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Nota: En lo que resta de este capítulo supondremos que G es un grupo cristalográfico plano. ₂

Definición 2.6.1 Un retículo (plano) es un subconjunto R deR2_{para el que existen dos vectores u, v∈ R}2

de modo que

R ={mu + nv : m, n ∈ Z}. ₂

Observación 2.6.2 Nótese que R es el subgrupo de (R2, +) generado por los vectores u y v. ₂

Proposición 2.6.3 Sean G≤ E2y T el subgrupo de traslaciones de G. Entonces, el conjunto L ={t(0) : t ∈ T }

es el retículo generado por a y b, siendo: i) a un elemento de norma minimal de L.

ii) b un elemento de L no alineado con a, de longitud mínima.

Diremos que L es el retículo asociado al grupo cristalográfico plano G.

DEMOSTRACIÓN. Por ser G cristalográfico plano, T =⟨tu, tv⟩ para ciertos vectores u, v. Además, como L es isomorfo a T mediante el isomorfismo tw7→ w = tw(0), se verifica que L es el subgrupo de (R2, +)

Figura 2.13: División del plano en paralelogramos.

Por lo tanto, si escogemos a y b en L como indica el enunciado, el retículo L′generado por a y b está contenido en L ya que las combinaciones enteras de a y b son, en particular, combinaciones enteras de

u y v (por serlo a y b). El retículo L′ genera una división del plano en paralelogramos como se ve en la Figura2.13.

Veamos que L′ = L argumentando por reducción al absurdo: supongamos que existe x ∈ L tal que

x̸∈ L′; entonces, escogemos el paralelogramo que contiene a x y llamamos c a la esquina del paralelogramo más cercana a x (véase, nuevamente, la Figura2.13). Veamos que

||x − c|| < ||b||. (2.4)

En efecto, el punto del paralelogramo más distante de su esquina más cercana (y, por tanto, de todas las esquinas) es su centro, y la distancia del centro del paralelogramo a su esquina más cercana es

min{a + b 2

,a− b₂ }< ||a|| + ||b||

2 ≤ ||b|| donde se ha usado que, por definición, a y b no están alineados y||a|| ≤ ||b||.

Por otra parte, por construcción, x− c = αa + βb con α, β ∈ [−1, 1]. Veamos que β no puede ser nulo: Por una parte, si lo fuera y α∈ (−1, 1) se llegaría a que ||x − c|| < ||a||, lo que contradice que a sea de norma mínima en L. Pero tampoco puede ocurrir que β = 0 y α =±1 ya que, como x − c ∈ L y c ∈ L′, tenemos que x− c ̸∈ L′y, en particular,

x− c ̸= ±a ∈ L′.

Así pues, β ̸= 0 o, lo que es lo mismo, x − c es un vector de L que no está alineado con a; y gracias a (2.4) sabemos que tiene longitud estrictamente menor que b. Esto contradice la elección de b. Deducimos, en consecuencia, que no hay ningún elemento en L\L′. ₂

Observación 2.6.4 Los retículos se pueden clasificar en función del ángulo y magnitud relativa de a y b. La forma en que se han elegido a y b asegura que||a|| ≤ ||b|| ≤ ||a − b||. Sustituyendo, en caso de que sea necesario, b por−b para asegurar que ||a − b|| ≤ ||a + b||, se tiene la siguiente cadena de desigualdades:

||a|| ≤ ||b|| ≤ ||a − b|| ≤ ||a + b||

El teorema de Pitágoras descarta la posibilidad de que

||b|| = ||a − b|| = ||a + b||

por lo que los casos posibles son (véase la Figura2.14):

a) Oblicuo:||a|| < ||b|| < ||a − b|| < ||a + b||. b) Rectangular:||a|| < ||b|| < ||a − b|| = ||a + b||.

Elementos de Matemáticas y aplicaciones Retículos y su clasificación 59

c) Rectangular centrado:||a|| < ||b|| = ||a − b|| < ||a + b||. En este caso, las direcciones a y 2b − a son perpendiculares.

d) Cuadrado:||a|| = ||b|| < ||a − b|| = ||a + b||. e) Hexagonal:||a|| = ||b|| = ||a − b|| < ||a + b||. Nótese que el caso restante (denominado rómbico)

||a|| = ||b|| < ||a − b|| < ||a + b||,

puede asimilarse al rectangular centrado con a0= a− b y b0= a. En este caso, el generador a0del retículo

ya no sería el elemento de norma mínima pero, aún así, lo asociamos al caso rectangular centrado porque el hecho característico de este caso es que las direcciones a0y 2b0− a0son perpendiculares. 2

Figura 2.14: Clasificación de los retículos.

