beber´a su caf´e si no hasta que este se enfrie justo a 94oF. Cu´antos minutos despu´es de servido tomar´a su caf´e?

6. Indique cu´al de las opciones es la soluci´on general a :

4 y + y⁰⁰= 7 cos(8 x) + 2 sen(8 x) A y = C₁cos(2 x) + C₂sen(2 x) +₆₀¹ (−7 cos(8 x) − 2 sen(8 x))

B y = C1cos(2 x) + C2sen(2 x) +₆₀¹ (7 cos(8 x) + 2 sen(8 x)) C y = C1cos(2 x) + C2sen(2 x) +₆₀¹ (−7 cos(8 x) + 2 sen(8 x)) D y = C₁cos(2 x) + 1

60(−7 cos(2 x) − 2 sen(2 x)) + C₂sen(2 x)

7. Calcule el valor en x = 1 para la soluci´on particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y(¹₄) = 1 y y⁰(¹₄) = 8 a la ED:

y⁰⁰= ^{4 y}

0

√ y Respuesta:

8. Un recipiente cil´ındrico se est´a vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el l´ıquido estaba a una profundidad de 16 metros y al cabo de 8 horas se vac´ıa. A qu´e horas pas´o por la mitad de la profundidad?

Respuesta:

9. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuaci´on diferencial 36 y + y⁰⁰= f (t) con condiciones iniciales y(0) = 7 y y⁰(0) = 0 y donde

f (t) =    0 si 0 ≤ t < π 1 si π ≤ t < 2π 0 si 2π ≤ t A y(t) = ⁷₆sen(6 t) +₃₆¹ (1 − cos(6 t)) Uπ(t) −₃₆¹ (1 − cos(6 t)) U2 π(t) B y(t) = 7 cos(6 t) + ₃₆¹ (1 − cos(12 t)) Uπ(t) −₃₆¹ (1 − cos(12 t)) U2 π(t) C y(t) = 7 cos(6 t) + ₃₆¹ (1 + cos(6 t)) Uπ(t) −₃₆¹ (1 + cos(6 t)) U2 π(t) D y(t) = 7 cos(6 t) + 1

18 (1 − cos(6 t)) U_π(t) − 1

18 (1 − cos(6 t)) U_{2 π}(t) E y(t) = 7 cos(6 t) + ₃₆¹ (1 − cos(6 t)) Uπ(t) −₃₆¹ (1 − cos(6 t)) U2 π(t)

10. Un recipiente contiene 60 galones de agua limpia inicialmente. Una soluci´on es vertida en el interior del recipiente a un ritmo de 4 galones por minuto. Esta soluci´on tiene una concentraci´on de 0.5 libras de sal por gal´on. A la vez que se vierte se extrae soluci´on del tanque a la misma velocidad. La soluci´on extraida es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene 60 galones de agua limpia. Del cual a su vez tambi´en ser´an extra´ıdos 4 galones de soluci´on por minuto. Cu´ales ser´a la concentraci´on de sal (en libras por gal´on) en el segundo tanque 40 minutos despu´ues de iniciado el proceso? Sugerencia. Primero determine la f´ormula que da la contidad de sal en el primer tanque funci´on de t. A partir de ella obtenga la f´ormula que da la concentraci´on de sal en el primer tanque. De ella determine la f´ormula que da cantidad de sal que el primer tanque vierte al segundo tanque en libras por minuto.

Respuesta:

11. Indique cu´al de las opciones siguientes es la ecuaci´on subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y⁰(0) = 8 con ecuaci´on:

56 y − 15 y⁰+ y⁰⁰= 8 e^{7 t} A Y (s) = _{(−7+s) (56−15 s+s}^{−48+8 s} ₂₎

Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 7 3

B Y (s) = _{(−7+s) (56+15 s+s}^{−48+8 s} ₂₎ C Y (s) = _{56−15 s+s}^{48+8 s} 2

D Y (s) = _{(−7+s) (56−15 s+s}^{48+8 s} 2)

12. Cu´al de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la funci´on: (Sugerencia: use las definiciones de las funciones de las funciones hiperb´olicas mediante exponenciales)

f (t) = t cosh(9 t) A F (s) = (81 + s2)⁻¹

B F (s) = _−81+s^81+s22

C F (s) = _(−81+s^81+s2₂₎2

D F (s) = _(−81+s^{18 s}₂₎2

13. Indique cu´al de las siguientes opciones representa la transformada inversa de la funci´on:

F (s) = ^s 5 + 2 s + s2 A f (t) = (cos(2 t) −¹₂sen(2 t)) e^−t B f (t) = cos(2 t) − sen(2 t) C f (t) = (cos(2 t) − sen(2 t)) e^−t D f (t) = cos(2 t) −1 2sen(2 t)

14. En 1960 un art´ıculo de New York Times anunci´o que Arque´ologos afirman que la civilizaci´on Sumeria ocup´o el valle del Tigris hace 5350 a˜nos . Asumiendo que los arque´ologos usaron la t´ecnica del C-14. Determine el porcentaje del carbono catorce encontrado en las muestras (con respecto al inicial). Use como dato que la vida media de C-14 es de 5600 a˜nos.

A 0.386785 B 0.515714 C 0.716518 D 0.477679

15. El n´umero de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una raz´on que es aproximadamente proporcional al producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tama˜no de la poblaci´on. Si el tama˜no de la poblaci´on es de 600 individuos y si inicialmente existen 60 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 120 individuos infectados. Cu´antos habr´a infectados al cabo de 2 meses?

Respuesta:

16. Indique la opci´on que contiene la soluci´on que satisface y(0) = 0 para la ecuaci´on: 2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y⁰= 0 A x3+ x y + y3= 0 B x²+ 2 x y + y²= 0 C x3+ y3= 0 D x3+ 3 x y + y3= 0 E x²+ x y + y²= 0

F x2+ y2= 0 G x2+ 3 x y + y2= 0 H x3+ 2 x y + y3= 0

17. Se ha descubierto que una bola de naftalina que ten´ıa originalmente un radio de ¹⁵₁₄ de pulgada, tiene una radio de ¹⁹₂₀ de pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ´ındice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en meses para que la bola desaparezca.

A 26.4706 B 8.82353 C 17.6471 D 52.9412

18. Encuentre la m´axima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V , q(0) = 0C, y i(0) = 0A.

Respuesta:

19. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000 partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de

In document A generic approach to behaviour-driven biochemical model construction (Page 139-145)