Observación 2.6.5 A pesar de que J = π(G)≤ O(2), en general, J no es un subgrupo de G porque los elementos de J no tienen por qué estar en G. Por ejemplo, si tomamos como G el grupo generado por la traslación tv= (v, I2) con v =

( 1 0 )

y la reflexión con deslizamiento τ = (w, Bπ) con w =

( 0 1 )

, entonces (compruébese) el grupo de traslaciones y el grupo puntual de G son, respectivamente,

T =⟨tv, t2w⟩ y J = {I2, Bπ} .

Sin embargo, Bπ ̸∈ G. En efecto, si Bπ ∈ G entonces la traslación tw = fBπ◦ τ debería estar en G (y,

por tanto en T ). Pero esto no ocurre, dado que w no puede ser una combinación entera de v y 2w (que son perpendiculares). De hecho, en G sólo hay traslaciones y reflexiones con deslizamiento, todas de orden infinito. ₂

No obstante, el siguiente resultado nos asegura que los elementos de J son simetrías del retículo L:

Proposición 2.6.6 Para todo A∈ J y p ∈ L se verifica que fA(p)∈ L. Dicho de otro modo, fA(L) = L,

por lo que fAes una simetría de L.

DEMOSTRACIÓN. Sea A∈ J. Entonces existe tvtal que tv◦ fA∈ G.

Queremos ver que para todo p = tp(0)∈ L se verifica que fA(p) ∈ L. Como T = ker(π|G), se verifica

que T ▹ G (véase la Proposición2.2.32) y, por tanto,

(tv◦ fA)◦ tp◦ (tv◦ fA)−1∈ T y (tv◦ fA)◦ tp◦ (tv◦ fA)−1(0)∈ L.

Pero

(tv◦ fA)◦ tp◦ (tv◦ fA)−1(0) = v + A(p + A−1(0− v)) = v + Ap − v = Ap = fA(p). 2

Lema 2.6.7 Sea σ una rotación de centro c de orden n. Entonces existe m∈ N tal que σmes una rotación con el mismo centro y de ángulo2π

n.

DEMOSTRACIÓN. Sea θ el ángulo de σ; como el orden de σ es n, existe k ∈ N tal que nθ = 2πk, con mcd(n, k) = 1. Sea m solución de la congruencia kx ≡ 1 (mod n), es decir, km = nt + 1 para algún

t∈ Z. Ahora podemos escribir

mθ = 2πkm n = 2π(nt + 1) n = 2πt + 2π n ,

para concluir que mθ, el ángulo de la rotación σm, es efectivamente2π_n. ₂

Proposición 2.6.8 (Restricción cristalográfica) Toda rotación de un grupo cristalográfico plano tiene or-

den 2, 3, 4 ó 6.

DEMOSTRACIÓN. Las rotaciones de orden n ≥ 7 tienen (véase el Lema2.6.7) una potencia suya que es una rotación de ángulo 2π_n < π

3. Sea A la matriz de esta rotación; supongamos que A∈ J y lleguemos a

una contradicción. En efecto, por la Proposición2.6.6, se tendría que fA(a)∈ L y fA(a)− a ∈ L, siendo a el generador de L de norma mínima; pero entonces se tendría la contradicción

||fA(a)− a|| < ||a||,

por ser||fA(a)|| = ||a|| y el ángulo de rotación menor queπ3 (véase la Figura2.15).

(a) Rotación de orden n≥ 7. (b) Rotación de orden 5.

Figura 2.15: Rotaciones.

En cuanto a las rotaciones de orden 5, todas ellas poseen una potencia que es una rotación de ángulo 2π₅ (nuevamente, gracias al Lema2.6.7). En ese caso, si A es la matriz de esta rotación, se llegaría a que

||f2

A(a) + a|| < ||a||

(véase, de nuevo, la Figura2.15) lo cual constituye, de nuevo, una contradicción. ₂ Para finalizar, enunciamos los siguientes resultados:

Proposición 2.6.9 Un isomorfismo entre grupos cristalográficos planos respeta traslaciones, rotaciones,

reflexiones y reflexiones con deslizamiento.

DEMOSTRACIÓN. Véase [1, Teorema 25.5, pág. 152]. ₂

Proposición 2.6.10 Dos grupos cristalográficos planos isomorfos tienen grupos puntuales isomorfos. DEMOSTRACIÓN. Véase [1, Corolario 25.6, pág. 153]. ₂

Elementos de Matemáticas y aplicaciones Aplicación: Clasificación de los mosaicos del plano 61